中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破-相似三角形的性質(zhì)和判定

中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——相似三角形的性質(zhì)和判定如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中點(diǎn)，DE⊥AM于點(diǎn)E．(1)求證：△ADE∽(2)求DE的長(zhǎng)．如圖，點(diǎn)B，D，E在一條直線上，BE交AC于點(diǎn)F，ABAD=AC(1)求證：△ABC∽(2)求證：△AEF∽如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)F．(1)證明：△ABD≌(2)證明：△ABE∽(3)若AF=7，DF=1，求BD的長(zhǎng)．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD=AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F．(1)求證：△ABC∽(2)過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，求DE:AM的值．(3)若S△FCD=5，BC=10，求如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上（不與點(diǎn)C，D重合），連接AE，BD交于點(diǎn)F．(1)若點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，AB=25，求AF(2)若tan∠AFB=2，求DF(3)若點(diǎn)G在線段BF上，且GF=2BG，連接AG，CG，DEDC=x，四邊形AGCE的面積為S1，△ABG的面積為S如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為20,0和0,15，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段AO上以每秒2?cm的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒1?cm的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），分別與y軸、線段AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EP，F(xiàn)P，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線(1)求t=9時(shí)，△PEF的面積．(2)直線EF、點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t，使得△PEF的面積等于40?cm2？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△EOP與△BOA相似．在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，連接AE，AF．(1)如圖1，若四邊形ABCD的面積為5，則四邊形AECF的面積為；(2)如圖2，延長(zhǎng)AE至G，使EG=AE，延長(zhǎng)AF至H，使FH=AF，連接BG，GH，HD，DB．求證：四邊形BGHD是平行四邊形；(3)如圖3，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)M，AE與BD交于點(diǎn)P，AF與BD交于點(diǎn)N．直接寫出BP，PM，MN，ND的數(shù)量關(guān)系．若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的AC的長(zhǎng)．(2)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，①求證：△ABC∽②求證：△ABC是比例三角形．(3)如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，求出在△ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)．(1)如圖1，若∠ACP=∠B，求證：AC(2)若M為CP的中點(diǎn)，AC=4．①如圖2，若∠PBM=∠ACP，AB=7，求BP的長(zhǎng)；②如圖3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P．像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．(1)【特例探索】①如圖1，當(dāng)∠ABE=45°，c=22時(shí)，a=，b=②如圖2，當(dāng)∠ABE=30°，c=4時(shí)，求a和(2)【歸納證明】請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．(3)利用（2）中的結(jié)論，解答下列問(wèn)題：在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，O為對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點(diǎn)，連接BE，CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，BM，CM分別交AD于點(diǎn)G，H，如圖4所示，求MG如圖，在△ABC中，∠C=90°，D為AC上的一點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AC，過(guò)B作BE⊥AB，DE，BE交于點(diǎn)E．已知BC=3，(1)證明：△EFB∽(2)若CD=1，請(qǐng)求出ED的長(zhǎng)．(3)連接AE，記CD=a，△AFE與△EBF面積的差為b．若存在實(shí)數(shù)t1，t2，m（其中t1≠t2），當(dāng)a=t1或在△ABC中，AD是△ABC的角平分線．