復(fù)變函數(shù)吉大

復(fù)變函數(shù)吉大第一頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日第四章級(jí)數(shù)本章主要內(nèi)容

復(fù)級(jí)數(shù)；

泰勒級(jí)數(shù)；

洛朗級(jí)數(shù).級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具.本章我們將介紹復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);討論解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示－泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù);然后研究把函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù).2第二頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)復(fù)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)列的極限設(shè){zn}為一復(fù)數(shù)列,其中zn=xn+iyn，又設(shè)z0=x0+iy0為一確定常數(shù).若對(duì)任意給定的>0，存在正整數(shù)N，使當(dāng)n>N時(shí),總有zn－z0<

成立.則稱{zn}以z0為極限,也稱復(fù)數(shù)列{zn}收斂于z0，記為3第三頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日定理設(shè)z0=x0+iy0,zn=xn+iyn(n=1,2,…)則關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)之和、差、積、商所成序列的極限的結(jié)果,可以推廣到復(fù)數(shù)序列.4第四頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日5第五頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日6第六頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè){zn}={xn+iyn}(n=1,2,…)為一復(fù)數(shù)列,表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其前n項(xiàng)的和稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列.若部分和數(shù)列{Sn}收斂于S，則稱級(jí)數(shù)收斂.S稱為級(jí)數(shù)的和.若{Sn}不收斂，稱級(jí)數(shù)發(fā)散.7第七頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日定理設(shè)zn=xn+iyn

(n=1,2,…)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)收斂.級(jí)數(shù)收斂的必要條件8第八頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日定理證明根據(jù)實(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法,可知級(jí)數(shù)收斂,進(jìn)一步可知級(jí)數(shù)收斂.9第九頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日絕對(duì)收斂與條件收斂若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂.因?yàn)槭钦?xiàng)級(jí)數(shù),其收斂性可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法來(lái)判定.例判斷級(jí)數(shù)的收斂性10第十頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日由于實(shí)部發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散.由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知原級(jí)數(shù)收斂,且絕對(duì)收斂.11第十一頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日又級(jí)數(shù)為條件收斂，所以原級(jí)數(shù)為條件收斂.因，收斂，故原級(jí)數(shù)收斂.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè){fn(z)}(n=1,2,…)是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù)列，則表達(dá)式12第十二頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為若對(duì)于D內(nèi)的一點(diǎn)z0，存在,則稱z0是級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),而S(z0)稱為它的和.若級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,則稱為級(jí)數(shù)的和函數(shù).13第十三頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日冪級(jí)數(shù)在復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中，稱形如為冪級(jí)數(shù).設(shè)z0=0,這時(shí)可得常用的冪級(jí)數(shù)形式冪級(jí)數(shù)的收斂定理同高等數(shù)學(xué)中的實(shí)變冪級(jí)數(shù)一樣，復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)也相似的收斂定理。14第十四頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日阿貝爾Abel定理

若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)z=z0處收斂，則級(jí)數(shù)在圓域|z|<|z0|內(nèi)絕對(duì)收斂,若冪級(jí)數(shù)在z=z0處發(fā)散，則它在|z|>|z0|上發(fā)散.證明因?yàn)閮缂?jí)數(shù)收斂，由收斂的必要條件，有，所以存在正數(shù)M，使對(duì)所有的n，有15第十五頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)|z|<|z0|時(shí)，則由于級(jí)數(shù)收斂,從而根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.利用反證法根據(jù)上述結(jié)論可得定理另一部分的證明.利用阿貝爾定理,可以確定冪級(jí)數(shù)的收斂范圍.16第十六頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于冪級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō),它的收斂情況可以分為下述三種：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑①在原點(diǎn)收斂，除原點(diǎn)外發(fā)散.(R＝0)②在全平面上處處絕對(duì)收斂.(R＝+)③除上述兩種極端情形之外,由阿貝爾定理可知,對(duì)于一般級(jí)數(shù),必有一個(gè)圓域

