上海保德中學(xué)2022年度高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

上海保德中學(xué)2022年度高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若圓上的點(diǎn)到直線的最近距離等于1,則半徑r值是A.4

B.5

C.6

D.9參考答案：C2.曲線在點(diǎn)處的切線方程為(

)

A．x-y-2=0

B．x+y-2=0

C．x+4y-5=0

D．x-4y-5=0參考答案：B3.等差數(shù)列{an}中，a7+a9=16，a4=1，則a12=（）A．15B．30C．31D．64參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由a7+a9=16可得2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，從而求得a12的值．【解答】解：設(shè)公差等于d，由a7+a9=16可得2a1+14d=16，即a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得a1=﹣，d=．故a12=a1+11d=﹣+=15，故選：A．4.以等腰直角三角形ABC斜邊AB的中線CD為棱，將△ABC折疊，使平面ACD⊥平面BCD，則AC與BC的夾角為（）A．30° B．60° C．90° D．不確定參考答案：B【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】先判斷折疊后△ACD，△BCD，△ABD的形狀，進(jìn)而判斷出△ABC的形狀，從而可得答案．【解答】解：如圖所示：折疊后∠ACD=∠BCD=45°，AD⊥CD，BD⊥CD，則∠ADB為二面角A﹣CD﹣B的平面角，又平面ACD⊥平面BCD，所以∠ADB=90°，所以△ADB為等腰直角三角形，設(shè)AD=1，則AC=BC=AB=，所以△ABC為正三角形，所以∠ACB=60°．故選：B．5.直線與直線的位置關(guān)系是（）A.相交 B.平行 C.重合 D.由m決定參考答案：A【分析】本題首先可以根據(jù)題意得出兩直線的斜率，然后觀察兩直線斜率之間的關(guān)系，通過兩直線的斜率的關(guān)系即可得出結(jié)果。【詳解】由題意可知直線與直線斜率分別為和，所以兩直線的斜率既不相等，且乘積也不為-1，故直線與直線的位置關(guān)系是相交，故選A?！军c(diǎn)睛】本題考查了直線與直線的位置關(guān)系，如果兩直線的斜率相等，那么直線的關(guān)系是平行或者重合，如果兩直線的斜率乘積為，則兩直線相互垂直，屬于基礎(chǔ)題。6.數(shù)列1,－3,5,－7,9,…的一個通項公式為（

）

參考答案：C7.已知在正三角形ABC中，若D是BC邊的中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則.若把該結(jié)論推廣到空間，則有：在棱長都相等的四面體ABCD中，若三角形BCD的重心為M，四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等，則等于（

）A.4 B.3 C.2 D.1參考答案：B【分析】利用類比推理把平面幾何的結(jié)論推廣到空間中.【詳解】因為到四面體各面的距離都相等，所以為四面體內(nèi)切球的球心，設(shè)四面體的內(nèi)切球半徑為，則，其中表示四面體的體積，表示一個面的面積；所以,即，所以.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理，平面性質(zhì)類比到空間時注意度量關(guān)系的變化.8.下列函數(shù)中，存在極值點(diǎn)的是A. B. C. D. E.參考答案：BDE【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)極值的概念，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)，則，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)．函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值；函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，沒有極值點(diǎn)；函數(shù)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值；函數(shù)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以處取得極小值．故選BDE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，其中解答中利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值點(diǎn)或極值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9.已知x，y滿足不等式組，則z=2x﹣y的最大值為（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x﹣y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可．【解答】解：先根據(jù)約束條件，畫出可行域，由得A（1，0），當(dāng)直線z=2x﹣y過點(diǎn)A（1，0）時，z最大值是2，故選：C．10.設(shè)a＞0，b＞0則下列不等中不恒成立的是(

) A．a(chǎn)+≥2 B．a(chǎn)2+b2≥2（a+b﹣1） C．≥﹣ D．a(chǎn)3+b3≥2ab2參考答案：D考點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：利用不等式的基本性質(zhì)可得A、B、C正確，通過舉反例求得D不正確，從而的互結(jié)論．解答： 解：由條件a＞0，b＞0，利用基本不等式可得a+≥2，故A正確．根據(jù)a2+b2﹣2（a+b﹣1）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，可得B正確．當(dāng)a=b時，C成立；當(dāng)a＜b時，C顯然成立．當(dāng)a＞b時，C等價于a﹣b≥a+b﹣2，等價于≥b，等價于ab＞b2，顯然成立．故C恒成立．當(dāng)a=2、b=3時，a3+b3=35，2ab2=36，故此時D不成立，故D不正確．故選：D．點(diǎn)評：本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“”的否定是

