線性代數(shù)練習(xí)冊答案匯總

線性代數(shù)練習(xí)冊答案第五章相像矩陣及二次型1內(nèi)積52方陣的特點值與特點向量一．填空題：1.A是正交矩陣，則AA1.2.已知n階方陣A的特點值為1,2,,n，則EA12n.3.已知3階方陣A的特點值為1,1,2，則B3A22A的特點值為1,5,8；A2；A的對角元之和為2.4.若0是A的特點值，則A不能夠逆（可逆，不能夠逆）.5.A是n階方陣，Ad，則AA的特點值是d,d,,d（共n個）.二．用施密特法把以下向量組規(guī)范正交化111(1,2,3)124139解：11,1,1T12,11,2,3T6T1,0,1T22211,1,1133,1,32332122121,4,9141,1,181,0,11T,,TTT32333故b111T，b221T，b331T31,1,121,0,11,2,1.1236三．求以下矩陣的特點值和特點向量12100B0201.A2.2101212解：1.A的特點多項式為AE21(3)(1)故A的特點值為13,21.3時，解方程A3Ex0.由A3E22r11當(dāng)12:002得基礎(chǔ)解系P11k0)是對應(yīng)于3的所有特點向量.，故kP(1111時，解方程AEx0.由AE22r11當(dāng)222:00得基礎(chǔ)解系P21，故kP2(k0)是對應(yīng)于1的所有特點向量.121002.B的特點多項式為BE020(1)(2)2012故B的特點值為11,232.000r0111時，解方程BEx0.由B當(dāng)1E010:0100110001得基礎(chǔ)解系P10，故kP1(k0)是對應(yīng)于11的所有特點向量.0當(dāng)232時，解方程B2Ex0.100r100由B2E000:0000100100得基礎(chǔ)解系P20，故kP(k0)是對應(yīng)于232的所有特點向量.21四．證明以下各題1.x為n維列向量，且xTx1，求證：HE2xxT是對稱的正交陣.設(shè)A、B為同階正交陣，證明：AB也是正交陣.證明：1.HE2xxTHTE2xxTTET2xTTHxT故H為對稱陣.又HTHE2xxTE2xxTE4xxT4xxTxxTE4xxT4xxTE故H為正交陣.2.因A,B為同階正交陣，故ATAE,BTBE.TABBTATABBTEBBTBE，故AB為正交陣.又AB五．A是n階方陣，命題P為：A的特點值均不為0.請盡量多的列舉與P等價的命題.（如A可逆.最少列舉3個）解：等價命題：P1：A的列（行）向量組線性沒關(guān)P2：A0P3：齊次線性方程組Ax0只有0解P4：A的秩為n53相像矩陣54實對稱矩陣的相像矩陣一．填空題：1.若是A的特點向量，則P1是P1AP的特點向量.2.若A與B相像，則AB.2002003.A001與B0y0相像，則x0，y1.01x0014.若是A的k重特點根，則必有k個相應(yīng)于的線性沒關(guān)的特點向量，不對（對，不對），若A是實對稱的呢？對（對，不對）.二．多項選擇題（選出所有正確的選項，可能不但調(diào)個）1.n階方陣A相像于對角矩陣的充分必需條件是A有n個（C）（A）互不同樣的特點值；（B）互不同樣的特點向量；（C）線性沒關(guān)的特點向量；（D）兩兩正交的特點向量；2.方陣A與B相像，則必有（BD）（A）EAEB；（B）A與B有同樣的特點值；（C）A與B有同樣的特點向量；（D）A與B有同樣的秩；3.A為n階實對稱矩陣，則（ACD）（A）屬于不同樣特點值的特點向量必然正交；（B）A0；（C）A必然有n個兩兩正交的特點向量；（D）A的特點值均為實數(shù)；100三．A021，試求一個可逆矩陣P使得P1AP為對角陣，并求Am.012解：先求A的特點值和特點向量.100EA021(1)2(3)012故A的所有特點值為13,231.