等差數(shù)列的性質(zhì)

第二章 數(shù)列2.2 等差數(shù)列第2課時 等差數(shù)列的性質(zhì)A級 基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且 a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所組成的數(shù)列的第 37項值為( )A．0 B．37 C．100 D．－37解析：設(shè)cn＝an＋bn，則c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2100，故d＝c2－c1＝0，故cn＝100(n∈N*)，從而c37＝100.答案：C2．如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則下列式子一定成立的有 ( )A．a(chǎn)1＋a8＜a4＋a5 B．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5C．a(chǎn)1＋a8＞a4＋a5 D．a(chǎn)1a8＝a4a5解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)有 a1＋a8＝a4＋a5.答案：B3．由公差 d≠0的等差數(shù)列 a1，a2，?，an組成一個新的數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，?下列說法正確的是( )A．新數(shù)列不是等差數(shù)列B．新數(shù)列是公差為 d的等差數(shù)列C．新數(shù)列是公差為 2d的等差數(shù)列D．新數(shù)列是公差為 3d的等差數(shù)列解析：因為(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1＋an)＋(an＋3－an＋2)2d，所以數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，?是公差為2d的等差數(shù)列．答案：C14．在數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果數(shù)列 an＋1是等差數(shù)列，那么a11等于()112A.3B.2C.3D．1解析：依題意得1＋1＝2·1，a3＋1a11＋1a7＋1所以1＝2－1＝2，a11＋11＋12＋13所以11＝1.a2答案：B5．一個首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六項均為正數(shù)，第七項起為負(fù)數(shù)，則它的公差是 ( )A．－2 B．－3 C．－4 D．－5解析：設(shè)該數(shù)列的公差為 d，則由題設(shè)條件知：a6＝a1＋5d>0，a7＝1＋6d<0.a又因為a1＝23，d>－235，2323所以23即－5<d<－6，d<－6，又因為d是整數(shù)，所以d＝－4.答案：C二、填空題6．在等差數(shù)列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，則a5a8＝________．解析：由已知得a3＋a10＝3.又?jǐn)?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a5＋a8＝a3＋a10＝3.答案：37．?dāng)?shù)列{an}滿足遞推關(guān)系 an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，a1＝5，則使得數(shù)列an＋m為等差數(shù)列的實數(shù)的值為．3nm________解析：a1＝，2＝×＋2－＝，5a353123a3＝3×23＋33－1＝95，5＋m 23＋m 95＋m依題意得 3 ， 32，33成等差數(shù)列，23＋m 5＋m 95＋m所以2·32 ＝ 3 ＋ 33，1所以m＝－2.1答案：－2an an＋18．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，若點n，n＋1在直線x－y＋1＝0上，則an＝________________．a(chǎn)nan＋1an＋1nana解析：由題設(shè)可得n－＋1＝0，即－n＝1，所以數(shù)列nn＋1n＋1an是以1為公差的等差數(shù)列，且首項為1，故通項公式n＝n，所以an＝n2.答案：n2三、解答題9．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋?＋a5＝30，a6＋a7＋?＋a1080，求a11＋a12＋?＋a15.解：法一：因為1＋11＝6＋6，2＋12＝7＋7，?，5＋15＝10＋10，所以a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，?，a5＋a15＝2a10.所以(a1＋a2＋?＋a5)＋(a11＋a12＋?＋a15)＝2(a6＋a7＋?＋a10)．所以a11＋a12＋?＋a15＝2(a6＋a7＋?＋a10)－(a1＋a2＋?＋a5)＝2×80－30＝130.法二：因為數(shù)列{an是等差數(shù)列，所以a1＋2＋?＋5，6＋7}aaaa＋?＋a10，a11＋a12＋?＋a15也成等差數(shù)列，即30，80，a11＋a12＋?＋a15成等差數(shù)列．所以30＋(a11＋a12＋?＋a15)＝2×80，所以a11＋a12＋?＋a15＝130.10．已知無窮等差數(shù)列{an}，首項a1＝3，公差d＝－5，依次取出項的序號被4除余3的項組成數(shù)列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求數(shù)列{bn}的通項公式；(3)數(shù)列{bn}中的第110項是數(shù)列{an}中的第幾項？解：(1)由題意，等差數(shù)列{an}的通項公式為 an＝3＋(n－1)(－5)8－5n，設(shè)數(shù)列{bn}的第n項是數(shù)列{an}的第m項，則需滿足m＝4n－1，n∈N*，所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，所以新數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列，且首項為b1＝－7，公差為d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.(3)因為m＝4n－1，n∈N*，所以當(dāng) n＝110時，m＝4×110－1439，所以數(shù)列{bn}中的第110項是數(shù)列{an}中的第439項．B級 能力提升1．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個根組成一個首項為 14的等差數(shù)列，則|m－n|＝( )3 1 3A．1 B.4 C.2 D.8解析：設(shè)方程的四個根 a1，a2，a3，a4依次成等差數(shù)列，則 a1＋a4＝a2＋a3＝2，再設(shè)此等差數(shù)列的公差為 d，則2a1＋3d＝2，1 1因為a1＝4，所以d＝2，1 1 3所以a2＝4＋2＝4，5a3＝4＋1＝4，137a4＝4＋2＝4，17351所以|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝4×4－4×4＝2.答案：C2．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，p＝q，aq＝p(p≠q)，則ap＋q＝a______________．解析：法一：因為ap＝q＋－，a(pq)d所以q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d，因為p≠q，所以d＝－1.所以ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q×(－1)＝0.法二：因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以點(n，an)在一條直線上．不妨設(shè)p＜q，記點A(p，q)，B(q，p)，則直線AB的斜率p－qk＝ ＝－1，如圖所示，由圖知OC＝p＋q，即點C的坐標(biāo)為q－p(p＋q，0)故ap＋q＝0.答案：03．在數(shù)列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．1(1)求證：數(shù)列 an是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．(1)證明：由3anan－1＋an－an－1＝0，得