初中數(shù)學銳角三角函數(shù)的基礎測試題及答案

初中數(shù)學銳角三角函數(shù)的基礎測試題及答案一、選擇題將一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長上，AB//CF,ZF=ZACB=90O,ZE=30°,ZA=45°,AC=12j2，則CD的長為（）A.4運B.12-4j3C.12-6^3D.6【答案】B【解析】【分析】過點B作BM丄FD于點M,根據(jù)題意可求出BC的長度，然后在NEFD中可求出ZEDF=60°,進而可得出答案.【詳解】解：過點B作BM丄FD于點M,在AACB中，ZACB=90°,ZA=45°,AC=12p'2,.??BC=AC=12\''2.?:AB//CF,BM=BCxsin45°=12、：2x=122CM=BM=12,在AEFD中，ZF=90°,ZE=30°,.\ZEDF=60°,???MD=BM=tan60°=4J3,.CD=CM-MD=12-4朽.故選B.【點睛】本題考查了解直角三角形，難度較大，解答此類題目的關鍵根據(jù)題意建立直角三角形利用所學的三角函數(shù)的關系進行解答.如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點A,B在同一水平面

上）.為了測量A,B兩地之間的距離，一架直升飛機從A地起飛，垂直上升1000米到達C處，在C處觀察B地的俯角為a，則AB兩地之間的距離約為（A.lOOOsina米BA.lOOOsina米B.1000tana米c.1000贏米D.1000米sina【答案】C【解析】【分析】在RtAXBC在RtAXBC中，ZCAB=90°,ZB=a,AC=1OOO米,AC根據(jù)tana=喬，即可解決問題.【詳解】解：在【詳解】解：在RtAABC中，ZCAB=90°,ZB=a,ACtana=,ABAC=1000米,AB=AC

AB=AC

tana1000tana米.故選：C.【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.在半徑為1的中，弦AB、AC的長度分別是嘗3，、込，則ZBAC為（）度.A.75B.15或30C.75或15D.15或45【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出草圖，因為C點位置待定，所以分情況討論求解.【詳解】利用垂徑定理可知：AD=^,AE=邁.22￡￡22sinZAOD=.?sinZAOD=.??ZAOD=60°；sinZAOE=.??ZAOE=45°；.??ZBAC=75°.當兩弦共弧的時候就是15°.故選：C.【點睛】此題考查垂徑定理，特殊三角函數(shù)的值，解題關鍵在于畫出圖形.如圖，△XBC內接于半徑為5的0O,圓心O到弦BC的距離等于3則ZA的正切值等A.B.5A.B.5C.4D.【答案】C【解析】試題分析：如答圖，過點O作OD丄BC，垂足為D,連接OB,OC,???0B=5,OD=3，.根據(jù)勾股定理得BD=4.1?.?ZA=—ZBOC，.??ZA=ZBOD.2BD4AtanA=tanZBOD=OD3故選D.考點：1?垂徑定理；2?圓周角定理；3?勾股定理；4?銳角三角函數(shù)定義.如圖，在矩形ABCD中，BC=2,AE丄BD,垂足為E，ZBAE=30°，則tanZDEC的值是()

D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意過點C作CF丄BD與點F可求得△AEB^^CFD(AAS)，得到AE=CF=1,EF=<3—i3=2v3，即可求出答案33【詳解】過點C作CF丄BD與點F.VZBAE=30°,.\ZDBC=30°,VBC=2,:.CF=1,BF=爲,易證△AEB^^CFD(AAS).??AE=CF=1,VZBAE=ZDBC=30°,?—AE=:?EF=BF-BE=\.'3在RtACFE中,1_tanZDEC=CF_2/f_衛(wèi)，EF_3_2【點睛】此題考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性質，解題關鍵是證明所進行的全等6.如圖，在△ABC中，AC丄BC,ZABC=30°,點D是CB延長線上的一點，且AB=BD，貝tanD的值為（）A.2..'3B.3*3C.2+込D.2-、我【答案】D【解析】【分析】設AC=m,解直角三角形求出AB,BC,BD即可解決問題.【詳解】設AC=m,在RtAXBC中，TZC=90°,ZABC=30°,AB=2AC=2m,BC=*3AC=\3m,.°.BD=AB=2m,DC=2m+\；3m,ACml.??tanZADC==-3=2-、：3.CD2m+\；3m故選：D.【點睛】本題考查解直角三角形，直角三角形30度角的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.7.某游樂場新推出了一個“極速飛車"的項目.項目有兩條斜坡軌道以滿足不同的難度需求，游客可以乘坐垂直升降電梯AB自由上下選擇項目難度.其中斜坡軌道BC的坡度（或坡比）為/=1：2,BC=12\F米，CD=8米，ZD=36°,（其中點A、B、C、D均在同一平面內）則垂直升降電梯AB的高度約為（）米.（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：tan36°=0.73,cos36°=0.81,sin36°=0.59）5.6B.6.9C.11.4D.13.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理，可得CE,BE的長，根據(jù)正切函數(shù)，可得AE的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案.【詳解】

