四川省達(dá)州市萬源第三中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

四川省達(dá)州市萬源第三中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列說法正確的是

A.命題“x0∈R，x02＋x0＋1<0”的否定是：“x∈R，x2＋x＋1>0”;B.“x=－1”是“x2－5x－6=0”的必要不充分條件;C.命題“若x2=1，則x=1”的否命題是：若x2=1，則x≠1;D.命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題.參考答案：D2.已知函數(shù)與直線相交，若在軸右側(cè)的交點自左向右依次記為，，，……，則等于（

）

參考答案：A略3.已知長方形的四個頂點A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1)，一質(zhì)點從AB的中點沿與AB夾角為的方向射到BC上的點后，依次反射到CD、DA和AB上的點、和（入射角等于反射角），設(shè)坐標(biāo)為（），若，則tan的取值范圍是（）(A)（）

(B)

（）

(C)（）

(D)（）參考答案：C若由射到BC的中點上，這樣依次反射最終回到，此時容易求出tan＝，因，則tan≠，排除A、B、D.4.命題p：x∈R且滿足sin2x=1．命題q：x∈R且滿足tanx=1．則p是q的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：由sin2x=1得2x=+2kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，由tanx=1，得x=，k∈Z，∴p是q的充要條件．故選：C．5.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論中不正確的是（A）在區(qū)間上單調(diào)遞增

（B）的一個對稱中心為（C）的最小正周期為

（D）當(dāng)時,的值域為

參考答案：D略6.“a≥0”是“函數(shù)在區(qū)間（－∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減”的（

）A.充要條件

B.必要不充分條件C.充分不必要條件

D.即不充分也不必要條件參考答案：A略7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足為偶函數(shù)，若f(x)在(03)內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是A. B.C. D.參考答案：A分析】根據(jù)以及為偶函數(shù)即可得出，并且可得出,根據(jù)在內(nèi)單調(diào)遞減即可得結(jié)果.【詳解】，的周期為6，又為偶函數(shù)，，，,，又在內(nèi)單調(diào)遞減，，，故選A.【點睛】在比較，，，的大小時，首先應(yīng)該根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性將，，，通過等值變形將自變量置于同一個單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)單調(diào)性比較大?。?.描述總體穩(wěn)定性的特征數(shù)是，以下統(tǒng)計量能估計總體的穩(wěn)定性的有（

）Ａ．樣本平均值

Ｂ．樣本方差 Ｃ．樣本最大值

Ｄ．樣本最小值參考答案：B9.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的取值情況，設(shè)m=f（x），利用換元法，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根的分布建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：化簡可得f（x）=，當(dāng)x＞0時，f（x）≥0，f′（x）===，當(dāng)0＜x＜時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞時，f′（x）＜0，故當(dāng)x=時，函數(shù)f（x）有極大值f（）====；當(dāng)x＜0時，f′（x）==＜0，f（x）為減函數(shù)，作出函數(shù)f（x）對應(yīng)的圖象如圖：∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有一個最大值為f（）=；設(shè)t=f（x），當(dāng)t＞時，方程t=f（x）有1個解，當(dāng)t=時，方程t=f（x）有2個解，當(dāng)0＜t＜時，方程t=f（x）有3個解，當(dāng)t=0時，方程t=f（x）有1個解，當(dāng)t＜0時，方程m=f（x）有0個解，則方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0等價為t2﹣mt+m﹣1=0，等價為方程t2﹣mt+m﹣1=（t﹣1）[t﹣（m﹣1）]=0有兩個不同的根t=1，或t=m﹣1，當(dāng)t=1時，方程t=f（x）有1個解，要使關(guān)于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，則t=m﹣1∈（0，），即0＜m﹣1＜，解得1＜m＜+1，則m的取值范圍是（1，+1）故選：A【點評】本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，是解決本題的關(guān)鍵．10.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則以下四個命題中錯誤的是（

）A.直線與為異面直線 B.平面C.D.三棱錐的體積為參考答案：D由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，知：在A中，直線A1C1?平面A1B1C1D1，BD1?平面A1B1C1D1，D1?直線A1C1，由異面直線判定定理得直線A1C1與AD1為異面直線，故A正確；在B中，∵A1C1∥AC，A1C1?平面ACD1，AC?平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1，故B正確；在C中，∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1，∴AC⊥面BDD1，∴BD1⊥AC，故C正確；在D中，三棱錐D1﹣ADC的體積：==，故D錯誤．故選：D．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.己知拋物線y2=4x的焦點為F，過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，則直線的斜率為

時，|AF|+4|BF|取得最小值．參考答案：±2．【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意，設(shè)|AF|=m，|BF|=n，則=1，利用基本不等式可求m+4n的最小值時，m=2n．設(shè)過F的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）根據(jù)韋達(dá)定理可求得x1x2=1，x1+x2=2+根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，設(shè)|AF|=m，|BF|=n，則=1，∴m+4n=（+）（m+4n）=5++≥9，當(dāng)且僅當(dāng)m=2n時，m+4n的最小值為9，設(shè)直線的斜率為k，方程為y=k（x﹣1），代入拋物線方程，得k2（x﹣1）2=4x．化簡后為：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）則有x1x2=1，x1+x2=2+根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴x1+1=2（x2+1），聯(lián)立可得k=±2．故答案為：±2．12.定義域為實數(shù)集的函數(shù),若對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”，現(xiàn)給出如下函數(shù)：①②③④其中為“函數(shù)”的有（

