二次函數(shù)最值與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)

二次函數(shù)最值與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)一.內(nèi)容分析：二次函數(shù)最值與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是廣東省近幾年中考?jí)狠S題的必考題，例如2018年的第25題，2017年的第25題，2016年的第25題，2015年的第25題，2014年的第25題都考查了二次函數(shù)最值與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解決這類問(wèn)題首先是分類，運(yùn)動(dòng)中的合理分類是解決問(wèn)題的前提，我們經(jīng)常把具有共性的運(yùn)動(dòng)時(shí)間或運(yùn)動(dòng)路徑分為一類；其次是在同種類型中確定一種靜態(tài)的圖形研究需要解決的相關(guān)問(wèn)題，也就是我們經(jīng)常說(shuō)的化“動(dòng)”為“靜”；最后是運(yùn)用合理的方法解決問(wèn)題，經(jīng)常用到的如勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形等有關(guān)圖形的性質(zhì)，注意函數(shù)中自變量的取值范圍。二.學(xué)生學(xué)情分析：學(xué)生在經(jīng)歷了一次?？贾?，對(duì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題有所接觸，但是往往都是見(jiàn)動(dòng)發(fā)憷，甚至有的學(xué)生一看見(jiàn)有點(diǎn)在動(dòng)，就直接放棄這道題目，每一輪考試也只有一少部分學(xué)生能解決這一問(wèn)題，或者答題不全面，比如四個(gè)答案只能考慮出二個(gè)或一個(gè)，究其原因是因?yàn)榭紤]問(wèn)題時(shí)沒(méi)有進(jìn)行分類考慮，不會(huì)化“動(dòng)”為“靜”，沒(méi)有做不重復(fù)不漏解，還有一部分學(xué)生會(huì)考慮到各種情況，但是又不會(huì)表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度。而本節(jié)內(nèi)容是近幾年廣東中考的壓軸題題型，設(shè)置本節(jié)課，雖然不一定能一次性很好決問(wèn)題，但是可以循序漸進(jìn)的幫助學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題從感性的體會(huì)到理性的認(rèn)識(shí)有所提高。三.教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)目標(biāo)：學(xué)會(huì)化“動(dòng)”為“靜”，找出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不同屬性的界點(diǎn)，求出自淳的取值范圍，且會(huì)用自變量的字母表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度，用相關(guān)線段的長(zhǎng)度表示出三角形面積的關(guān)系式，利用關(guān)系式求出面積的最大值。2、能力目標(biāo)：能解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中三角形面積的最大值。3、情感目標(biāo)：培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。.重點(diǎn)、難點(diǎn)：體會(huì)化“動(dòng)”為“靜”，用自變量的字母表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度并列出三角形面積的表達(dá)式，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最大值。.教學(xué)流程安排：探究中考題=>歸納方法 變式訓(xùn)練=>課堂小測(cè)=>課外作業(yè)六.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì):【活動(dòng)1】探究中考題:

師：廣東省近幾年的中考題最后一問(wèn)經(jīng)?？紕?dòng)點(diǎn)問(wèn)題與二次函數(shù)的最值相結(jié)合，下面我們以2018年廣東省中考題第25題最后一問(wèn)為例來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)此類問(wèn)題的思路突破與解題方法總結(jié)，希望能給大家一些啟發(fā)?！?NABO=30°,例題：(廣東省2018年中考題第25題)已知Rt^OAB,NOAB=90°,NABO=30°,斜邊OB=4,將Rt^OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,如題圖1,連接BC.(1)填空：/08(3=°；⑵如圖1,連接AC,作OPLAC,垂足為P,求OP的長(zhǎng)度;③如圖2,點(diǎn)M,N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在VOCB邊上運(yùn)動(dòng)，M沿OfC—B路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿O—B—C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單例秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單例秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，4OMN的面積為y,求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少?【解題思路】本設(shè)計(jì)主要探究第3問(wèn)，第【解題思路】本設(shè)計(jì)主要探究第3問(wèn)，第3問(wèn)的解題思路:【設(shè)計(jì)意圖】在探究該中考題的過(guò)程中，總結(jié)出解決該種題型的思想解題方法?！净顒?dòng)過(guò)程】師：該題的第(1)(2)同學(xué)們應(yīng)該很快能夠解題，同學(xué)們?cè)囈幌?。生：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：OB=OC,NBOC=60°,???△OBC是等邊三角形，???NOBC=60°.⑵如圖1中，

