材料力學(I)第六章

1第6章簡單的超靜定問題§6-1超靜定問題及其解法§6-2拉壓超靜定問題§6-3扭轉(zhuǎn)超靜定問題§6-4簡單超靜定梁2

約束反力不能由平衡方程求得超靜定結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的強度和剛度均得到提高超靜定（次）數(shù)：

約束反力多于獨立平衡方程的數(shù)(a)(b)第6章簡單的超靜定問題§6.1超靜定問題及其解法3多余約束：在靜定結(jié)構(gòu)上再加上的一個或幾個約束，對于維持平衡來說是不必要的約束（但對于特定地工程要求是必要的）稱多余約束。對應的約束力稱多余約束反力由于超靜定結(jié)構(gòu)能有效降低結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形，在工程上（如橋梁等）應用非常廣泛。解超靜定問題的關(guān)鍵是找出求解所有未知約束反力所缺少的補充方程。結(jié)構(gòu)變形后各部分間必須象原來一樣完整、連續(xù)、滿足約束條件----即滿足變形相容條件。4§6-2拉壓超靜定問題Ⅰ.拉壓超靜定基本問題舉例說明拉壓超靜定問題的解法。51.比較變形法把超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題解，但必須滿足原結(jié)構(gòu)的變形約束條件。（1）選取基本靜定結(jié)構(gòu)（靜定基如圖），B端解除多余約束，代之以約束反力RB解：[例2-16]桿上段為銅,下段為鋼桿，桿的兩端為固支,求兩段的軸力。FCBA6（2）求靜定基僅在原有外力作用下以及僅在代替約束的約束反力作用下于解除約束處的位移（3）比較兩次計算的位移，其值應該滿足變形相容條件，建立方程求解。FCBAF7[例2-17]求圖所示等直桿AB上,下端的約束力，并求C截面的位移。桿的拉壓剛度為EA。

解:2.相容條件ΔBC+ΔAC=03.物理方程6.C截面的位移5.求解方程組4.補充方程為

1.平衡方程FA+FB-F=02.補充方程法8解:1)畫A結(jié)點受力圖，建立平衡方程F未知力2個，平衡方程1個，為一次超靜定。[例2-18]

結(jié)構(gòu)如圖，F(xiàn)①A123A在F力作用下，求各桿內(nèi)力。1、2桿抗拉剛度為②2）如圖三桿鉸結(jié)，畫A節(jié)點位移圖,列出變形相容條件。要注意所設的變形性質(zhì)必須和受力分析所中設定的力的性質(zhì)一致。由對稱性知93）物理關(guān)系③5）聯(lián)立①、④求解：④4）物理關(guān)系代入幾何關(guān)系，建立補充方程[例2-19]剛性梁AD由1、2、3桿懸掛，已知三桿材料相同，許用應力為[σ]，材料的彈性模量為E，桿長均為l，橫截面面積均為A，試求各桿內(nèi)力。解：靜力平衡條件：變形協(xié)調(diào)條件：代入物理方程：求得：12

[例2-19]在圖示結(jié)構(gòu)中，設橫梁AB的變形可以省略，1，2兩桿的橫截面面積相等，材料相同。試求1，2兩桿的內(nèi)力。1、列出獨立的平衡方程解：2、變形幾何關(guān)系3、物理關(guān)系4、補充方程5、求解方程組得13II.裝配應力和溫度應力(1)裝配應力

超靜定桿系(結(jié)構(gòu))由于存在“多余”約束，因此如果各桿件在制造時長度不相匹配，則組裝后各桿中將產(chǎn)生附加內(nèi)力──裝配內(nèi)力，以及相應的裝配應力。14(2)幾何方程解:(1)

平衡方程:例2-21如圖，3號桿的尺寸誤差為，求各桿的裝配內(nèi)力。BAC12DA13A1FN1FN2FN3dAA115(3)、物理方程及補充方程：(4)

、解平衡方程和補充方程，得:16兩端用剛性塊連接在一起的兩根相同的鋼桿1、2（圖a），其長度l=200mm，直徑d=10mm。求將長度為200.11mm，亦即e=0.11mm的銅桿3（圖b）裝配在與桿1和桿2對稱的位置后（圖c）各桿內(nèi)力。已知：銅桿3的橫截面為20mm×30mm的矩形，鋼的彈性模量E=210GPa，銅的彈性模量E3=100GPa。例2-2217(d)解：變形相容條件（圖c）為利用物理關(guān)系得補充方程：將補充方程與平衡方程聯(lián)立求解得：18求裝配內(nèi)力也是求解靜不定問題，其關(guān)鍵仍是根據(jù)相容條件建立變形幾何方程。以上計算結(jié)果表明，很小的制造誤差，卻產(chǎn)生較大的裝配應力，從而使構(gòu)件的承載能力降低。因此，要盡量提高加工精度，減小裝配應力的不利影響。例題6-319(2)溫度應力