解:解:如圖，延長DC、AB交于點E,由斜坡軌道BC的坡度（或坡比）為i=1：2,得BE：CE=1：2.設BE=xm,CE=2xm.在RtABCE中，由勾股定理，得BE2+CE2=BC2,即X2+（2x）2=（12'］汗）2,解得X=12,BE=12m,CE=24m,DE=DC+CE=8+24=32m,由tan36°=0.73，得AB=0.73,DE解得AB=0.73x32=23.36m.由線段的和差，得AB=AE-BE=23.36-12=11.36=11.4m,故選：C.【點睛】本題考查解直角三角形的應用，利用勾股定理得出CE,BE的長是解題關鍵，又利用了正切函數(shù)，線段的和差.&將直尺、有60°角的直角三角板和光盤如圖擺放，A為60°角與直尺的交點，B為光盤與直尺的交點，AB=4,則光盤表示的圓的直徑是（）8朽C.8朽C.6【答案】B【解析】【分析】設三角板與圓的切點為C,連接OA、OB,根據(jù)切線長定理可得AB=AC=3,ZOAB=60°,然后根據(jù)三角函數(shù)，即可得出答案.【詳解】設三角板與圓的切點為C,連接OA、OB,由切線長定理知，AB=AC=3,AO平分ZBAC,.??ZOAB=60°,在RtAABO中，OB=ABtanZOAB=4,???光盤的直徑為8爲?故選：B.【點睛】本題主要考查了切線的性質，解題的關鍵是熟練應用切線長定理和銳角三角函數(shù)如圖，為了加快開鑿隧道的施工進度，要在小山的兩端同時施工.在AC上找一點B，取ZABD二145°，BD=500m，ZD二55°，要使A，C，E成一直線，那么開挖點E離點D的距離是（）500A.500sin55°mB.500cos55°mC.500tan55°mD.mcos55【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知利用ZD的余弦函數(shù)表示即可.【詳解】DE在RtABDE中，cosD=—BD?DE=BD?cosD=500cos55°.故選B.【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關鍵.南洞庭大橋是南益高速公路上的重要橋梁，小芳同學在校外實踐活動中對此開展測量活動.如圖，在橋外一點A測得大橋主架與水面的交匯點C的俯角為a大橋主架的頂端D的仰角為B，已知測量點與大橋主架的水平距離AB=a，則此時大橋主架頂端離水面的高CD為（）

DA.asina+asinBB.acosa+acosBDA.asina+asinBB.acosa+acosBC.atana+atanBD.a*a

tanatanP【答案】C【解析】【分析】在RtAABD和RtAABC中，由三角函數(shù)得出BC=atana,BD=atanB，得出CD=BC+BD=atana+atanB即可.【詳解】BCBD在Rt^ABD和Rt^ABC中，AB=a,tana=,tanB=,ABABBC=atana,BD=atanB，CD=BC+BD=atana+atanB，故選C.【點睛】本題考查了解直角三角形-仰角俯角問題；由三角函數(shù)得出BC和BD是解題的關鍵.某同學利用數(shù)學知識測量建筑物DEFG的高度.他從點A出發(fā)沿著坡度為i=1：2.4的斜坡AB步行26米到達點B處，用測角儀測得建筑物頂端D的仰角為37°,建筑物底端E的俯角為30°,若AF為水平的地面，側角儀豎直放置，其高度BC=1.6米，則此建筑物的高度DE約為（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：嘗3沁1.73,sin37o?0.60,cos37°q0.80,tan37°?0.75）（）23.0米B.23.6米C.26.7米D.28.9米【答案】C【解析】【分析】如圖，設CB丄AF于N,過點C作CM丄DE于M,根據(jù)坡度及AB的長可求出BN的長，進而可求出CN的長，即可得出ME的長，利用ZMBE的正切可求出CM的長，利用ZDCM

的正切可求出DM的長，根據(jù)DE=DM+ME即可得答案.【詳解】如圖，設CB丄AF于N,過點C作CM丄DE于M,???沿著坡度為i=1：2.4的斜坡AB步行26米到達點B處,BN_1AN_24,?AN=2.4BN,?BN2+(2.4BN)2=262,解得：BN=10（負值舍去），?CN=BN+BC=11.6,?ME=11.6,*ZMCE=30°,?CM=?CM=ME時皿恥'3'*ZDCM=37°,.??DM=CM?tan37°=8.7J3,???DE=ME+DM=11.6+8.7=26.7(米),故選：C.【點睛】本題考查解直角三角形的應用，正確構造直角三角形并熟練掌握三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵.如圖，將一個小球從斜坡的點0處拋出，小球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=4x-1一1一2X2刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=2x刻畫，下列結論錯誤的是（）