VOB=4,ZABO=30°.??OA二/OB=2,AB=1OA=23,??SAAnr=—OAAB= LX2X2；圣2?.小△A0c2VABOC是等邊三角形AZOBC=60°,ZABC=ZABO+ZOBC=90°,AC=jabQbc""，??OP/江皿=Ul二”.AC?幣7【設(shè)計(jì)意圖】盡快完成第（1）（2）問(wèn)，把課堂時(shí)間用在第3）問(wèn)，有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，有利于學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的掌握。師：同學(xué)們完成得不錯(cuò)，現(xiàn)在我們把重點(diǎn)放在解決第（3）問(wèn)上，我們一起來(lái)探究解題思路。（1）明確誰(shuí)在動(dòng)？怎樣動(dòng)？師：這道題目中有哪幾個(gè)點(diǎn)在動(dòng)？怎樣動(dòng)？生：兩個(gè)點(diǎn)M、N在動(dòng)，M沿O-C-B路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿O-B-C路徑勻速運(yùn)動(dòng).【設(shè)計(jì)意圖】弄清楚誰(shuí)在動(dòng)？怎樣動(dòng)？讓學(xué)生把解題注意力集中到動(dòng)點(diǎn)的位置，有利于學(xué)生更好的思考，思路清晰起來(lái)，找到了思考問(wèn)題的源頭。（2）動(dòng)靜結(jié)合找界點(diǎn)，分類討論細(xì)演算。師：由題意和第（1）（2）問(wèn)的解題可知4OBC是等邊三角形，即OC=BC=OB=4,點(diǎn)M、N在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，4OMN會(huì)出現(xiàn)哪幾種不同情況？（小組討論一下）生：（經(jīng)過(guò)討論，代表發(fā)言）會(huì)出現(xiàn)3種情況：①M(fèi)在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)②M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，③M、N^^BC上運(yùn)動(dòng)?！驹O(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用小組討論的模式，有利于增加生生互動(dòng)，讓學(xué)生在小組內(nèi)學(xué)習(xí)，做到兵教兵的形式，突破難點(diǎn)，然后學(xué)生代表回答問(wèn)題，讓學(xué)生獲得成功的經(jīng)驗(yàn)和喜悅。師：回答得非常好，由于^OMN出現(xiàn)的情況不同，我們需要分類討論，這是本題的難點(diǎn)之一；而分類討論關(guān)鍵就是動(dòng)靜結(jié)合找界點(diǎn)，那你知道①M(fèi)在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)②M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，⑨、N者P在BC上運(yùn)動(dòng)，它們分別對(duì)應(yīng)著自變量x的取值范圍嗎？生（學(xué)生都認(rèn)真思考著，有的拿著筆在圖中比劃著，有一學(xué)生舉手站起來(lái)我找到了,

