獨立性與條件概率的關(guān)系【教材精講精研】 高二數(shù)學 精講課件（人教B版2019選擇性必修第二冊）

4.1.3獨立性與條件概率的關(guān)系思考：從必修的內(nèi)容我們已經(jīng)知道，A與B相互獨立（簡稱為獨立）的充要條件是而且A與B獨立的直觀理解是，事件A是否發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率，事件B是否發(fā)生也不會影響事件A發(fā)生的概率.那么，這個直觀理解的數(shù)學含義是什么呢？考察獨立性與條件概率的關(guān)系可以得出相互獨立的直觀理解.思考：假設(shè)且，在A與B獨立的前提條件下，通過條件概率的計算公式考察與的關(guān)系，以及與的關(guān)系.當且時，由條件概率的計算公式有即這就是說，此時事件A發(fā)生的概率與已知事件B發(fā)生時事件A發(fā)生的概率相等.也就是事件B的發(fā)生，不會影響事件A發(fā)生的概率.類似地，可以看出，如果，那么一定有因此，當時，A與B獨立的充要條件是這也就同時說明，當時，事件B的發(fā)生會影響事件A發(fā)生的概率，此時A與B是不獨立的.事實上，“A與B獨立”也經(jīng)常被說成“A與B互相不影響”等.

學生筆記4.1.3獨立性與條件概率的關(guān)系當時，A與B獨立的充要條件是知識點回顧必修課本中我們學習過，互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率公式.特點概率公式互斥事件不可能同時發(fā)生的兩個事件對立事件兩個事件不可能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生相互獨立事件事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響例1：已知某大學數(shù)學專業(yè)二年級的學生中，是否有自主創(chuàng)業(yè)打算的情況如下表所示.由題意可知，所有學生的人數(shù)為16+15+64+60=155.從這些學生中隨機抽取一人：（1）求抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率；男生/人女生/人有自主創(chuàng)業(yè)打算1615無自主創(chuàng)業(yè)打算6460記A為“抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算”，B為“抽到的人是女生”.（1）因為有自主創(chuàng)業(yè)打算的人數(shù)為16+15=31，所以抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率為例1：已知某大學數(shù)學專業(yè)二年級的學生中，是否有自主創(chuàng)業(yè)打算的情況如下表所示.（2）因為女生人數(shù)為所有學生的人數(shù)為15+60=75，所以抽到的人是女生的概率為從這些學生中隨機抽取一人：（1）求抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率；男生/人女生/人有自主創(chuàng)業(yè)打算1615無自主創(chuàng)業(yè)打算6460（2）求抽到的人是女生的概率；例1：已知某大學數(shù)學專業(yè)二年級的學生中，是否有自主創(chuàng)業(yè)打算的情況如下表所示.從這些學生中隨機抽取一人：（1）求抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率；男生/人女生/人有自主創(chuàng)業(yè)打算1615無自主創(chuàng)業(yè)打算6460（2）求抽到的人是女生的概率；（3）若已知抽到的人是女生，求她有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率；（3）所要求的是，注意到75名女生中有15人有自主創(chuàng)業(yè)打算，因此例1：已知某大學數(shù)學專業(yè)二年級的學生中，是否有自主創(chuàng)業(yè)打算的情況如下表所示.從這些學生中隨機抽取一人：（1）求抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率；男生/人女生/人有自主創(chuàng)業(yè)打算1615無自主創(chuàng)業(yè)打算6460（2）求抽到的人是女生的概率；（4）判斷“抽到的人是女生”與“抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算”是否獨立.（3）若已知抽到的人是女生，求她有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率；（4）因此“抽到的人是女生”與“抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算”獨立.多個事件之間的相互獨立也可借助條件概率來理解，“相互獨立”也可說成“相互不影響”.實際問題中，我們常常依據(jù)實際背景去判斷事件之間是否存在相互影響，若可認為事件之間沒有影響，則認為它們相互獨立；已知事件相互獨立時，根據(jù)每個事件發(fā)生的概率可以方便地求出它們同時發(fā)生的概率.例2：已知甲、乙、丙3人參加駕照考試時，通過的概率分別為0.8，0.9，0.7，而且這3人之間的考試互不影響.求：（1）甲、乙、丙都通過的概率；（2）甲、乙通過且丙未通過的概率.（1）甲、乙、丙都通過可用ABC表示，因此所求概率為用A，B，C分別表示甲、乙、丙駕照考試通過，則可知A，B，C相互獨立，而且（2）甲、乙通過且丙未通過可用