）A.①②

B.③④

C.②③

D.①②③參考答案：C試題分析：解：對于任意給定的不等實數(shù)，不等式恒成立不等式等價由為恒成立即函數(shù)是定義在上的增函數(shù)①函數(shù)在定義域上不單調(diào)，不滿足條件②為增函數(shù)，滿足條件③，，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件④，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件，綜上滿足“函數(shù)”的函數(shù)為②③，故答案為C.考點：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.13.若函數(shù)f（x）=4x﹣a?2x+1在區(qū)間[﹣1，1]上至少有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：a≤﹣2或2≤a≤2.5【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令t=2x（≤t≤2），y=t2﹣at+1=（t﹣）2+1﹣，通過題意知，需討論二次函數(shù)f（x）對稱軸的分布情況，解出a即可．【解答】解：令t=2x（≤t≤2），y=t2﹣at+1=（t﹣）2+1﹣對稱軸x=，①若≤或≥2，即a≥4或a≤1時，則在區(qū)間[，2]上有零點的條件是：f（）?f（2）≤0，無解；②若＜＜2，即1＜a＜4時，則在區(qū)間[，2]上有零點的條件是：f（﹣）＜0，且f（），f（2）中有一個大于0，即或，解得：a＜﹣2或2＜a＜2.5，取“=”也成立，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是：2≤a≤2.5，故答案為：2≤a≤2.5．【點評】熟練掌握二次函數(shù)圖象以及對稱軸、取零點的情況是求解本題的關(guān)鍵．14.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則的值為____.參考答案：15.△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，則邊c=．參考答案：

【考點】正弦定理．【分析】由已知利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式可求cosC，進(jìn)而利用余弦定理即可計算得解．【解答】解：∵cos（A+B）=cos（π﹣C）=，可得：cosC=﹣，又∵a=3，b=2，∴由余弦定理可得：c===．故答案為：．16.正四面體S—ABC中，E為SA的中點，F(xiàn)為的中心，則直線EF與平面ABC所成的角的正切值是

。

參考答案：17.設(shè)，則多項式的常數(shù)項是

。參考答案：-332三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．（1）求證：PC⊥AC；（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；（3）求點B到平面MAC的距離．參考答案：（1）證明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∵∴PC⊥AC．

2分（2）在平面ABC內(nèi)，過C作BC的垂線，并建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．設(shè)P（0，0，z），則．．∵，且z＞0，∴，得z=1，∴．設(shè)平面MAC的一個法向量為=（x，y，1），則由得得

∴．平面ABC的一個法向量為．．顯然，二面角M﹣AC﹣B為銳二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值為．

8分（3）點B到平面MAC的距離．

12分19.設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax+2（x∈R，a＜0），關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素．（1）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=f（n）（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式；（2）記bn=（n∈N*），則數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項能組成等比數(shù)列？請說明理由．參考答案：考點：數(shù)列的應(yīng)用；二次函數(shù)的性質(zhì)．分析：（1）由題設(shè)條件知a2﹣4×2=0?a=﹣2，故f（x）=（x+）2．a(chǎn)n=Sn﹣Sn﹣1=2n+2﹣1，所以an=．

（2）求出數(shù)列{bn}的通項，假設(shè)數(shù)列{bn}中存在不同的三項構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，建立等式，即可得出結(jié)論．解答： 解：（1）∵關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，∴二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax+2（x∈R，a＜0）的圖象與x軸相切，則△=（﹣a）2﹣4×2=0，∵a＜0，∴a=﹣2．∴f（x）=x2+2x+2=（x+）2，∴數(shù)列{an}的前n項和Sn=（n+）2（n∈N*）．

于是，當(dāng)n≥2，n∈N*時，an=Sn﹣Sn﹣1=（n+）2﹣[（n﹣1）+]2=2n+2﹣1，當(dāng)n=1時，a1=S1=（1+）2=3+2，不適合上式．所以數(shù)列{an}的通項公式為an=．

（2）由（1）知，Sn=n2+2n+2（n∈N*）．

∵bn=，∴bn===n+2．假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp，bq，br（正整數(shù)p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則bq2=bp?br，即（q+2）2=（p+2）（r+2），整理，得（pr﹣q）2+2（p+r﹣2q）=0．

因為p，q，r都是正整數(shù)，所以，于是pr﹣（）2=0，即（p﹣r）2=0，從而p=r與p≠r矛盾．故數(shù)列{bn}中不存在不同的三項能組成等比數(shù)列．點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解及等比數(shù)列性質(zhì)的研究．第（1）問由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，得到Sn=f（n），然后由此求出數(shù)列{an}的通項公式，由Sn求通項an時注意檢驗初始項a1是否滿足；第（2）問判斷數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項能組成等比數(shù)列，基本方法是先假設(shè)它們成等比數(shù)列，再證明問題是否有解．20.已知函數(shù)f（x）是定義在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得當(dāng)x∈[﹣e，0）時，f（x）的最小值是3．如果存在，求出a的值，如果不存在，說明理由．參考答案：【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】（I）由已知中函數(shù)f（x）是定義在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，結(jié)合當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx．我們可以根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，得到x∈[﹣e，0）時，函數(shù)的解析式，進(jìn)而得到f（x）的解析式；（II）由（I）中函數(shù)的解析式，我們可以求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，分類討論后可得：當(dāng)a＜﹣時，﹣e≤x≤?f′（x）=a﹣＜0，此時函數(shù)f（x）有最小值，再由f（x）的最小值是3，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可求了答案．【解答】（1）設(shè)x∈[﹣e，0），則﹣x∈（0，e]，∴f（﹣x）=﹣ax+ln（﹣x），又f（x）為奇函數(shù)，f（x）=﹣f（﹣x）=ax﹣ln（﹣x）∴函數(shù)f