也是由于超靜定桿系存在“多余”約束，桿件會因溫度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度內(nèi)力及溫度應力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫度變化時由于不能自由伸縮，其橫截面上會產(chǎn)生相當可觀的溫度應力。20[例2-23]圖示的等直桿AB的兩端分別與剛性支承連接。設兩支承間的距離(即桿長)為L,桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為E，線膨脹系數(shù)為α，試求溫度升高△t時桿內(nèi)的溫度應力。解：溫度升高以后，桿將自由地伸長(圖b)?，F(xiàn)因剛性支承B的阻擋，使桿不能伸長，相當于在桿的兩端加了壓力而將桿頂住。由平衡方程可知兩端的軸向壓力相等，而壓力的大小仍不知道。

變形幾何方程△L=ΔLt-ΔLF=021物理方程計算表明，在超靜定結(jié)構(gòu)中，溫度應力是一個不容忽視的因素。在鐵路鋼軌接頭處，以及混凝土路面中，通常都留有空隙；高溫管道隔一段距離要設一個彎道，都為考慮溫度的影響，調(diào)節(jié)因溫度變化而產(chǎn)生的伸縮。如果忽視了溫度變化的影響，將會導致破壞或妨礙結(jié)構(gòu)物的正常工作。

說明原先認為桿受軸向壓力是對的，該桿的溫度應力為壓應力。若桿為鋼桿，其α=1.2×10-5/(℃)，E=210GPa，則當溫度升高△t=40℃時，桿內(nèi)的溫度應力上式算得由此得溫度應力為σ=FN/A=αEΔtσ=αEΔt=100×106Pa=100Mpa(壓應力)22[例2-24]溫度應力：如圖所示，鋼柱與銅管等長為l，置于二剛性平板間,受軸向壓力Ｐ.鋼柱與銅管的橫截面積、彈性模量、線膨脹系數(shù)分別為Ａs、Ｅs、αs，及Ａc、Ｅc、αc。試導出系統(tǒng)所受載荷Ｐ僅由銅管承受時，所需增加的溫度ΔＴ。（二者同時升溫）解：變形協(xié)調(diào)條件23

兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a所示。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的反力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角。例題6-5§6-3扭轉(zhuǎn)超靜定問題24靜力平衡方程為變形協(xié)調(diào)條件為解：（2）25（3）式代入(2)式即物理方程（3）（4）（1）式和（4）式聯(lián)立求解得：（5）26

圖a所示組合桿，由半徑為ra的實心銅桿和外半徑為rb，內(nèi)半徑為ra的空心鋼桿牢固地套在一起，兩端固結(jié)在剛性塊上，受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用。試求實心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫截面上切應力沿半徑的變化情況。例題6-627實心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩分別為Ta和Tb(圖b)，但只有一個獨立平衡方程

Ta+Tb=Me(1)

故為一次超靜定問題。例題6-6解：TbTaMe282.位移相容條件為實心桿和空心桿的B截面相對于A截面的扭轉(zhuǎn)角相等。在圖b中都用j表示（設A端固定）。例題6-6TbTaMe293.利用物理關(guān)系由(2)式得補充方程為例題6-6TbTaMe304.聯(lián)立求解(1)式和(3)式得：例題6-6TbTaMe315.實心銅桿橫截面上任意點的切應力為空心鋼桿橫截面上任意點的切應力為切應力沿半徑的變化情況如圖c所示。rarb(c)例題6-632

由圖c可見，在r

=ra處，ta<tb，這是因為Ga<Gb

。在r

=ra處，兩桿的切應變是相等的，即說明r

=ra處變形是連續(xù)的。rarb(c)例題6-633§6-4簡單超靜定梁Ⅰ.超靜定梁的解法

解超靜定梁的基本思路與解拉壓超靜定問題相同。求解圖a所示一次超靜定梁時可以鉸支座B為“多余”約束，以約束力FB為“多余”未知力。解除“多余”約束后的基本靜定系為A端固定的懸臂梁?；眷o定系34基本靜定系在原有均布荷載q和“多余”未知力FB作用下(圖b)當滿足位移相容條件(參見圖c、d)