表示，因此所求概率為用A,B,C分別表示甲、乙、丙能正常工作,D表示系統(tǒng)能夠正常工作.例3：在一個系統(tǒng)中，每一個部件能正常工作的概率稱為部件的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度.現(xiàn)有甲、乙、丙3個部件組成的一個如圖所示的系統(tǒng)，已知當正常工作且乙、丙至少有一個能正常工作時，系統(tǒng)就能正常工作，各部件的可靠度均為，而且甲、乙、丙互不影響.求系統(tǒng)的可靠度.乙丙甲由題意可知，系統(tǒng)能正常工作時，可分為三種互斥的情況：甲、乙、丙都正常工作，且丙不正常工作，即ABC；甲、丙正常工作，且乙不正常工作，即；甲、乙正常工作，且丙不正常工作，即甲、乙正常工作，且丙不正常工作，即.因此因為甲、乙、丙互不影響，所以A、B、C相互獨立，而且例3：在一個系統(tǒng)中，每一個部件能正常工作的概率稱為部件的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度.現(xiàn)有甲、乙、丙3個部件組成的一個如圖所示的系統(tǒng)，已知當正常工作且乙、丙至少有一個能正常工作時，系統(tǒng)就能正常工作，各部件的可靠度均為，而且甲、乙、丙互不影響.求系統(tǒng)的可靠度.乙丙甲由互斥事件概率的加法公式以及獨立性可知例1：若，，則事件A與B的關(guān)系是（）A．事件A與B互斥 B．事件A與B對立C．事件A與B相互獨立 D．事件A與B既互斥又相互獨立題型一：互斥事件、對立事件、相互獨立事件的判斷事件A與B相互獨立、事件A與B不互斥，故不對立.C例2：擲一枚骰子，記事件A表示事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B表示事件“出現(xiàn)4點或5點”，事件C表示事件“點數(shù)不超過3”，事件D表示事件“點數(shù)大于4”，則①事件A與B是獨立事件②事件B與C是互斥事件③事件C與D是對立事件④，以上為說法正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型一：互斥事件、對立事件、相互獨立事件的判斷對于①，，，

