第2章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)習(xí)題

會(huì)計(jì)學(xué)1第2章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)習(xí)題2023/1/191:36第2頁共112頁

§2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法1、Lagrange方法（拉格朗日方法，質(zhì)點(diǎn)法）著眼于流場中每一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤觀察每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡以及運(yùn)動(dòng)參數(shù)（速度、壓強(qiáng)、加速度等）隨時(shí)間的變化，然后綜合所有流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，得到整個(gè)流場的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。2、Euler方法

觀察者相對于坐標(biāo)系是固定不動(dòng)的，著眼于不同流體質(zhì)點(diǎn)通過空間固定點(diǎn)的流動(dòng)行為，通過記錄不同空間點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)情況，從而獲得整個(gè)流場的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?！?.1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法一個(gè)速度場第1頁/共23頁2023/1/191:36第3頁共112頁§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第2頁/共23頁2023/1/191:36第4頁共112頁右邊第1項(xiàng)：

表示速度對時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，是由流場的非定常性引起的，稱為局部加速度，或當(dāng)?shù)丶铀俣?；右邊其他?xiàng)：

表示因流體質(zhì)點(diǎn)位置遷移引起的加速度，稱為遷移加速度，位變加速度，或?qū)α骷铀俣取６叩暮铣煞Q為全加速度，或隨體加速度。加速度描述第3頁/共23頁2023/1/191:36第5頁共112頁算子表示隨流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)數(shù)，稱隨體導(dǎo)數(shù)。除速度外，對流場中其它變量也成立。如對于壓強(qiáng)p，有推廣第4頁/共23頁流線:流場中的瞬時(shí)光滑曲線，在曲線上流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向與各該點(diǎn)的切線方向重合。跡線：流體質(zhì)點(diǎn)在一定時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的所有空間點(diǎn)的集合。場、定常與非定常流管、流面、流量：vs流量是單位時(shí)間內(nèi)穿過指定截面的流體量（體積、質(zhì)量或重量），例如穿過上述流管中任意截面A的體積流量、質(zhì)量流量和重量流量可分別表為其中，是局部速度向量，是密度，是微元面積的法線向量第5頁/共23頁2023/1/191:36第7頁共112頁或2.1.2流線微分方程第6頁/共23頁2023/1/191:36第8頁共112頁流體微團(tuán)平動(dòng)速度：流體微團(tuán)線變形速率：

流體微團(tuán)角變形速率（剪切變形速率）：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式第7頁/共23頁2023/1/191:36第9頁共112頁按速度泰勒級數(shù)展開有

§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理第8頁/共23頁2023/1/191:36第10頁共112頁§2.2.3散度及其意義散度在流體力學(xué)里表示流體微團(tuán)的相對體積膨脹率（單位時(shí)間單位體積的增長量）。三個(gè)相互垂直方向的線變形率之和在向量分析中稱為速度V的散度，符號為divV，即在密度不變的不可壓流動(dòng)里，微團(tuán)的體積不變，其速度的散度必為零。第9頁/共23頁2023/1/191:36第11頁共112頁一個(gè)流場，如果各處的ω都等于零，這樣的流場稱為無旋流場，其流動(dòng)稱為無旋流。否則為有旋流場，其流動(dòng)稱有旋流。根據(jù)數(shù)學(xué)上Stokes定律§2.2.4旋度和位函數(shù)流體微團(tuán)繞自身軸的旋轉(zhuǎn)角速度的三個(gè)分量為ωx，ωy，ωx，合角速度可用矢量表示為這個(gè)值在向量分析里記為（1/2）rotV，稱為V的旋度。即有旋度為旋轉(zhuǎn)角速度的二倍：如果是無渦流場，那么其旋度為零，由此得到

