2022年山東省淄博市中考數(shù)學試卷

第17頁（共17頁）2022年山東省淄博市中考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）若實數(shù)a的相反數(shù)是﹣1，則a+1等于（A）A．2 B．﹣2 C．0 D．2．（5分）下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（D）A． B． C． D．3．（5分）經(jīng)過折疊可以圍成正方體，且在正方體側面上的字恰好環(huán)繞組成一個四字成語的圖形是（C）A． B． C． D．4．（5分）小紅在“養(yǎng)成閱讀習慣，快樂閱讀，健康成長”讀書大賽活動中，隨機調(diào)查了本校初二年級20名同學，在近5個月內(nèi)每人閱讀課外書的數(shù)量，數(shù)據(jù)如下表所示：人數(shù)3485課外書數(shù)量（本）12131518則閱讀課外書數(shù)量的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（D）A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，155．（5分）某城市幾條道路的位置關系如圖所示，道路AB∥CD，道路AB與AE的夾角∠BAE＝50°．城市規(guī)劃部門想新修一條道路CE，要求CF＝EF，則∠E的度數(shù)為（B）A．23° B．25° C．27° D．30°6．（5分）下列分數(shù)中，和π最接近的是（A）A． B． C． D．7．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分別以點A和C為圓心，以大于AC的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P和點Q，作直線PQ分別交BC，AC于點D和點E．若CD＝3，則BD的長為（C）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）計算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的結果是（C）A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a(chǎn)6b2 D．7a6b29．（5分）為扎實推進“五育”并舉工作，加強勞動教育，某校投入2萬元購進了一批勞動工具．開展課后服務后，學生的勞動實踐需求明顯增強，需再次采購一批相同的勞動工具，已知采購數(shù)量與第一次相同，但采購單價比第一次降低10元，總費用降低了15%．設第二次采購單價為x元，則下列方程中正確的是（D）A． B． C． D．＝10．（5分）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點，連接CE交對角線BD于點F．若∠DEF＝∠DFE，則這個菱形的面積為（B）A．16 B．6 C．12 D．30【解析】連接AC交BD于O，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，∵E為AD邊的中點，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴AC＝2OC＝2，∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝×2×6＝6．故選：B．11．（5分）若二次函數(shù)y＝ax2+2的圖象經(jīng)過P（1，3），Q（m，n）兩點，則代數(shù)式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值為（A）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】∵二次函數(shù)y＝ax2+2的圖象經(jīng)過P（1，3），∴3＝a+2，∴a＝1，∴y＝x2+2，∵Q（m，n）在y＝x2+2上，∴n＝m2+2，∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，∵（m2﹣2）2≥0，∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值為1．故選：A．12．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，過△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長為（B）A．6 B．7 C．8 D．9【解析】如圖，連接AI，BI，CI，DI，過點I作IT⊥AC于點T．∵I是△ABD的內(nèi)心，∴∠BAI＝∠CAI，∵AB＝AC，AI＝AI，∴△BAI≌△CAI（SAS），∴IB＝IC，∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，∴△IDT≌△IDE（AAS），∴DE＝DT，IT＝IE，∵∠BEI＝∠CTI＝90°，∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），∴BE＝CT，設BE＝CT＝x，∵DE＝DT，∴10﹣x＝x﹣4，∴x＝7，∴BE＝7．故選：B．二、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分。13．（4分）要使根式有意義，則a的取值范圍是a≥5．14．（4分）分解因式：x3﹣9x＝x（x+3）（x﹣3）．15．