斜坡的坡度為1:2小球距0點水平距離超過4米呈下降趨勢小球落地點距0點水平距離為7米當小球拋出高度達到7.5m時，小球距0點水平距離為3m【答案】D【解析】【分析】求出拋物線與直線的交點，判斷A、C;根據(jù)二次函數(shù)的性質求出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)性質判斷b；求出當y二7.5時，x的值，判定d.詳解】y=—x2+4x解：解得，2解：解得，1y=x27，x=7，1y=01小球落地點距O點水平距離為7米，C正確;y=4x-x22=-—(x-4)2+8，2則拋物線的對稱軸為x=4，???當x>4時，y隨x的增大而減小，即小球距O點水平距離超過4米呈下降趨勢，B正確，當y=7.5時，7.5=4x-1x2，2整理得x2-8x+15=0，解得，x1=3，x2=5，???當小球拋出高度達到7.5m時，小球水平距O點水平距離為3m或5m，d錯誤，符合題意；故選：D【點睛】本題考查的是解直角三角形的-坡度問題、二次函數(shù)的性質，掌握坡度的概念、二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.如圖，^ABC的頂點是正方形網格的格點，則COSA=()

【答案】B【解析】【分析】【答案】B【解析】【分析】構造全等三角形,【詳解】證明△ABD是等腰直角三角形，進行作答.過A作AE丄BE,連接BD,過D作DF丄BF于F.?.?AE=BF,ZAEB=ZDFB,BE=DF,.??AB=DB.ZABD=90°,???△ABD是等腰直角三角形，近?cosZDAB=?2答案選B.【點睛】本題考查了不規(guī)則圖形求余弦函數(shù)的方法，熟練掌握不規(guī)則圖形求余弦函數(shù)的方法是本題解題關鍵.如圖，點E是矩形ABCD的邊AD的中點，且BE丄AC于點F,則下列結論中錯誤的是()1A.心CFZDCF=ZDFC圖中與△AEF相似的三角形共有5個tanZCAD=2【答案】D【解析】【分析】11AEAF1由AE=AD盲BC,又AD〃BC,所以二=亍故A正確，不符合題意；22BCFC21過D作DM〃BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=-BC,得到厶CN=NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質可得結論，故B正確，不符合題意；根據(jù)相似三角形的判定即可求解，故C正確，不符合題意；由厶BAEs^ADC,得到CD與AD的大小關系，根據(jù)正切函數(shù)可求tanZCAD的值，故D錯誤，符合題意.【詳解】解：A、TAD〃BC,.?.△AEFs^CBF,AEAF?BCFC11VAE=AD=—BC,22AF1=^■，故A正確，不符合題意；FC2B、過D作DM〃BE交AC于N,?.?DE〃BM,BE〃DM,.四邊形BMDE是平行四邊形，1BM=DE=BC,2.BM=CM,.CN=NF,?.?BE丄AC于點F,DM〃BE,DN丄CF,.DF=DC,ZDCF=ZDFC,故B正確，不符合題意；C、圖中與△AEF相似的三角形有厶ACD,△BAF,△CBF,△CAB,△ABE共有5個，故C正確,不符合題意.baD、設AD=a,AB=b由厶BAE^^ADC，有一==.a2CDbJ2VtanZCAD==—=——，故D錯誤，符合題意.ADa2故選：D.故選：D.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，圖形面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵.15.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,AB：BC=2：1,且BE〃AC,CE〃A.B.6)A.B.6)D.310【答案】B【解析】【分析】過點E作EF丄直線DC交線段DC延長線于點F,連接OE交BC于點G.根據(jù)鄰邊相等的平1行四邊形是菱形即可判斷四邊形OBEC是菱形，則OE與BC垂直平分，易得EF=二X,CF=x.再由銳角三角函數(shù)定義作答即可.【詳解】解：???矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,AB：BC=2：1,???BC=AD,設AB=2x，則BC=x.如圖，過點E作EF丄直線DC交線段DC延長線于點F,連接0E交BC于點G.?.?BE〃AC,CE〃BD,???四邊形B0CE是平行四邊形，???四邊形ABCD是矩形，.??0B=0C,???四邊形B0CE是菱形..OE與BC垂直平分，11???EP2AD=2x，0E〃AB'