(1)如圖1，過(guò)C作CE∥AD交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若F為CE的中點(diǎn)，連接AF，求證：(2)如圖1，在（1）的條件下，若CD=2BD，S△ABD=10，求(3)如圖2，M為BC的中點(diǎn)，過(guò)M作MN∥AD交AC于點(diǎn)N，猜想線段AB，AC，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F．連接(1)求證：AE平分∠CAD；(2)連接DF，交AE于點(diǎn)G，若⊙O的直徑是12，AE=10，求EG的長(zhǎng)；(3)連接CD，若∠B=30°，CE=23如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，BE平分∠ABC，BE分別與AC，CD相交于點(diǎn)E，(1)求證：△AEB∽(2)求證：AECE(3)若CE=5，EF=25，BD=6，求AD如圖，在△ABC中，∠B=∠ACB=45°，AB=32，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，作DE⊥AD交射線AC于E，DF平分∠ADE交AC(1)求證：AB?CF=BD?CD；(2)如圖2，當(dāng)∠AED=75°時(shí)，求(3)若CD=2BD，求AFEF在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC的兩點(diǎn)．(1)如圖1，若∠B=90°，且BF=CE=2，連接EF，DE，判斷EF和(2)如圖2，∠B=∠FED=60°，求證：(3)如圖3，若∠ABC=90°，點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C?，點(diǎn)O為平行四邊形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接OC交AD于點(diǎn)G，求解答下列問(wèn)題：(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中．AB=AC=4，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為(2)【拓展研究】在(1)的條件下，如果正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；(3)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，求線段AF的長(zhǎng)．如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥DE于點(diǎn)F，連接OF．(1)求證：CF(2)連接OF，求證：△DOF∽(3)若AB=2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到使CE=12BC如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)求證：BC=1(3)點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB=8，求MN?MC的值．如圖1，在菱形ABCD中，AB=3，∠BCD=120°，M為對(duì)角線BD上一點(diǎn)（M不與點(diǎn)B，D重合），過(guò)點(diǎn)M作MN∥CD，使得MN=CD，連接CM(1)當(dāng)∠DCM=30°時(shí)，求(2)如圖2，延長(zhǎng)BN，DC交于點(diǎn)E，求證：AM?DE=BE?CD．(3)如圖3，連接AN，則AM+AN的最小值是．

答案1.【答案】(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠DAE=∠AMB，又∵∠DEA=∠B=90∴△DAE∽(2)由（1）知△DAE∽∴DE:AD=AB:AM，∵M(jìn)是邊BC的中點(diǎn)，BC=6，∴BM=3，又∵AB=4，∠B=90∴AM=5，∴DE:6=4:5，∴DE=242.【答案】(1)∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，ABAD=AC∴△ABC∽(2)∵△ABC∽∴∠C=∠E，在△AEF和△BFC中，∠C=∠E，∠AFE=∠BFC，∴△AEF∽3.【答案】(1)∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE，在△ABD與△BCE中，∵AB=BC,∴△ABD≌△BCE（(2)由（1）得：∠BAD=∠CBE，又∵∠ABC=∠BAC，∴∠ABE=∠EAF，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽(3)∵∠BAD=∠CBE，∠BDA=∠FDB，∴△ABD∽∴AD∴BD∴BD=224.【答案】(1)∵D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥BC，∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90∴△BDE≌△EDC，即∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACB，∴△ABC∽(2)∵AD=AC，AM⊥DC，∴DM=1∵BD=DC，∴BD∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴DE∥∴DE(3)∵△ABC∽△FCD，∴S△ABCS∵DEAM=∴12×10×5.【答案】(1)∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，AB=AD=CD=25∴DE=5∴AE=A∵AB∥∴△ABF∽∴DE∴AF=2EF，且AF+EF=5，∴AF=10(2)如圖1，連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，BD=2AB，AO⊥BD，∴AO=DO=BO=2∵tan∴OF=1∴DF=OD?OF=24AB∴DF(3)如圖2，設(shè)AB=CD=AD=a，則BD=2∵DE∴DE=xa，∴S∵△ABF∽∴DE∴DF=x?BF，∴S∵GF=2BG，∴S∵AB=CB，∠ABG=∠CBG，BG=BG，∴△ABG≌∴S∴S1=四邊形AGCE∴S∴當(dāng)x=12時(shí)，S16.