4 8第1個(gè)界點(diǎn)是當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，此時(shí)x==-，第2個(gè)界點(diǎn)是當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)B點(diǎn)，1.5 3此時(shí)x=4,相遇的時(shí)間是x+1.5x=12,x=4.8,所以兩個(gè)界點(diǎn)把動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)途徑分成了三段，對(duì)應(yīng)x的取值范圍是：①當(dāng)0WxW且時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，②當(dāng)&WxW4時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，③當(dāng)4WxW4.8時(shí)，M、N都在BC上運(yùn)動(dòng)?！驹O(shè)計(jì)意圖】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵就是找界點(diǎn)，然后進(jìn)行分類討論，引導(dǎo)寫出每種屬性自變量的取值范圍，是本題的突破點(diǎn)和難點(diǎn)之一，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主思考，解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生自主解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力。師：這位同學(xué)經(jīng)過(guò)認(rèn)真的獨(dú)立思考，找出運(yùn)動(dòng)的界點(diǎn)和自變量取值范圍，非常有數(shù)學(xué)頭腦，這是本題的難點(diǎn)之二。那你們上述3種情況下，4OMN的底和高怎樣用含x的式子來(lái)表示嗎？生(小組自覺(jué)的討論了一下，認(rèn)真用筆在圖形中畫出草圖，然后不斷在草稿紙上計(jì)算，隨后有小組逐漸的舉手)學(xué)生代表1回答：①當(dāng)0WxW旦時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)作NELOC且交OC于點(diǎn)4則高是NE=ON-sin60°=旦，底是OM=4。2學(xué)生代表2回答：②當(dāng)反WxW4時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng).作MHXOB于H.則BM=8-1.5x,高M(jìn)H=BM-sin60°=福(8-1.5x),底OM=x。學(xué)生代表3回答：③當(dāng)4WxW4.8時(shí)，M、N都在BC上運(yùn)動(dòng)，作OGLBC于G.底MN=12-2.5x,高OG=AB=2?2，圖4用自變量x表示出圖4用自變量x表示出師：同學(xué)們討論積極、活躍，各代表回答問(wèn)題思路非常清晰，這是本題的難點(diǎn)之三。同

學(xué)們，你能根據(jù)三位學(xué)生代表求出的三角形的底和高，列出△面積的關(guān)系式嗎?并求出關(guān)系式中當(dāng)X為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少？生：①S=L?OM?NE=工X1.5xX旦，TOC\o"1-5"\h\z△OMN9 9 口???y=3,巧X2.-S??.x二旦時(shí)，y有最大值，最大值丫=生三.\o"CurrentDocument"3 3②y=LxONXMH=-^1x2+23x.-2 S當(dāng)x—時(shí)，y取最大值，最大值丫="旦3 3③y=JL?MN?OG=12?巧一旦3x,\o"CurrentDocument"2 2當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，最大值y=2v&【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生根據(jù)已求出的三種情況4OMN的底和高，很容易寫出4OMN面積的表達(dá)式，然后根據(jù)的二次函數(shù)的性質(zhì)和最值求法，就能夠確定面積的最大值，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的整合能力和運(yùn)算能力。師：根據(jù)三位學(xué)生求出的最大值，最后要比較3個(gè)最大值，寫上：綜上所述，y有最大值，最大值為三3。3師（規(guī)范解答問(wèn)題）解（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：OB=OC,NBOC=6O°,?.△OBC是等邊三角形，??NOBC=6O°.故答案為60.⑵如圖1中，VOB=4,ZABO=3O°,?.OA=-|OB=2,AB=■,：-3OA=21月，??S.aoc=/?OA?AB二卷X2X2仁2好，:△BOC是等邊三角形，AZOBC=6O°,ZABC=ZABO+ZOBC=9O°,AAC=.'AB2+BC2=2-;^，??,OP=25aaob=473=2721’?(3)①當(dāng)0WxW旦時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)

3N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)N作NE^OC且交OC??,OP=25aaob=473=2721’?(3)①當(dāng)0WxW旦時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)

3N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)N作NE^OC且交OC于點(diǎn)E.則NE=0N?sin60°=*x,2AS=△OMNL?OM-NE=工X1.5xXC??y：.??x=2時(shí)，y有最大值，最大值二生3

