美式期權定價的二次逼近方法

美式期權定價的二次逼近方法QuadraticApproximationMethodsforPricingtheAmericanOptions目錄美式期權定價方法綜述1期權價值所滿足的微分方程2二次逼近方法介紹3總結4I.美式期權定價方法綜述數值方法：有限差分法(BrennanandSchwartz1977)二叉樹模型(Cox,RossandRubinstein1979)數值方法的特點：結果精確但計算比較復雜且耗時解析近似方法：復式期權法(GeskeandJohnson1984)二次逼近方法(MacMillan1986,Barone-AdesiandWhaley1987)解析近似方法的特點：相比數值方法計算簡單直觀，得到結果速度快且精度也比較高使用回歸技術(Johnson1983,BroadieandDetemple1996)回歸方法的特點：計算快速但必須依賴于大量數據II.期權價值所滿足的偏微分方程1/2σ2S2Vss+bSVs-rV+Vt=0Merton（1973）σ：標的資產價格的瞬時標準差S：標的資產的價格V：期權價值Vs：期權價值V對S的一階偏導數Vss：期權價值V對S的二階偏導數Vt：期權價值V對時間t的一階偏導數b：標的資產的持有成本r：無風險利率II.期權價值所滿足的偏微分方程推導推導過程：假定標的資產的價格S遵循以下過程：dS=μSdt+σSdz其中，μ和σ分別為標的資產價格的瞬時預期增長率和波動率；dz是維納過程由于期權價值V是S和t的函數，它遵循Ito定理，即：dV=(VSμS+Vt+1/2VSSσ2S2)dt+VSσSdz建立一個資產組合，其構成那個如下：-1：基于某種資產的期權+VS：某種標的資產則該資產組合的價值∏=-V+VSS在Δt時間內標的資產價格的變化ΔS為：ΔS=μSΔt+σSΔz期權價值的變化ΔV為：ΔV=(VSμS+Vt+1/2VSSσ2S2)Δt+VSσSΔzII.期權價值所滿足的偏微分方程推導于是在Δt時間內資產組合的價值變化Δ∏為：Δ∏=-ΔV+VSΔS把ΔV和ΔS代入，整理得：Δ∏=-(Vt+1/2VSSσ2S2)Δt另外在Δt時間內持有資產的收益率是（r-b），即，在Δt時間內持有VS份資產可以得到收益：VSSΔt(r-b)于是在Δt時間內總的財富變化ΔW為ΔW=[-Vt-1/2VSSσ2S2+VSS(r-b)]Δt由于表達式獨立于維納過程，該資產組合是瞬時無風險的，因此有：ΔW=r*∏*Δt也即：-Vt-1/2VSSσ2S2+VSS(r-b)=r(-V+VSS)把等式右邊的項移到右邊即得：1/2σ2S2Vss+bSVs-rV+Vt=0得證II.