【答案】(1)∵EF∥∴∠BEF=∠BOA，又∵∠B=∠B，∴△BEF∽∴EF當(dāng)t=9時(shí)，OE=9，OA=20，OB=15，∴EF=20×6∴S(2)∵△BEF∽∴EF=BE?OA∴12×∵Δ=15∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴不存在使得△PEF的面積等于40?cm2的(3)當(dāng)∠EPO=∠BAO時(shí)，△EOP∽∴OPOA=OEOB當(dāng)∠EPO=∠ABO時(shí)，△EOP∽∴OPOB=OEOA∴當(dāng)t=6或t=8011時(shí)，△EOP與7.【答案】(1)52(2)如圖，連接EF．∵E，F(xiàn)，分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，∵EG=AE，F(xiàn)H=AF，∴EF∥GH，∴BD∥GH，∴四邊形BGHD是平行四邊形．(3)BPPM8.【答案】(1)當(dāng)AC=43或(2)①∵AD∥∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ABC∽②由①知，△ABC∽∴BC即CA∵AD∥∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA∴△ABC是比例三角形．(3)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，∵AB=AD，∴BH=1∵AD∥BC，∴∠BCD=90∴∠BHA=∠BCD=90又∵∠ABH=∠DBC，∴△ABH∽∴AB即AB?BC=BH?DB，∴AB?BC=1又∵AB?BC=AC∴1∴BD【解析】(1)∵△ABC是比例三角形，且AB=2，BC=3，①當(dāng)AB2=BC?AC解得：AC=4②當(dāng)BC2=AB?AC解得：AC=9③當(dāng)AC2=AB?BC解得：AC=6所以當(dāng)AC=43或9.【答案】(1)∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽∴AC∴AC(2)①如圖2，取AP在中點(diǎn)G，連接MG，設(shè)AG=x，則PG=x，BG=7?x，∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴MG∥∴∠BGM=∠A，∵∠ACP=∠PBM，∴△APC∽∴APGM=∴x=7±∵AB=7，∴AP=7?33∴PB=33②如圖3，過(guò)C作CH⊥AB于H，延長(zhǎng)AB到E，使BE=BP，設(shè)BP=x．∵∠ABC=45°，∴CH=23，HE=2∵CE∵PB=BE，PM=CM，∴BM∥∴∠PMB=∠PCE=60∵∠E=∠E，∴△ECP∽∴CE∴CE∴12+12+x∴x=27∴PB=2710.【答案】(1)①25；2②同理可得：PF=1，PE=3，則a=213，(2)關(guān)系為：a2證明：如圖3，設(shè)：∠EBA=α，則：PB=ABcosα=ccos由①得：PF=12PA=則a2(3)∵AE=OE=13EC∴AG=13BC=同理HG=1∴GH=1∴GH=2∵GH∥BC，∴HG∥∴MG=23ME=則MG【解析】(1)①如圖1，2，3，4，連接EF，則EF是△ABC的中位線，則EF=12AB∴△EFP∽∴PB在圖1中，PB=ABsin由①得：PF=1，b=2BF=2P11.【答案】(1)∵DE⊥AC，BE⊥AB，∴∠ADF=∠EBF=90∵∠AFD=∠EFB，∴∠A=∠E，∵∠C=∠EBF=90∴△EFB∽(2)∵∠C=90°，AB=5，∴AC=4，∵DC=1，∴AD=3，∵∠ADF=∠C=90°，∴△ADF∽∴ADAC=∴DF=94，AF=15∵△EFB∽∴EFAB=∴ED=EF+FD=13(3)∵CD=a，則AD=4?a0<a<4由（2）得ADAC=DF∴AF=5?54a∵BF∴BE=5b=當(dāng)0<a≤2，b1=?2512a當(dāng)2<a<4，b2=?2512a∵當(dāng)a=t1或a=t2時(shí)，∴0<m≤2512.【答案】(1)∵AD為△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，∵CE∥∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，∴∠E=∠ACE，∴AC=AE，∵F為EC的中點(diǎn)，∴AF⊥EC，∵AD∥∴∠AFE=∠FAD=90∴AF⊥AD．(2)∵CD=2BD，∴BC=3BD，∴AD∥∴△ABD∽∴S∴S(3)AC=AB+2AN；理由如下：延長(zhǎng)BA與MN延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)B作BF∥AC交NM延長(zhǎng)線于點(diǎn)∴∠MBF=∠C，∠F=∠MNC，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴BM=CM，在△BFM和△CNM中，∠F=∠MNC,∠MBF=∠C,∴△BFM≌∴BF=CN，∵M(jìn)N∥∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠MNC=∠ANE，∴∠E=∠ANE=∠F，∴AE=AN，BE=BF，∴BF=AB+AN，∴AC=AN+CN=AN+BF=AB+2AN．13.【答案】(1)連接OE．∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA．∵BC是⊙O切線，∴OE⊥BC．∴∠OEB=90°，且∴OE∥∴∠CAE=∠AEO．∴∠CAE=∠EAO．∴AE平分∠CAD．(2)連接DE．∵AD是直徑，∴∠AED=90∵AD=12，AE=10，∴DE=A∵∠EDF=∠EAC=∠EAD，∠AED=∠AED，∴△DEG∽∴DE∴DE∴44=10×EG．∴EG=4.4．(3)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P．∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠BAE=30∴∠B=∠EAB=30∴AE=BE．∵∠CAE=30°，CE=23∴AE=2CE=43，AC=∴AB=2AC=12．∵∠AED=90°，∠EAD=30∴DE=4，AD=8．∴BD=AB?AD=12?8=4．∵PD⊥BC，∠B=30°，∴PD=2，PB=23∴CP=CE+BE?PB=23在Rt△CDP中，CD=C14.【答案】(1)∵∠ACB=90∴∠ACD+∠BCD=90∵CD為AB邊上的高，∴∠ADC=90∴∠A+∠ACD=90∴∠A=∠BCD，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE=∠CBE，∴△AEB∽(2)∵∠ABE=∠CBE，∠A=∠BCD，∴∠CFE=∠BCD+∠CBE=∠A+∠ABE，∵∠CEF=∠A+∠ABE，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，∵△AEB∽∴AE∴AE(3)如圖，作CH⊥EF于H．∵CE=CF，CH⊥EF，∴EH=FH=5∴CH=E由△BFD∽∴DF∴DF∴DF=3，CD=CF+DF=8，由△ACD∽∴AD∴AD∴AD=3215.【答案】(1)如圖1中，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90∵DF平分∠ADE，∴∠ADF=∠FDC=45∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADF+∠FDC，∠B=∠ADF=45∴∠BAD=∠FDC，∵∠B=∠C，∴△ABD∽∴AB∴AB?CF=BD?CD．(2)如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H．∵∠B=∠C=45∴AB=AC=32∴BC=2∵AH⊥BC，∴BH=CH=3，AH=BH=CH=3，∵AD⊥DE，∠AED=75∴∠ADE=90°，∴∠ADH=∠DAE+∠C=60∴∠DAH=30°，∴BD=3+3，CD=3?∵AB?CF=BD?CD，∴32∴CF=2(3)如圖2?1中，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD于G．設(shè)BD=a，則CD=2a，BC=3a．∵AB=AC，∠BAC=90∴AH=HB=HC=1.5a，DH=0.5a，∠C=∠B=45∵∠AHD=∠ADE=∠DGE=90∴∠ADH+∠EDG=90°，∴∠ADH=∠DEG，∴△ADH∽△DEG，設(shè)EG=CG=y，則∴AH∴1.5a2a+y=∴CG=EG=a，EC=2∵CF=BD?CD∴AF=AC?CF=322∴AF16.【答案】(1)EF=DE，EF⊥DE．理由如下：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠B=90∴∠C=∠B=90∵AB=6，BC=8，BF=CE=2，∴BE=BC?CE=6=CD．在△BEF和△CDE中，BF=CE,∠B=∠C,∴△BEF≌∴EF=DE，∠BEF=∠CDE．∵∠CDE+∠CED=90∴∠BEF+∠CED=90∴∠DEF=90°，即(2)如圖2，在AB上取點(diǎn)G，使BG=BE，連接EG，則△BEG為等邊三角形，∴∠BGE=∠BEG=60∴∠EGF=180∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠B=60∴∠C=120∴∠CED+∠CDE=60∵∠DEF=60°，∴∠GEF+∠CED=180∴∠CDE=∠GEF，∴△CDE∽∴EFDE=(3)連接AC，CC?，AC?，設(shè)CC?交BD于點(diǎn)M，如圖3所示，則BD為線段CC?的垂直平分線．∵∠ABC=90∴平行四邊形ABCD為矩形，∴BD=BC2+CD∴OM=O∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為CC?的中點(diǎn)，∴AC?=2OM=145，且∴△AGC?∽∴AG∴DG=2517.【答案】(1)BE=2(2)無(wú)變化；如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=4，所以∠ABC=∠ACB=45所以sin∠ABC=在正方形CDEF中，∠FEC=1在Rt△CEF中，sin∠FEC=所以CFCE因?yàn)椤螰CE=∠ACB=45所以∠FCE?∠ACE=∠ACB?∠ACE，所以∠FCA=∠ECB，所以△ACF∽所以BEAF所以BE=2所以線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系無(wú)變化．(3)當(dāng)點(diǎn)E在線段AF上時(shí)，如圖2，由1知，CF=EF=CD=22在Rt△BCF中，CF=22，BC=4根據(jù)勾股定理得，BF=26所以BE=BF?EF=26由（2）知，BE=2所以AF=23當(dāng)點(diǎn)E在線段BF的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，在Rt△ABC中，AB=AC=4，所以∠ABC=∠ACB=45所以sin∠ABC=在正方形CDEF中，∠FEC=1在Rt△CEF中，sin∠FEC=所以CFCE因?yàn)椤螰CE=∠ACB=45所以∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，所以∠FCA=∠ECB，所以△ACF∽所以BEAF所以BE=2由（1）知，CF=EF=CD=22在Rt△BCF中CF=22，BC=4根據(jù)勾股定理的，BF=26所以BE=BF+EF=26由（2）知，BE=2所以AF=23即：當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)候，線段AF的長(zhǎng)為23?2或【解析】(1)在Rt△ABC中，AB=AC=4，根據(jù)勾股定理得，BC=2點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，所以AD=1因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形，所以AF=EF=AD=22因?yàn)锽E=AB=4，所以BE=218.【答