當(dāng)13時，解方程A3Ex0.200r100A3E011:0110110000令P1，則P1即為對應(yīng)于13的特點向量.11當(dāng)231時，解方程AEx0.000r000AE011:01101100010令P20,P31，則P,P即為對應(yīng)于231的特點向量.2301010明顯，P1,P2,P3線性沒關(guān).令PP1,P2,P3101，則101310013m13mP1AP1APP1AmPmP10122013m13m221四．三階實對稱矩陣A的特點值為0,2,2，又相應(yīng)于特點值0的特點向量為P11，求1出相應(yīng)于2的所有特點向量.解：由于A為三階實對稱矩陣，故A有三個線性沒關(guān)的特點向量，且對應(yīng)于不同樣特點值的特點向量兩兩正交.已知對應(yīng)于10的特點向量為P1，設(shè)對應(yīng)于232的特點向量為P2,P3，則PTP0,PTP30.即P,P為齊次線性方程組PTx0的兩個線性沒關(guān)的解.由PTx0得1212311x1x2x3x2101,1.0.令,，則x1x30111取P21,P30，則P2,P3即為對應(yīng)于232的特點向量.01令k2P2k3P3（k2,k3不全為零），則為對應(yīng)于232的所有特點向量.五．設(shè)3階方陣A的特點值為11,20,31，對應(yīng)的特點向量分別挨次為122P12,P22,P31，求A.212解：由于123，故A可對角化，且1,2,3所對應(yīng)的特點向量P1,P2,P3線性沒關(guān).1明顯AP1,P2,P3P1,P2,P32，令PP,P,P，123311P11102故AP2P1P0012.13220355二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形56用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形57正定二次型一．填空題：1.f(x,y)x22xyy22x是否是二次型？答：不是.2.f(x1,x2,x3)4x1x22x1x32x2x3的秩是3；秩表示標(biāo)準(zhǔn)形中平方項的個數(shù)．110．A1k0,A為正定矩陣,則k知足大于1.300k2二．A為實對稱矩陣，選出所有的A為正定矩陣的充分必需條件（12346）1.對隨意的列向量x0，xAx02.存在可逆方陣C，使得ACC3.A的次序主子式所有大于零4.A的主子式所有大于零5.A的隊列式大于零6.A的特點值所有大于零001x2三．f(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)300x3430x1求二次型f(x1,x2,x3)所對應(yīng)的矩陣A；求正交變換xPy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.001x2x1解：1.f(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)300x3(x1,x2,x3)3x2430x14x23x3x123x224x2x33x32100故二次型f(x1,x2,x3)所對應(yīng)的矩陣A032.023問題可轉(zhuǎn)變?yōu)榍笳痪仃嘝，將A化為對角形.100AE032(1)2(5)023故A的特點值為121,35.當(dāng)121時，解方程AEx0.000011x110rAE022:000.令0,，得x20,1.022000x3110取10,21，則1,2即為對應(yīng)于121的特點向量.01明顯，1,2正交.將1,2單位化得101P110,P22210212當(dāng)35時，解方程A5Ex0.400100x10r1.令x3A5E022:011，得.022000x210取31，則3即為對應(yīng)于35的特點向量.10將3單位化得P333