歐式期權定價公式如果把上述微分方程用于歐式期權的定價，加上歐式期權價值的邊界條件可以很容易得到歐式期權的定價公式，這里僅給出結果：c(S,T)=Se(b-r)TN(d1)-Xe-rTN(d2)p(S,T)=Xe-rTN(-d2)-Se(b-r)TN(-d1)B-S定價公式只是b=r時的特例如果美式期權沒有被提前執(zhí)行，則歐式期權的定價公式可以用來為美式期權進行定價，但如果美式期權提前執(zhí)行，則不再適用，需要用美式期權的定價方法。II.美式期權提前執(zhí)行的條件對于美式看漲期權：因為相應歐式看漲期權的價格范圍是：Se(b-r)T-Xe-rT≤c(S,T)≤S而C(S,T)≥c(S,T)所以有C(S,T)≥Se(b-r)T-Xe-rT而如果立即執(zhí)行美式看漲期權其價值為C=S-X當b<r時，無法確定Se(b-r)T-Xe-rT和S-X的大小，美式看漲期權有可能被提前執(zhí)行當b≥r時，Se(b-r)T-Xe-rT>S-X，美式看漲期權不應該被提前執(zhí)行。因此，對于美式看漲期權，如果b≥r，由于其不會被提前執(zhí)行，因此可以用歐式看漲期權的定價公式為其定價，但當b<r時，需要用相關美式期權的定價公式進行定價II.美式期權提前執(zhí)行的條件對于美式看跌期權：因為相應歐式看跌期權的價格范圍是：Xe-rT-Se(b-r)T≤p(S,T)≤X而P(S,T)≥p(S,T)所以有P(S,T)≥Xe-rT-Se(b-r)T而如果立即執(zhí)行美式看跌期權其價值為C=X-S當b<r時，無法確定Xe-rT-Se(b-r)T和X-S的大小，美式看跌期權有可能被提前執(zhí)行當b≥r時，X-S>Xe-rT-Se(b-r)T，美式看跌期權應該被提前執(zhí)行因此，對于美式看跌期權，由于其總是存在提前執(zhí)行的可能性，因此歐式看跌期權的定價公式不適用為美式看跌期權進行定價，需要相應的美式期權定價方法為其定價III.二次逼近方法介紹方法思想：既然美式期權、歐式期權的價值都滿足之前推導的微分方程，那么美式期權相對于歐式期權提前執(zhí)行時的溢價部分εC(S,T)和εP(S,T)也應該滿足該微分方程。定義：εC(S,T)=C(S,T)-c(S,T)εP(S,T)=P(S,T)-p(S,T)其中C(S,T)和P(S,T)分別為美式看漲、看跌期權的價值；c(S,T)和p(S,T)分別為歐式看漲、看跌期權的價值.III.二次逼近方法介紹根據之前推導的微分方程:1/2σ2S2Vss+bSVs-rV+Vt=0(1)對于εC(S,T)來說，其滿足的微分方程為：1/2σ2S2εss+bSεs-rε+εt=0(2)為了簡化此方程(2)：令T=t*-t,t*為到期日，t為現在的時間，則εT=-εt兩邊同乘2/σ2令M=2r/σ2,N=2b/σ2于是方程(2)就變?yōu)椋篠2εss+NSεs-Mε-(M/r)εT=0(3)定義εC(S,K)=K(T)f(S,K)于是εss=Kfss