參考答案：略12.定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x∈[1，2）時，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）﹣a的零點(diǎn)從小到大依次為x1，x2，x3，…xn，…，若，則x1+x2+…+x2n=．參考答案：6×（2n﹣1）【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】利用已知當(dāng)x∈[1，2）時，；?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．可得當(dāng)x∈[2，4）時的解析式，同理，當(dāng)x∈[4，8）時，f（x）的解析式，分別作出y=f（x），y=a，則F（x）=f（x）﹣a在區(qū)間（2，3）和（3，4）上各有一個零點(diǎn)，分別為x1，x2，且滿足x1+x2=2×3，依此類推：x3+x4=2×6，…，x2013+x2014=2×3×2n﹣1．利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】解：∵①當(dāng)x∈[1，2）時，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．當(dāng)x∈[2，4）時，∈[1，2），f（x）=2f（x）=2（﹣|﹣|）=1﹣|x﹣3|，x∈[4，8）時，∈[2，4），f（x）=2f（x）=2（1﹣|x﹣3|）=2﹣|x﹣6|，同理，則，F(xiàn)（x）=f（x）﹣a在區(qū)間（2，3）和（3，4）上各有1個零點(diǎn)，分別為x1，x2，且滿足x1+x2=2×3=6，依此類推：x3+x4=2×6=12，x5+x6=2×12=24…，x2n﹣1+x2n=2×3×2n﹣1．∴當(dāng)時，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6×（1+2+22+…+2n﹣1）=6×=6×（2n﹣1），故答案為：6×（2n﹣1）．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、區(qū)間轉(zhuǎn)換、對稱性、等比數(shù)列的前n項和公式等基礎(chǔ)知識與基本技能，屬于難題．13.直線y=k（x﹣1）+4必過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)是．參考答案：（1，4）【考點(diǎn)】過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓．【分析】令參數(shù)k的系數(shù)x﹣1=0，求得x和y的值，可得直線y=k（x﹣1）+4必過定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：令參數(shù)k的系數(shù)x﹣1=0，求得x=1，y=4，可得直線y=k（x﹣1）+4必過定點(diǎn)（1，4），故答案為：（1，4）．【點(diǎn)評】本題主要考查直線經(jīng)過定點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題．14.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓的左焦點(diǎn),A,B,D分別為橢圓C的左,右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且軸,過點(diǎn)A,D的直線l與直線PF交于點(diǎn)M,若直線BM與線段OD交于點(diǎn)N,且,則橢圓C的離心率為__________．參考答案：【分析】利用相似三角形的比例關(guān)系可得離心率.【詳解】如圖，因為軸，,所以，即；同理,所以,因為，所以有；聯(lián)立可得，故離心率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的離心率的求解，主要是構(gòu)建的關(guān)系式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15.平行于直線2x﹣y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是

．參考答案：2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0【考點(diǎn)】I7：兩條直線平行的判定；J7：圓的切線方程．【分析】設(shè)出所求直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線方程中的變量，1求出直線方程．【解答】解：設(shè)所求直線方程為2x﹣y+b=0，平行于直線2x﹣y+1=0且與圓x2+y2=5相切，所以，所以b=±5，所以所求直線方程為：2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0故答案為：2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0【點(diǎn)評】本題考查兩條直線平行的判定，圓的切線方程，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．16.已知復(fù)數(shù),則_______參考答案：5【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模計算公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，復(fù)數(shù)，則，故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的模的計算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的模的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于容易題.17.二項式展開式中的常數(shù)項為______．參考答案：60【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項的值．【詳解】解：的展開式的通項公式為，令，求得，所以展開式中常數(shù)項為．故答案：60．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(12分)已知在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合。⑴寫出該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；⑵求線段BC的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；⑶求BC所在直線的方程。參考答案：解：⑴由點(diǎn)在拋物線上，有解得p=16，所以拋物線方程為，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為。⑵解法一：由于是的重心，設(shè)M是BC的中點(diǎn)，所以，即有設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以解得，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為解法二：∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，⑶∵點(diǎn)在拋物線上，，又點(diǎn)在直線BC上…12分略19.如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥AC． （1）求證：AB⊥平面SAC； （2）設(shè)SA=AB=AC=1，求點(diǎn)A到平面SBC的距離． 參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計算；直線與平面垂直的判定． 【專題】空間位置關(guān)系與距離． 【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（2）作出輔助線，求出BC，SD的長，從而求出點(diǎn)到面的距離． 【解答】證明：（1）∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB， ∵AB⊥AC，∴AB⊥平面SAC； （2）如圖， 做AD⊥BC，交點(diǎn)為D，連接SD，做AE⊥SD，交點(diǎn)為E， ∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC， ∵AD⊥BC，∴BC⊥平面SAD，∴BC⊥AE， ∵AE⊥SD，∴AE⊥平面SBC， ∴AE的長度是A到平面SBC的距離， 由勾股定理得BC=， （面積相等）AD×BC=AB×AC=1， ∴AD=， 勾股定理得SD=， （面積相等）SA×AD=AE×SD， 即=AE×， ∴AE=， ∴A到平面SBC的距離為． 【點(diǎn)評】本題考查了線面垂直的判定定理，考查了距離的計算，是一道中檔題． 20.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線過的左焦點(diǎn),而且與軸垂直,又拋物線與此雙曲線交于點(diǎn),求拋物線和雙曲線的方程及雙曲線的漸近線方程。參考答案：略21.已知,證明：，并利用上述結(jié)論求的最小值(其中．

參考答案：………4分…