3 3②當(dāng)反WxW4時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng).3作MH±OB于H.則UBM=8-1.5x,MH=BM?sin60°=四（8-2??.y=Lxonxmh=-屋1x2+23x.當(dāng)x=為時(shí)，y取最大值，y<U,③當(dāng)4WxW4.8時(shí)，M、N^^BC上運(yùn)動(dòng)，作OGLBC于G.MN=12-2.5x,OG=AB=2?2，??y：?MN-OG=12'：-3-當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，綜上所述，y有最大值，【設(shè)計(jì)意圖】規(guī)范解題最大值=2五最大值為里3.3給學(xué)生的解題格式，讓學(xué)生不要在解題細(xì)節(jié)上扣分?！净顒?dòng)2】歸納方法，及時(shí)總結(jié):(1)要把握運(yùn)動(dòng)規(guī)律，尋求運(yùn)動(dòng)中的特殊位置，在“動(dòng)”中求“靜”，在“靜”中探求“動(dòng)”的一般規(guī)律.(2)通過(guò)探索、歸納、猜想，獲得圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否保留或具有某種性質(zhì)，要用運(yùn)動(dòng)的眼光觀察出各種可能的情況分類討論，較為精確地將每種情況一一呈現(xiàn)出來(lái)。（3）要學(xué)會(huì)將動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化，即將動(dòng)態(tài)情境化為幾個(gè)靜態(tài)的情境，從中尋找兩個(gè)變量間的關(guān)系，用相關(guān)字母去表示幾何圖形中的長(zhǎng)度、點(diǎn)的坐標(biāo)等，很多情況下是與三角形的相似、銳角三角函數(shù)和勾股定理等聯(lián)系在一起的，在整個(gè)解題過(guò)程中，要深刻理解分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸、相似等數(shù)學(xué)思想?！驹O(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，強(qiáng)調(diào)根據(jù)題目的規(guī)律性，適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)解題步驟，以及這種題目需要突破的難點(diǎn)。通過(guò)小組合作討論后，以小組為單位派代表舉手發(fā)言，提高學(xué)生小組合作交流能力，給學(xué)生表現(xiàn)自我的平臺(tái)，提高學(xué)生的總結(jié)能力和概括能力?！净顒?dòng)3】變式強(qiáng)化訓(xùn)練，學(xué)以致用：師生活動(dòng)：教師把上述中考題的第三問(wèn)進(jìn)行變式，學(xué)生學(xué)以致用，展示學(xué)生解題過(guò)程。師（自己改編2018年廣東中考題第3問(wèn)）已知口△0AB,N0AB=90°,NAB0=30°,斜邊0B=4,將Rt^OAB繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,如題圖1,連接BC.如圖2,點(diǎn)M,N同時(shí)從點(diǎn)0出發(fā)g0CB邊上運(yùn)動(dòng)M沿0-C-D路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿0-D-C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，40MN的面積為y,求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少？B CS CS CO AO AO圖1 圄2 曾用圖【設(shè)計(jì)思路】本題改編了動(dòng)點(diǎn)N和M的運(yùn)動(dòng)路徑，其他都沒(méi)有變化，其解題方法完全與例題（2018年廣東中考題）一樣?！驹O(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化訓(xùn)練這道題是中考題的變式題，這道題與中考題的解題方法基本上是一樣，這樣訓(xùn)練有利于鞏固學(xué)生的解題方法和解題步驟，讓學(xué)生通過(guò)自我練習(xí)，把課堂上老師講的知識(shí)轉(zhuǎn)化為自己的知識(shí)，是學(xué)生自我整理解題思路過(guò)程，讓學(xué)生明白原來(lái)一道題目可以有多種問(wèn)法，給學(xué)生一種好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生的解題數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)?！净顒?dòng)過(guò)程】生：①當(dāng)0WxW2時(shí)，M在0C上運(yùn)動(dòng)，N在0D上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)N作NEL0C且交0C于點(diǎn)E.