???四邊形AOEB是平行四邊形,.°.OE=AB=2x,1?.CF=OE=x.2EF-x1AtanZEDC=DF=—=62x+x故選：B故選：B.【點睛】本題考查矩形的性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質以及解直角三角形,解題的關鍵是熟練掌握矩形的性質和菱形的判定與性質，屬于中考?？碱}型.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E、F分別在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交4于點O,下列結論：①ZDOC=90°,②OC=OE,③CE=DF,④tanZOCD=3，⑤S^DOC=S3四A.1個BA.1個B.2個C.3個D.4個【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的邊長為4,AE=BF=1，利用SAS易證得△EBC9AFCD，然后全等三角形的對應角相等，易證得①ZDOC=90。正確，③CE=DF正確；②由線段垂直平分線的性質與正方形的性質，可得②錯誤；易證得ZOCD=ZDFC,即可求得④正確；由①易證得⑤正確.詳解：?.?正方形ABCD的邊長為4,ABC=CD=4,ZB=ZDCF=90°.?.?AE=BF=1,?BE=CF=4-1=3.?BC=CD在"BC和"CD中，=/DCF,BE=CF:.△EBC^^FCD(SAS),?ZCFD=ZBEC,CE=DF,故③正確,.\ZBCE+ZBEC=ZBCE+ZCFD=90°,AZDOC=90°；故①正確；連接DE,如圖所示，若OC=OE.TDF丄EC,???CD=DE.???CD=AD<DE（矛盾），故②錯誤；VZOCD+ZCDF=90°,ZCDF+ZDFC=90°,AZOCD=ZDFC,AtanZOCD=tanZDC4DFC==，故④正確；FC3.△EBC竺△FCD,..Saebc=SafcD，?SAEBC-SAFOC=SAFCD-SAFOC，即S△ODC=S四邊形?F，故⑤正確；故正確的有：①③④⑤.故選D.點睛：本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質以及三角函數(shù)等知識.此題綜合性較強，難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與轉化思想的應用.已知B港口位于A觀測點北偏東45°方向，且其到A觀測點正北風向的距離BM的長為10€2km,一艘貨輪從B港口沿如圖所示的BC方向航行4\訂km到達C處，測得C處位于A觀測點北偏東75°方向，則此時貨輪與A觀測點之間的距離AC的長為（）用觀測點A.8運B.9、込【答案】A【解析】【分析】【詳解】解：?.?ZMAB=45°,BM=10j2,:.AB=BM2+MA2=（10\：'2）2+（10、；'2）2=20km,過點B作BD丄AC，交AC的延長線于D,在RtAADB中，ZBAD=ZMAC-ZMAB=75°-45°=30°,

tanZBAD=BD叵AD3.??AD=p3BD,BD2+AD2=AB2,即卩BD2+(BD)2=202,.??BD=10,.??AD=10f3,在RtABCD中，BD2+CD2=BC2,BC=4営3,??.CD=2j3,???AC=AD-CD=10\3-2話3=8<3km,答：此時貨輪與A觀測點之間的距離AC的長為8J3km.故選A.故選A.CC【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.如圖1,在厶ABC中，ZB=90°,ZC=30°,動點P從點B開始沿邊BA、AC向點C以恒定的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以恒定的速度移動，兩點同時到達點C,設ABPQ的面積為y(cm2).運動時間為x(s),y與x之間關系如圖2所示，當點P恰好為AC的中點時，PQ的長為()【答案】【解析】【分析】點P、Q的速度比為3：丫3，根據(jù)x=2,y=6*：3，確定P、Q運動的速度，即可求解.【詳解】a,解：設AB=a,ZC=30°,貝VAC=2a,BC=43設P、Q同時到達的時間為Ta,3a-</3a則點P的速度為—，點Q的速度為，故點P、Q的速度比為3：、：3,

故設點P、Q的速度分別為：3v、J3v,由圖2知，當x=2時，y=6朽，此時點P到達點A的位置，即AB=2x3v=6v,BQ=2xJ3v=2\3v，y=—xABxBQ=—x6vx2“3v=6、；'3，解得：v=1，故點P、Q的速度分別為：3,\；'3，AB=6v=6=a，貝yAC=12,BC=6朽，如圖當點P在AC的中點時，PC=6，此時點P運動的距離為AB+AP=12，需要的時間為12-3=4，貝9BQ=J3x=4\3，CQ=BC-BQ=6\3-4^3=2^3，過點P作PH丄BC于點H，PC=6，貝9PH=PCsinC=6x—=3,同理CH=3\：3，貝VHQ=CH-CQ=3\3-2,3=<3，PQ=\PH—+HQ—=v3+9=2朽，故選：C.【點睛】本題考查的是動點圖象問題，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關系，進而求解.如圖，平面直角坐標系中，A（8，0），B（0，6），ZBAO，ZABO的平分線相交于點C,過點C作CD〃x軸交AB于點D,則點D的坐標為（X168X168,1)C.(8,2)33D.（8，1）【答案】A【解析】【分析】延長DC交y軸于F,過C作CG丄OA于G,CE丄AB于E,根據(jù)角平分線