，事件A與B是獨立事件，故①正確；例2：擲一枚骰子，記事件A表示事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B表示事件“出現(xiàn)4點或5點”，事件C表示事件“點數(shù)不超過3”，事件D表示事件“點數(shù)大于4”，則①事件A與B是獨立事件②事件B與C是互斥事件③事件C與D是對立事件④，以上為說法正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型一：互斥事件、對立事件、相互獨立事件的判斷對于②，事件B與事件C不能同時發(fā)生，事件B與事件C是互斥事件，故②正確；對于③，事件C與事件D不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥但不對立事件，故③錯誤；題型一：互斥事件、對立事件、相互獨立事件的判斷B例2：擲一枚骰子，記事件A表示事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B表示事件“出現(xiàn)4點或5點”，事件C表示事件“點數(shù)不超過3”，事件D表示事件“點數(shù)大于4”，則①事件A與B是獨立事件②事件B與C是互斥事件③事件C與D是對立事件④，以上為說法正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個對于④，，故④錯誤．題型二：相互獨立事件概率的計算例3：甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.7，則兩人都脫靶的概率為（）A．0.56 B．0.5 C．0.38 D．0.06D甲乙兩名運動員都沒有中靶的概率為：.所以，取出至少有1件次品的概率為1-0.7225=0.2775.題型二：相互獨立事件概率的計算例4：從一堆產(chǎn)品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，若取出的產(chǎn)品全是正品的概率為0.85，則取出至少有1件次品的概率為______．間接法0.2775由已知得，取出2件產(chǎn)品中，1件次品也沒有的概率為.題型三：相互獨立事件與互斥事件的綜合問題例5：某大街在甲、乙、丙三處設(shè)有紅、綠燈，汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為，，，則汽車在這三處因遇紅燈而停車一次的概率為________．∵設(shè)汽車分別在甲乙丙三處的通行為事件A,B,C，停車為，∵停車一次即為事件，∴所求概率為：．題型三：相互獨立事件與互斥事件的綜合問題例6：從甲地到乙地共有A、B、C、D四條路線可走，走路線A堵車的概率為0.08，走路線B堵車的概率為0.1，走路線C堵車的概率為0.12，走路線D堵車的概率為0.04，若小李從這四條路線中等可能的任選一條開車自駕游，則堵車的概率為（）A．0.034 B．0.065 C．0.085 D．0.34C走A線路堵車的概率為，同理，走B線路堵車的概率為，走C線路堵車的概率為，走D線路堵車的概率為，所以堵車的總概率為：.練習：對于該試驗，第一枚骰子與第二枚骰子出現(xiàn)點數(shù)互不影響，而且事件A、B可以同時發(fā)生，所以A、B相互獨立，但不互斥，也不對立，更不相等.C1.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A=“第一枚出現(xiàn)的點數(shù)大于2”，B=“第二枚出現(xiàn)的點數(shù)小于6”，則A與B的關(guān)系為（）A．互斥 B．互為對立 C．相互獨立 D．相等練習：根據(jù)題意可知，事件A和事件B可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯；B2.袋內(nèi)裝有大小、形狀完全相同的3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，設(shè)事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，則下列說法中正確的是（）A．A與B是互斥事件 B．A與B不是相互獨立事件C．B與C是對立事件 D．A與C是相互獨立事件不放回摸球，第一次摸球?qū)Φ诙蚊蛴杏绊?，所以事件A和事件B不相互獨立，故B正確；事件B的對立事件為“第二次摸到黑球”，故C錯；事件A與事件C為對立事件，故D錯.3.（多選）已知,則（）A.事件A與事件C相互獨立B.事件A與事件B相互獨立C.事件B與事件C相互獨立D.事件B與事件D相互獨立練習：對于A：因為，所以，所以事件A與事件C相互獨立，故A正確；對于B：因為，所以，所以事件A與事件B不相互獨立，故B錯誤；3.（多選）已知,則（）A.事件A與事件C相互獨立B.事件A與事件B相互獨立C.事件B與事件C相互獨立D.事件B與事件D相互獨立練習：對于C：因為，所以，所以事件B與事件C不相互獨立，故C錯誤；對于D：因為，所以，所以事件B與事件D相互獨立，故D正確；AD練習：設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，4.從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.∴這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.練習：5.在一個選拔節(jié)目中，每個選手都需要進行四輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答者進入下一輪考核，否則被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為，，，，且各輪問題能否正確回答互不影響.（1）求該選手進入第三輪才被淘汰的概率；設(shè)事件表示“該選手能正確回答第i輪問題”，則，，，.（1）設(shè)事件B表示“該選手進入第三輪才被淘汰”，練習：（2）設(shè)事件C表示“該選手至多進入第三輪考核”，5.在一個選拔節(jié)目中，每個選手都需要進行四輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答者進入下一輪考核，否則被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為，，，，且各輪問題能否正確回答互不影響.（1）求該選手進入第三輪才被淘汰的概率；（2）求該選手至多進入第三輪考核的概率.練習：最后乙隊獲勝，則需要在剩下的三局比賽中贏一局即可．6.排球比賽的規(guī)則是5局3勝制，在某次排球比賽中，甲隊在每局比賽中獲勝的概率均為，若前2局結(jié)束后乙隊以2∶0領(lǐng)先，則最后乙隊獲勝的概率是___________．若第三局乙隊獲勝，其概率為；若第三局乙隊負，第四局乙隊獲勝，其概率為；若第三?四局乙隊負，第五局乙隊獲勝，其概率為．所以最后乙隊獲勝的概率為．練習：0.447.已知甲運動員的投籃命中率為0.8，乙運動員的投籃命中率為0.7，若甲、乙各投籃一次，則至多有一人命中的概率是______．甲、乙兩人都命中的概率為，至多有一人命中的概率為.間接法練習：設(shè)甲外出旅游為事件A，乙外出旅游為事件B，C8.暑假期間，甲同學外出旅游的概率是，乙同學外出旅游的概率是，假定甲乙兩人的行動互相之間沒有影響，則暑假期間甲、乙兩位同學恰有一人外出旅游的概率是（）A． B． C．D．事件“甲、乙兩位同學恰有一人外出旅游”為，練習：C9.甲、乙、丙三位學生用計算機聯(lián)網(wǎng)學習數(shù)學，每天上課后獨立完成6道自我檢測題，甲及格的概率為，乙及格的概率為，丙及格的概率為，三人各答一次，則三人中只有一人及格的概率為（）A．B． C． D．以上都不對甲及格的概率為，乙及格的概率為，丙及格的概率為，僅甲及格的概率為：；僅乙及格的概率為：；僅丙及格的概率為：；三人中只有一人及格的概率為：.練習：由題意事件A與事件B相互獨立，B10.已知事件A與事件B相互獨立，且，則（）A．0.7