1.2121令PP1P2P3，則P1AP1.5故f(x1,x2,x3)的標(biāo)準(zhǔn)形為y12y225y32.四．已知A和B都為n階正定矩陣，求證AB的特點值所有大于零.證明：由于A,B都為n階正定矩陣，則對隨意n維列向量x0，有xTAx0,xTBx0xTABx0.即AB是正定矩陣.故AB的特點值所有大于零.五．已知A為n階正定矩陣，求證AE1.證明：由于A為n階正定矩陣，則A的n個特點值1,2,,n全大于零且存在正交矩陣P，使得11P1AP2AP2P1.nn11由AEP21PP1P2EP1Pnn1P211，得P112111121n11AEPPn1六.求L:x2xyy21圍成的面積.解：設(shè)二次型令A(yù)

f(x,y)112112

11xx2xyy2x,y2.y12，則A是對稱矩陣且正定.設(shè)1,2為A的特點值，可知存在正交矩陣P，使得P1APPTAP10A0，得11,23..由E0222由于正交變換不改變向量的長度，故可用正交變換xPz1，使得yz2XTAXZTPTAPZZTP1APZ1z122z22，此中Xx,Zz1.yz2綜上可知，經(jīng)過正交變換后，f(x,y)1z123z22.故L的面積即為橢圓：22123222z12z21的面積.面積S3.第五章復(fù)習(xí)題三、計算題1、設(shè)3階對稱陣A的特點值為6，3，3，與特點值6對應(yīng)的特點向量為p1T1,1,1，求A解：由于對稱矩陣對應(yīng)于不同樣特點值的特點向量是兩兩正交的，因此求對應(yīng)于3的特征向量即為求與1,1,1T正交的特點向量。px0,即xx2x0113解得p2T,p31,0,1T1,1,0即為對應(yīng)的特點向量111令Pp1p2p31101016P1AP336411AP3P114131142、設(shè)3階對稱陣A的特點值為1，2，3，對應(yīng)的特點向量挨次為：TT,1,3,9TT11,1,1,21,2,43，給定向量1）將T2,3；2）求出Am用1,解：1）解方程1,2,3x，111x11x12即解123x21得x2－2149x33x31122312）P1,2,3,P1AP231P1AmPP1APP1APP1APm2m3m1AmP2mP13m1111113m22m1Am1232m12322m23m11493m14922m313m24、fx1,x2,x32x123x223x322ax2x3a0，已知f經(jīng)過正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)型fy122y225y32，求參數(shù)a及所有的正交變換矩陣。200x1解：fx1,x2,x3x1,x2,x303ax2xTAx0a3x3A29a212510a2,又a0a2200032023先求A的三個特點值對應(yīng)的特點向量，再將其單位化獲得1,2,3，則P1,2,3即為。5、fx1,x2xn2x2222x1a1x2a2x3xn1an1xnxnanx1，問實數(shù)a1an知足何條件時，二次型fx1,x2xn為正定二次型。解：fx1,x2xn0，若存在不全為零的x1,x2xn使得x1a1x20x2a2x30（1）xnanx10則fx1,x2xn不是正定的，即（1）有非零解時不知足題意，因此求a使得（1）僅有獨一零解。1a100n10001011a1an0Aanan11rn1an1rn,r1a1r2001an10an01an0011n101a1ana1an1n四、證明題1、設(shè)A為n階矩陣，1和2是A的兩個不同樣的特點值，x1、x2是分別屬于1和2的特征向量，試證明x1x2不是A的特點值。證明：12,Ax11x1;Ax22x2，若x1x2是A的特點向量，即有Ax1x2x1x2x1x21x12x21x12x20而且1，2不同樣時為零即x1,x2線性有關(guān)，矛盾因此，x1x2不是A的特點向量。2、設(shè)二階方陣A的隊列式為負(fù)數(shù)，求證A可相像于對角矩陣。證明：A12012A可相像于對角陣。3、A、B為兩個n階矩陣，且A的n個特點值兩兩相異，若A的特點值恒為B的特點向量，則

AB＝BA。證明：設(shè)

A的特點值為

1,

2

n，對應(yīng)特點向量為

p1,p2

pn，而且該特點向量對應(yīng)

B的特點值為

k1,k2

kn，那么有AB

p1,p2

pn

Ak1p1,k2p2

knpn

k1Ap1,k2Ap2

knApnk1

p1,k2

p2

knnpnBA

p1,p2

pn

Bk1p1,k2p2

knpn

k1Bp1,k2Bp2

knBpnk1kp1,k2kp2

knknpnABP

BAP又兩兩互異，即P可逆ABBA4、若A正定，則A*也正定。證明：設(shè)A的特點值為，對應(yīng)特點向量為x，即AxxAxxA*Ax|A|xA*xA正定，因此0,|A|0A*x|A|x，|A|為A*的特點值，|A|0A*也正定。5、A為n階實對稱矩陣，則當(dāng)t充分大時，A＋tE必為正定。證明：設(shè)A的n個特點值為1,2n＋tE的n個特點值為：，則A1t,2tnt∵A為對稱陣∴1,2n為實數(shù)∴t0,st..t0i1,2,n∴A＋tE為正定陣。6、A為正定矩陣，證明：存在可逆矩陣U，使A＝UTU。證明：設(shè)正定陣A的n個特點值為1,2n∴存在正交陣P，使得111PTAPnnn11∴APPTPPTUTU，nn1此中UPPTn7、A為m×n實矩陣，A的秩為n，證明ATA正定。證明：ATTATA，因此ATA是對稱陣Ax0,xTATAxT2AxAxAxRAnx0,Ax0xTATAxAx20∴ATA是正定的。8、A是