，εs=Kfs，εT=KTf+KfKKT，代入方程(3)得：S2fss+NSfs-Mf[1+(KT/rK)(1+Kfk/f)]=0(4)選擇：K(T)=1-e-rT,代入方程（4）中，最終可得：S2fss+NSfs-(M/K)f-(1-K)MfK=0(5)III.二次逼近方法介紹為了解方程(5)：S2fss+NSfs-(M/K)f-(1-K)MfK=0對其作近似處理，假設最后一項(1-K)MfK=0，當期權離到期日很近（很長）時，這個假設是合理的，因為這時候T→0(∞)，fK

→0（K→1），而此時(1-K)MfK→0于是方程(5)變?yōu)椋篠2fss+NSfs-(M/K)f=0(6)方程(6)是一個二階常微分方程，它有兩個線性獨立的解，形如aSq，令f=aSq,并把它代入方程(6)中，得：aSq[q2+(N-1)q-M/K]=0(7)方程(7)的兩個特征根為:q1=[-(N-1)-√(N-1)2+4M/K]/2q2=[-(N-1)+√(N-1)2+4M/K]/2其中M/K>0,q1<0,q2>0于是方程(6)的通解就是：f(S)=a1Sq1+a2Sq2

(8)

其中q1,q2已經知道，a1，a2未知III.二次逼近方法介紹觀察通解f(S)=a1Sq1+a2Sq2（q1<0,q2>0)確定a1，a2的約束條件：對于美式看漲期權，當資產價格S→0的時候，如果a1≠0，則函數f→∞，這個結果顯然難以接受，因為此時提早執(zhí)行美式看漲期權的價值變?yōu)?。于是必須有限制條件a1=0，而相對應的美式看漲期權的價值就可以寫成：C(S,T)=c(S,T)+Ka2Sq2(9)因為C(S,T)≥c(S,T)，所以a2>0對于美式看跌期權，當資產價格S→∞的時候，如果a2≠0，則函數f→∞，這個結果顯然難以接受，因為此時提早執(zhí)行美式看跌期權的價值變?yōu)?。于是必須有限制條件a2=0,而相對應的美式看跌期權的價值就可以寫成：P(S,T)=p(S,T)+Ka1Sq1(10)因為P(S,T)≥p(S,T)，所以a1>0III.二次逼近方法介紹觀察(9)和(10)，歐式看漲和看跌期權c(S,T)，p(S,T)根據歐式期權定價公式可以很容易求出來，K，q1，q2已知，而如果相應的a2，a1可以求出來，則美式看漲和看跌期權的價值也就確定了。對于美式看漲期權而言存在一個臨界的價格S*，當S≥S*時，美式期權應該被立即執(zhí)行，其價值就等于立即執(zhí)行的價值C(S,T)=S-X；當S<S*時，美式期權不被提前執(zhí)行，其價值由公式(9)給出，即C(S,T)=c(S,T)+Ka2Sq2

因此在臨界價格S*處，存在：S*-X=c(S*,T)+Ka2S*q2

(11)在方程(11)兩邊對S*求偏導，得：1=e(b-r)TN[d1(S*)]+Kq2a2S*q2-1(12)其中d1(S*)=[ln(S*/X)+（b+0.5σ2)T]/σ√T根據方程(12)得a2：a2={1-e(b-r)TN[d1(S*)]}/Kq2S*q2-1(13)III.二次逼近方法介紹再把a2代入(11)中，即得：S*-X=c(S*,T)+{1-e(b-r)TN[d1(S*)]}S*/q2(14)方程(14)僅有一個未知數S*，但是S*無法直接求出來，它需要通過迭代法從(14)中估計出來。當S*估算出來后，把S*代入方程(11)中，就可以解出a2，相應期權價值也就可以估算出來了。最后，我們把a2的表達式（13）代入(9)中，整理得到最終的美式看漲期權定價公式：當S＜S*：C(S,T)=c(S,T)+A2(S/S*)q2當S≥S*：C(S,T)=S-X其中A2=（S*/q2){1-e(b-r)TN[d1(S*)]}注意：當b<r時，美式看漲期權的定價就可以用上述定價公式當b≥r時，美式看漲期權不會被提早執(zhí)行，此時歐式看漲期權的定價公式可以用來為美式看漲期權定價。III.二次逼近方法介紹對于美式看跌期權來說，由方程(10)我們得到了P(S,T)=p(S,T)+Ka1Sq1對于美式看跌期權而言也存在著一個臨界價格S**，當S≤S**時，美式看跌期權應該被提前執(zhí)行，此時它的價值是X-S**，當S>S**時，美式看跌期權不被提前執(zhí)行，其價值由方程(10)給出。運用和美式看漲期權類似的方法，我們可以求出臨界價格S**和a1，這里僅給出結果：a1=-{1-e(b-r)TN[-d1(S**)]}/Kq1S**q1-1X-S**=p(S**,T)-{1-e(b-r)TN[-d1(S**)]}/q1同樣，S**需要通過迭代法估算出來。這里給出美式看跌期權的最終定價公式：當S＞S**時，P(S,T)=p(S,T)+A1(S/S**)q1當S≤S**時，P(S,T)=X-S其中A1=-(S**/q1)){1-e(b-r)TN[-d1(S**)]}歐式看跌期權定價公式對美式看跌期權不適用III.二次逼近方法介紹二次方程近似方法對美式期權定價的結論：對美式看漲期權：當S＜S*：C(S,T)=c(S,T)+A2(S/S*)q2當S≥S*：C(S,T)=S-X其中A2=（S*/q2){1-e(b-r)TN[d1(S*)]}當b≥r時，可以