|z|<R,使冪級(jí)數(shù)在該圓域內(nèi)收斂而且絕對(duì)收斂;而在|z|>R的范圍內(nèi)級(jí)數(shù)發(fā)散.17第十七頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A周|z|=R稱為級(jí)數(shù)的收斂圓.R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的收斂性，不能作出一般的結(jié)論，要對(duì)具體級(jí)數(shù)具體分析.例求級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級(jí)數(shù)的部分和18第十八頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)|z|<1時(shí)，，所以當(dāng)|z|<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂，和函數(shù)為當(dāng)|z|1時(shí)，由于n時(shí)冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)zn不趨于零，級(jí)數(shù)發(fā)散.因此級(jí)數(shù)收斂范圍為|z|<1,在此范圍內(nèi)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.收斂半徑R=1.19第十九頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的求法,有以下兩個(gè)方法.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑定理若滿足下列條件之一則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑20第二十頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日若

=0，則冪級(jí)數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上解析,即R=+.若=+，則除z=0外冪級(jí)數(shù)處處發(fā)散，即R=0.例求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,并討論在收斂圓周上的情形.,并討論z=0,2時(shí)的情形.解

(1)因?yàn)?1第二十一頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日所以收斂半徑R=1.收斂圓為|z|=1.在|z|=1上，級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)收斂范圍是|z|1.

所以收斂半徑R=1，收斂圓為|z1|=1.在|z1|=1上，當(dāng)z=0時(shí)，原級(jí)數(shù)成為，該級(jí)數(shù)收斂；22第二十二頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)z=2時(shí),原級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)發(fā)散.例把函數(shù)表示成形如的冪級(jí)數(shù),其中a與b是不相等的復(fù)常數(shù).解23第二十三頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日,即|za|<|ba|時(shí)，有24第二十四頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)變冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)定理設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，則(1)級(jí)數(shù)的和函數(shù)是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù).25第二十五頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日(2)

f(z)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即(3)

f(z)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)積分，即26第二十六頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)泰勒級(jí)數(shù)解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)定理設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點(diǎn)，d為z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離，則當(dāng)|zz0|<d時(shí),則f(z)能展成冪級(jí)數(shù)并且展開式是唯一的.27第二十七頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日這個(gè)展開式稱為函數(shù)f(z)在z0的泰勒展式.它的右端的級(jí)數(shù)稱為f(z)在z0的泰勒級(jí)數(shù).證明以下證明此展開唯一性.設(shè)f(z)在z0處又可以展開成則對(duì)上式求各階導(dǎo)數(shù)，得當(dāng)z=z0時(shí)，得28第二十八頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日所以這個(gè)展開式是唯一的.關(guān)于定理我們作如下兩點(diǎn)說(shuō)明(1)若f(z)在z0解析,則f(z)在z0的泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑R等于從z0到f(z)的距離z0最近的一個(gè)奇點(diǎn)之間的距離,即R=|z0|.(2)由本定理與和函數(shù)的性質(zhì)有,函數(shù)在一點(diǎn)解析的充要條件是它在該點(diǎn)鄰域內(nèi)可以展成冪級(jí)數(shù).29第二十九頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日利用泰勒級(jí)數(shù)展開的唯一性,我們可以用比較簡(jiǎn)便的方法將一個(gè)函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)即冪級(jí)數(shù).展開的方法有兩種.一種是由泰勒展開式，直接通過(guò)計(jì)算系數(shù)把f(z)在z0展開為冪級(jí)數(shù)，稱為直接法；另一種是利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì),以唯一性為依據(jù)把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),稱為間接法.30第三十頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例求函數(shù)f(z)=ez在z=0的泰勒展開式解由于ez的各階導(dǎo)數(shù)為ez,且ez|z=0=1所以f(z)=ez在復(fù)平面內(nèi)處處解析,上面的等式在復(fù)平面內(nèi)處處成立,收斂半徑為+∞.用直接法可以求得sinz與cosz在z=0處的泰勒展開式:31第三十一頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日函數(shù)sinz與cosz在復(fù)平面內(nèi)處處解析，上面的等式在復(fù)平面內(nèi)處處成立,收斂半徑為+∞.例求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的泰勒展開式.而z=－1是它距z=0最近的奇點(diǎn).32第三十二頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日所以它在|z|<1內(nèi)可以展開成z的冪級(jí)數(shù).所以在|z|