n階正交矩陣，

A

1，求證－1是

A的一個特點值。證明：

AE

|A

AAT

||A

A

E

T

||A||A

E||A|

1|A

E|

0∴－1是A的一個特點值第五章自測題（

A）四、已知

3階矩陣

A的特點值為

1，－1，2，設(shè)矩陣

B

A3

5A2，試求：（1）B的特點值；（2）

B及

A

5E

。解：1)

設(shè)A的特點值為

，對應(yīng)特點向量為

x，即

Ax

x則35為A35A2的一個特點值∴B的特點值為：－4，－6，－122）|B|46122885E對應(yīng)的特點值為：－4，－6，－3∴|A5E|46372五、設(shè)3階方陣A的特點值為11,20,31,對應(yīng)的特點向量挨次為TT2,1,2Tp1=1,2,2,p2=2,2,1,p3=,求A。解：記Pp1,p2,p3,1則P1AP,APP1六、已知二次型fx1,x2,x35x125x22cx322x1x26x1x36x2x3的秩為2.（1）求參數(shù)c及此二次型對應(yīng)矩陣的特點值；（2）指出方程fx1,x2,x31表示何種曲面。解：1）二次型對應(yīng)的矩陣為A513A15333cRA2|A|0c3對應(yīng)的特點值為14,29,302）二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)型fy1,y2,y34y129y22，此中xPy4y129y221表示橢圓柱面，而正交變換不改變形狀∴fx1,x2,x3也表示橢圓柱面。七、證明題1、設(shè)

A為

n階方陣，且

A2

E，證明：

A的特點值為

1或－1.證明：設(shè)

Ax

x∴A2x

2x

x∴1,即A的特點值為

1或－12、設(shè)矩陣A與B相像，證明：（1）AT與BT相像；（2）A可逆時，A1與B1相像。證明：1)設(shè)BP1AP，則BTP1APTPTATP1TPTATPT1記Q1PT,BTQ1AQ）設(shè)BP1AP，若A可逆，則必有B可逆∴B1P1AP11A1PP∴B1與A1相像3、設(shè)A是n階實對稱矩陣，證明A可逆的充要條件是存在n階實矩陣B，使ABBTA是正定矩陣。證明：充分性：若存在B，使得ABBTA正定即x0,xTABBTAx0∴xTABxxTBTAxAxTTTBx0（1）BxBxAx2Ax若RAn，即x0,st..Ax0，此時（1）式2AxT0，矛盾Bx∴RAn，即A可逆必需性：若A可逆B,ABEABBTAABBTATABABT2E2E是正定的ABBTA是正定的第五章自測題（B）12三、已知向量k是矩陣A的逆矩陣A1的特點向量，求k的1值。解：A1存在AxxA1x1x即1為A1的特點值，x為對應(yīng)特點向量也為A的特點向量，為對應(yīng)特點值A(chǔ)1kk1k32k2kk3k2或k1四、設(shè)四元二次型f(x1,x2,x3)xTAx，此中01001000A00y10012（1）已知A的一個特點值為3，求y；T（2）求矩陣P，使APAP為對角陣。解：1）|A3E|0,y21810002）BATA0100，下邊求P使得P1BP為對角陣。00540045五、已知三階矩陣A和三維向量x，使得向量x,Ax,A2x線性沒關(guān)，且知足A3x3Ax2A2x，（1）記PxAxA2x，求三階矩陣B，使得APBP1；（2）計算隊列式AE解：1）000APAxAxA2xAxA2xA3xxAxA2x103PB012又xAxA2x線性沒關(guān)可逆P000APBP1,此中B1030122）AEPBP1EPBP1PP1PBEP1100AEBE1134011六、某實驗性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行嫻熟工與非嫻熟工的人數(shù)統(tǒng)計，此后將1/6的嫻熟工增援其余生產(chǎn)部門，其缺額有招收信的非嫻熟工補(bǔ)齊，新、老非嫻熟工經(jīng)過培訓(xùn)實時