說明速度場的曲線積分與路徑無關(guān)，僅是坐標(biāo)位置的函數(shù)。。第10頁/共23頁2023/1/191:36第12頁共112頁；；§2.2.4旋度和位函數(shù)在數(shù)學(xué)上表示下列微分代表某個(gè)函數(shù)的全微分，即上式中這個(gè)函數(shù)稱為速度勢函數(shù)或速度位，其存在的充分必要條件是無渦流動(dòng)。速度勢函數(shù)僅是坐標(biāo)位置和時(shí)間的函數(shù)。即速度勢函數(shù)與速度分量的關(guān)系為說明速度勢函數(shù)在某個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)等于速度矢量在那個(gè)方向的分量。第11頁/共23頁2023/1/191:36第13頁共112頁微分形式的連續(xù)方程：對于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)椤?.3.1連續(xù)方程第12頁/共23頁2023/1/191:36第14頁共112頁結(jié)論：流體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)服從質(zhì)量守恒定律，這條定理在空氣動(dòng)力學(xué)中的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為連續(xù)方程或質(zhì)量方程.矢量表達(dá)形式對于定常不可壓流體的極坐標(biāo)方程另一形式第13頁/共23頁2023/1/191:36第15頁共112頁2.3.2流函數(shù)又故有(2-23)(2-24)(2-25)速度位與流函數(shù)關(guān)系：等位線族與流線族正交φ(x,y)稱為流函數(shù)第14頁/共23頁2023/1/191:36第16頁共112頁歐拉方程微分形式（牛頓第二定律的描述）(教材更直觀)：上三式即為笛卡兒坐標(biāo)系下理想流體運(yùn)動(dòng)的歐拉方程（1755年）。表明了流體質(zhì)點(diǎn)的加速度等于質(zhì)量力減去壓力梯度。寫成另一種形式，為§2.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組第15頁/共23頁2023/1/191:36第17頁共112頁如果上式右邊項(xiàng)為零，有這樣在曲線上，下式成立。這就是Bernoulli積分，或伯努利方程。上式表明，對于理想正壓流體的定常流動(dòng)，在質(zhì)量力有勢條件下，單位體積流體微團(tuán)沿著這條特定曲線s的勢能、壓能和動(dòng)能之和不變，即總機(jī)械能不變。（1738年）§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義Bernoulli積分成立的條件，是（1）沿著任意一條流線，Bernoulli積分成立。這是因?yàn)椋诖饲闆r下第16頁/共23頁2023/1/191:36第18頁共112頁

現(xiàn)任取一體積，邊界表面積為S0的確定系統(tǒng)作為考察對象。（1）連續(xù)方程（質(zhì)量守恒）

表示，在系統(tǒng)內(nèi)不存在源和匯的情況下，系統(tǒng)的質(zhì)量不隨時(shí)間變化。（2）動(dòng)量方程

表示：系統(tǒng)的動(dòng)量對時(shí)間的變化率等于外界作用于系統(tǒng)上的所有外力的合力。（3）動(dòng)量矩方程

表示：系統(tǒng)對某點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的變化率等于外界作用于系統(tǒng)上所有外力對同一點(diǎn)力矩之和?！?.4.2Lagrange型積分方程附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程第17頁/共23頁2023/1/191:36第19頁共112頁由動(dòng)量積分方程，可得積分形式動(dòng)量方程的一個(gè)重要方面在于人們往往不需要知道控制體中的流動(dòng)細(xì)節(jié)，只需要知道控制面邊界處的流動(dòng)屬性來求作用力，這個(gè)作用力可以包含摩擦力的影響在內(nèi)，例如用上述方程來求物體受到的阻力等。上述方程常常用于定常流動(dòng)的氣體中，用于定常流時(shí)上式中的當(dāng)?shù)刈兓室豁?xiàng)等于零，用于氣體則質(zhì)量力可以忽略。附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程第18頁/共23頁2023/1/191:36第20頁共112頁2.6旋渦運(yùn)動(dòng)---要點(diǎn)2.6.1渦線、渦管及旋渦強(qiáng)度渦線式充滿運(yùn)動(dòng)流體的旋渦場中的一系列曲線，它具有這樣的性質(zhì)：在某瞬時(shí)該曲線上微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度向量（旋轉(zhuǎn)軸線方向按右手定則）都和曲線相切，如圖其微分方程為第19頁/共23頁2023/1/191:36第21頁共112頁2.6.3直線渦的誘導(dǎo)速度及畢奧－薩瓦定律我們把流場中由旋渦存在而產(chǎn)生的速度稱為誘導(dǎo)速度。其大小可由畢奧－薩瓦公式來確定。在不可壓流動(dòng)中，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為或式中dL為渦線上的微段長度；

r為流場中任意點(diǎn)至微段的距離；為微段dL與r之間的夾角；

Γ為旋渦強(qiáng)度。

dω的方向垂直于ONM平面，見圖2.6旋渦運(yùn)動(dòng)---要點(diǎn)第20頁/共23頁2023/1/191:36第22頁共112頁2.6.4海姆霍茲旋渦定理定理一在同一瞬間沿旋渦線或渦管的旋渦強(qiáng)度不變。定理二渦線不能在流線中中斷；只能在流體邊界上中斷或形成定理三在理想流中，渦的強(qiáng)度不隨時(shí)間變化，既不會(huì)增強(qiáng)也不會(huì)削弱或消失。閉合圈。2.6旋渦運(yùn)動(dòng)---要點(diǎn)第21頁/共23頁2023/1/191:36第23頁共112頁本章基本要求了解兩種描述流場的方法的區(qū)別與特點(diǎn)，重點(diǎn)掌握歐拉法下加速度的表達(dá)和意義掌握流體微團(tuán)的幾種變形和運(yùn)動(dòng)及其數(shù)學(xué)表達(dá)，掌握流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分解與剛體運(yùn)動(dòng)