圓錐曲線復習題含答案解析

圓錐曲線復習題.在平面直角坐標系中，己知動點A到點8(1,0)的距離為力，到直線x=-2距離為d2,且d2=di+l，記動點A的軌跡為曲線C.(1)求曲線Q的方程；(2)已知斜率之和為-1的兩條直線m,n相交于點B,直線〃?，〃與曲線Q分別相交于C,D,E,F四點，且線段C。、線段EF的中點分別為G,”，問：直線G”是否過定點？若過定點，請求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.【分析】(1)由題意得到動點人到點8(1,0)的距離等于到直線x=-I的距離，利用拋物線的定義得到動點A的軌跡為拋物線，求解方程即可；(2)設〃1，〃的方程分別為)，=匕(x-I),y=k2(x-I),聯(lián)立直線〃?與拋物線的方程，利用韋達定理以及中點坐標公式求出點G的坐標，同理求出點，的坐標，由兩點間斜率公式表示出直線G”的斜率，結合力+幻=-1,得到出(1+%),確定直線G"的方程，即可得到答案.解：(1)因為動點A到點8(1,0)的距離為力，到直線X=-2距離為心，且為=4+1,則動點A到點B(I,0)的距離等于到直線x=-1的距離，所以點人的軌跡為拋物線，其焦點坐標為B(l,0),故曲線。的方程為『=4］；(2)設/〃，〃的方程分別為丁=匕(x-1),y=ki(x-1),聯(lián)立方程組出：?,T)，可得自2/一(2k『+令無+k/=0,2勺2則G也孝，分，同理可得“也乎,所以為1+%2=如學，k2勺2則G也孝，分，同理可得“也乎,由ki+k2=-It所以(1+內),7則直線GH的方程為y-#=/ci(l+自)(％-整理可得y+2=&i(1+%)Cx-1),

故直線GH恒過定點（1,-2）.【點評】本題考查了動點軌跡方程的求解、拋物線定義的應用以及拋物線標準方程的求解?、直線與拋物線位置關系的應用，在解決直線與圓錐曲線位置關系的問題時，一般會聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達定理和“設而不求”的方法進行研究，屬于中檔題..已知動點尸到點（-1,0）的距離與到直線x=-4的距離之比為今（I）求動點P的軌跡C的標準方程；（2）已知點尸（1,0）,點A為直線x=4上任意一點，過點尸作4尸的垂線交軌跡。于點B,Q.證明：OA平分線段8。（其中O為坐標原點）.【分析】（1）由已知條件可得，="化簡整理，即可求解.|x+4|2（2）根據(jù)已知條件，先求出BD的方程，再將BD方程與橢圓方程聯(lián)立可得，（4+堂）V一2yoy—9=0,再結合韋達定理和直線OA方程，即可求證.解：（1）設尸（x,y）,??動點尸到點（?1，0）的距離與到直線x=-4的距離之比為點二受等《化簡整理可得，9+9】，故動點P的軌跡C的標準方程為一4-7-=1.43（2）證明：???點A為直線工=4上任意一點，可設A（4,和），又.??點F（1,0）,*,^AF=孕，??過點尸作4尸的垂線交軌跡。于點8,D,**?^BD=一^~，%v2，化簡整理可得,（4+孕）V_2yoy-9=0,：?直線BD方程為y=-^-（x-v2，化簡整理可得,（4+孕）V_2yoy-9=0,設B（xi,yi）,D（X2,）2）,

由韋達定理可得，y\+y2=巾+e2-學3+丫2)=崔加，故BD的中點坐標為(―7~~2，:2)，12+羽12+羽二,直線0A方程為y=與x,:.(——-T，到。)在直線0A上，12+羽12+羽???。4平分線段8Q.【點評】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用，以及軌跡方程的求解，需要學生較強的綜合能力，屬「難題.3.在平面直角坐標系工0)，中，己知點M(-8，0),直線/：文=一隼，動點夕到點"的距離與到直線/的距離之比為避.2(I)求動點P的軌跡E的方程；(2)設曲線E與x軸交于4、B兩點,過定點N(-1,0)的直線與曲線正交于C、D兩點(與A、B不重合)，證明：直線AC,8D的交點在定直線上.【分析】(1)根據(jù)已知條件，可推得(x+V3)【分析】(1)根據(jù)已知條件，可推得(x+V3)2+y2當化簡整理,即可求解.(2)設過點N(-1,0)的直線方程為1,將直線代入橢圓E的方程，化簡整理可得，(療+4)y2-2my-3=0,結合韋達定理可得，y\+y2=，工'>，1.V2=再聯(lián)立直線AC和4。的方程，即可求證.解：(1)設尸(x,)，)，???點M(—V5,0),直線/：x=一竽，動點、P到點M的距離與到直線I的距離之比為日,l(x+V3)2+y2Wx2京=-?化簡整理可得，-+y2=1?3x2故點P的軌跡E是橢圓，方程為h+y2=i.(2)證明：由題意知，直線的斜率不為0,設過點N(-1,0)的直線方程為X=〃?.y-1,代入橢圓石的方程，化簡整理可得，(#+4)),2-2〃少-3=0,???△=4/+12(w2+4)=16(〃P+3)>0,

???設C(xi,y\),D(X2?”)，(xi,X2N±2),由韋達定理可得，戶+*=^^戶戶=一懸加'由(1)得A(-2,0),8(2,0),則直線AC的方程為y=-^5（x+2）,直線BD的方程為J=丁%。-2）,十乙42一乙聯(lián)立兩直線方程，消去），可得，x=2?。2-2)%+(%1+2)、2②聯(lián)立兩直線方程，消去），可得，x=2?2m%y2+(yi+，2)-4yi③

(y1+y2)+2y12m%y2+(yi+，2)-4yi③

(y1+y2)+2y1(x2m%y2+(yi+，2)-4yi③

(y1+y2)+2y1將內=〃叩-1,X2