時該系統(tǒng)即為原超靜定梁的相當系統(tǒng)。若該梁為等截面梁，根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系(參見教材中的附錄Ⅳ)所得的補充方程為35從而解得“多余”未知力所得FB為正值表示原來假設的指向(向上)正確。固定端的兩個約束力利用相當系統(tǒng)由靜力平衡條件求得為36該超靜定梁的剪力圖和彎矩圖亦可利用相當系統(tǒng)求得，如圖所示。思考1.該梁的反彎點(彎矩變換正負號的點)距梁的左端的距離為多少？

2.該超靜定梁可否取簡支梁為基本靜定系求解？如何求解？37

試求圖a所示結(jié)構(gòu)中AD桿內(nèi)的拉力FN。梁AC和桿AD的材料相同，彈性模量為E；AD桿的橫截面積為A，AC梁的橫截面對中性軸的慣性矩為I。例題6-7381.梁AC共有三個未知力(圖b)FN，F(xiàn)B，F(xiàn)C，但平面僅有兩個平衡方程，故為一次超靜定問題。例題6-7解：392.把AD桿視為梁AC的“多余”約束，相應的“多余”未知力為FN。位移(變形)相容條件為梁的A截面的撓度wA等于桿的伸長量DlDA(圖b)，即wA=DlDA。例題6-7403.求wA和DlDAwA是由荷載產(chǎn)生的wAq(圖c)和FN產(chǎn)生的wAF(圖d)兩部分組成，例題6-741把圖d所示外伸梁，視為由懸臂梁AB(圖e)和簡支梁BC(圖f)兩部分組成。例題6-7424.把wA和DlDA代入位移(變形)相容條件得補充方程：由此求得例題6-743

試求圖a所示等截面連續(xù)梁的約束反力FA,FB,FC，并繪出該梁的剪力圖和彎矩圖。已知梁的彎曲剛度EI=5×106N·m2。例題6-8441.

該梁有三個未知力FA、FB

、FC

，僅有兩個平衡方程。故為一次超靜定問題。例題6-8解：452.若取中間支座B處阻止其左、右兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)動的約束為“多余”約束，則B截面上的一對彎矩MB為“多余”未知力，相當系統(tǒng)如圖b。例題6-846

相當系統(tǒng)的位移條件是B處兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角等于零，即例題6-83.查關(guān)于梁位移公式的附錄Ⅳ可得474.將qB'qB''代入位移相容條件補充方程，從而解得

這里的負號表示MB的實際轉(zhuǎn)向與圖b中所設相反，即為MB負彎矩。例題6-8485.

利用圖b可得約束力分別為例題6-849繪出剪力圖和彎矩圖分別如圖c,d所示。(c)(d)FS例題6-850

超靜定梁多余約束的選擇可有多種情況，例如，若以支座B為多余約束，F(xiàn)B為多余未知力，位移條件為wB=0，相當系統(tǒng)如圖(e)所示。有如以支座C為多余約束，F(xiàn)C為多余未知，位移條件為wC=0，相當系統(tǒng)如圖(f)所示。位移條件容易計算的相當系統(tǒng)就是最適宜的。(f)FC(e)FB例題6-851*II.支座沉陷和溫度變化對超靜定梁的影響

超靜定梁由于有“多余”約束存在，因而支座的不均勻沉陷和梁的上,下表面溫度的差異會對梁的約束力和內(nèi)力產(chǎn)生明顯影響，在工程實踐中這是一個重要問題。52(1)支座不均勻沉陷的影響

圖a所示一次超靜定梁，在荷載作用下三個支座若發(fā)生沉陷A、B、C，而沉陷后的支點A1、B1、C1不在同一直線上時(即沉陷不均勻時)，支座約束力和梁的內(nèi)力將不同于支座均勻沉陷時的值。而支座均勻沉陷時梁的約束力和內(nèi)力，由于支座沉陷量與梁的跨度相比是微小的，故可認為與支座無沉陷時相同。53

現(xiàn)按如圖a中所示各支點沉陷B>C

>A的情況進行分析。此時，支座B相對于支座A、C沉陷后的點A1、C1的連線有位移54于是，如以支座B1作為“多余”約束，以約束力FB為“多余”未知力，則作為基本靜定系的簡支梁A1C1(參見圖b)在荷載q和“多余”未知力FB共同作用下應滿足的位移相容條件就是55于是得補充方程由此解得其中的wB按疊加原理有(參見圖c、d):56再由靜力平衡方程可得57(2)梁的上,下表面溫度差異的影響

圖a所示兩端固定的梁AB在溫度為t0時安裝就位，其后，由于梁的頂面溫度升高至t1，底面溫度升高至t2，且t2>t1，從而產(chǎn)生約束力