B．0.6

C．0.5

D．0.4

練習：11.甲、乙兩班各派2名同學參加年級數(shù)學競賽，參賽同學成績及格的概率都為0.6，且參賽同學的成績相互之間沒有影響．求：(1)甲、乙兩班參賽同學中各有1名同學成績及格的概率；(1）甲班參賽同學恰有1名同學成績及格的概率，乙班參賽同學恰有1名同學成績及格的概率，所以甲、乙兩班參賽同學中各有1名同學成績及格的概率練習：11.甲、乙兩班各派2名同學參加年級數(shù)學競賽，參賽同學成績及格的概率都為0.6，且參賽同學的成績相互之間沒有影響．求：(1)甲、乙兩班參賽同學中各有1名同學成績及格的概率；(2)甲、乙兩班參賽同學中至少有1名同學成績及格的概率．（2）甲、乙兩班4名同學成績不及格的概率，所以甲、乙兩班參賽同學中至少有1名同學成績及格的概率練習：從這種鉛筆中任取一件抽到甲的概率為0.6，抽到乙的概率是0.4，A12.某鉛筆工廠有甲，乙兩個車間，甲車間的產(chǎn)量是乙車間產(chǎn)量的1.5倍，現(xiàn)在客戶定制生產(chǎn)同一種鉛筆產(chǎn)品，由甲，乙兩個車間負責生產(chǎn)，甲車間產(chǎn)品的次品率為10%，乙車間的產(chǎn)品次品率為5%，現(xiàn)在從這種鉛筆產(chǎn)品中任取一件，則取到次品的概率為（）A．0.08 B．0.06 C．0.04 D．0.02抽到甲車間次品的概率P1＝0.6×0.1＝0.06，任取一件抽到次品的概率P＝P1+P2＝0.06+0.02＝0.08．抽到乙車間次品的概率P2＝0.4×0.05＝0.02，13.甲、乙兩隊進行籃球比賽，采取五場三勝制（先勝三場者獲勝，比賽結(jié)束），根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“客客主主客”，設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.5，客場取勝的概率為0.4，且各場比賽相互獨立，則甲隊在