貝U高NE=ON-sin60°=巨x,2AS=JL-OM-NE=Xxi.5xX_il-x,???x=2時(shí)，y有最大值，最大值為②當(dāng)2WxW呈時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，3作NHXOC于H.???x=2時(shí)，y有最大值，最大值為②當(dāng)2WxW呈時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，3作NHXOC于H.則NH=CN-sin30°N在CD上運(yùn)動(dòng).=1(2+2j-x)1里燈32」Ay=-XOMXNH= X——X"4 8當(dāng)乂=且時(shí)，y取最大值，最大值為-2+23③當(dāng)l^xW1*'3時(shí)，M、N都在CD上運(yùn)動(dòng).5 5MN=6+2*-2.5X,OD=2,??.y=_1_?MN?OD=-2.5x+6+2卞，當(dāng)x=得時(shí)，綜上所述，2y取最大值，最大值為---+232當(dāng)乂=且時(shí)，y取最大值，最大值為--_+23J3【活動(dòng)4】課堂小測(cè):師生活動(dòng)：教師布置小測(cè)，學(xué)生認(rèn)真完成。（自己改編人民教育出版社義務(wù)教育教科書九年級(jí)上冊(cè)第41頁(yè)第8題）如圖，在4ABC中，NB=90°,AB=12mm,BC=24mm,動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，在4ABC邊上運(yùn)動(dòng)，P沿B-A-C路徑勻速域，Q沿B-C-A路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2mm/s,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為4mm/s,那么^PEQ的面積S隨出發(fā)時(shí)間t如何變化？求當(dāng)t為何值時(shí)S取得最大值？最大值為多少？【設(shè)計(jì)思路】本人自己改編人民教育出版社義務(wù)教育教科書九年級(jí)上冊(cè)第41頁(yè)第8題，主要改編了動(dòng)點(diǎn)P和Q的運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)路徑。本題目一改編，就與上述例題（2018

年中考題第25題）很相似，只不過(guò)由于點(diǎn)Q的速度恰好是點(diǎn)P的2倍，而B(niǎo)C的長(zhǎng)度也恰好是AB的2倍，使得本題只要2種分類討論。解題思路如下：【設(shè)計(jì)意圖】這道題的設(shè)計(jì)與中考題題型基本一致，有點(diǎn)不一樣的情況就是動(dòng)點(diǎn)P、Q分別同時(shí)到達(dá)端點(diǎn)A、C，所以只有兩種情況討論，讓學(xué)生明白不是所有的動(dòng)點(diǎn)分類討論都是有三種情況的。利用課本的原題目進(jìn)行變形，同時(shí)也讓學(xué)生中考題許多是來(lái)源于課本或是課本的變形，所以平時(shí)的練習(xí)要自覺(jué)的把課本的題目進(jìn)行變式練習(xí)，從而在解題中收到事半功倍的效果。課堂小測(cè)可以讓學(xué)社自我檢驗(yàn)這節(jié)課對(duì)知識(shí)的掌握情況，讓學(xué)生進(jìn)行自我查漏補(bǔ)缺，做到在學(xué)習(xí)上有的放矢?！净顒?dòng)過(guò)程】生：①當(dāng)0WtW6時(shí)，P在AB上運(yùn)動(dòng)，Q在BC上運(yùn)動(dòng).底BQ=4t,高BP=2t。S =1x4tx2t=4t2當(dāng)t=6時(shí)，S取最大值，最大值為144.②當(dāng)6WtW6+23時(shí)，P在AC上運(yùn)動(dòng)，Q在AC上運(yùn)動(dòng).此時(shí)過(guò)點(diǎn)B作BHLAC且交AC于點(diǎn)H.底PQ=36+12V3-6t,高：1BH-AC=1AB-BC2 2BH-123=12x24BH=8V3S=1x36+123-6tx8△PBQ2=144^3+144—24V3-t當(dāng)t=6時(shí)，S取最大值，最大值為144.綜上所述，當(dāng)t=6時(shí)，S取最大值，最大值為144.【活動(dòng)5】課外作業(yè)：師生活動(dòng)：教師布置課外作業(yè)，學(xué)生課后認(rèn)真完成。（自己改編人民教育出版社義務(wù)教育教科書九年級(jí)上冊(cè)第41頁(yè)第8題）如圖，在AABC中，NB=90°,AB=12mm,B