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若頂點A（﹣3，4）的對應點是A1（2，5），則點B（﹣4，2）的對應點B1的坐標是（1，3）．16．（4分）計算：＝﹣2．17．（4分）如圖，正方形ABCD的中心與坐標原點O重合，將頂點D（1，0）繞點A（0，1）逆時針旋轉90°得點D1，再將D1繞點B逆時針旋轉90°得點D2，再將D2繞點C逆時針旋轉90°得點D3，再將D3繞點D逆時針旋轉90°得點D4，再將D4繞點A逆時針旋轉90°得點D5……依此類推，則點D2022的坐標是（﹣2023，2022）．【解析】∵將頂點D（1，0）繞點A（0，1）逆時針旋轉90°得點D1，∴D1（1，2），∵再將D1繞點B逆時針旋轉90°得點D2，再將D2繞點C逆時針旋轉90°得點D3，再將D3繞點D逆時針旋轉90°得點D4，再將D4繞點A逆時針旋轉90°得點D5……∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，觀察發(fā)現(xiàn)：每四個點一個循環(huán)，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），∵2022＝4×505+2，∴D2022（﹣2023，2022）；故答案為：（﹣2023，2022）．三、解答題：本大題共7個小題，共70分。解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。18．（8分）解方程組：．【解答】解：整理方程組得，①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，y＝1，把y＝1代入①得x﹣2＝3，解得x＝5，∴方程組的解為．19．（8分）如圖，△ABC是等腰三角形，點D，E分別在腰AC，AB上，且BE＝CD，連接BD，CE．求證：BD＝CE．【解答】證明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC與△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．20．（10分）如圖，直線y＝kx+b與雙曲線y＝相交于A（1，2），B兩點，與x軸相交于點C（4，0）．（1）分別求直線AC和雙曲線對應的函數(shù)表達式；（2）連接OA，OB，求△AOB的面積；（3）直接寫出當x＞0時，關于x的不等式kx+b＞的解集．【解答】解：（1）將A（1，2），C（4，0）代入y＝kx+b，得，解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+，將A（1，2）代入y＝（x＞0），得m＝2，∴雙曲線的解析式為y＝（x＞0）；（2）∵直線AC的解析式為y＝﹣x+與y軸交點D，∴點D的坐標為（0，），∵直線AC：y＝﹣x+與雙曲線：y＝（x＞0）相交于A（1，2），B兩點，∴，∴，，∴點B的坐標為（3，），∴△AOB的面積＝4×﹣4×﹣×1＝；（3）觀察圖象，∵A（1，2），B（3，），∴當x＞0時，關于x的不等式kx+b＞的解集是1＜x＜3．21．（10分）某中學積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務質(zhì)量，促進學生全面健康發(fā)展為優(yōu)化師資配備，學校面向七年級參與課后服務的部分學生開展了“你選修哪門課程（要求必須選修一門且只能選修一門）？”的隨機問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：請結合上述信息，解答下列問題：（1）共有120名學生參與了本次問卷調(diào)查；“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角是99度；（2）補全調(diào)查結果條形統(tǒng)計圖；（3）小剛和小強分別從“禮儀”等五門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率．【解答】解：（1）參與了本次問卷調(diào)查的學生人數(shù)為：30÷25%＝120（名），則“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角為：360°×＝99°，故答案為：120，99；（2）條形統(tǒng)計圖中，選修“廚藝”的學生人數(shù)為：120×＝18（名），則選修“園藝”的學生人數(shù)為：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名），補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）把“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程分別記為A、B、C、D、E，畫樹狀圖如下：共有25種等可能的結果，其中小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的結果有5種，∴小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的概率為＝．22．（10分）如圖，希望中學的教學樓AB和綜合樓CD之間生長著一棵高度為12.88米的白楊樹EF，且其底端B，D，F(xiàn)在同一直線上，BF＝FD＝40米．在綜合實踐活動課上，小明打算借助這棵樹的高度測算出綜合樓的高度，他在教學樓頂A處測得點C的仰角為9°，點E的俯角為16°．問小明能否運用以上數(shù)據(jù)，得到綜合樓的高度？若能，請求出其高度（結果精確到0.01米）；若不能，說明理由．解答過程中可直接選用表格中的數(shù)據(jù)喲！科學計算器按鍵順序計算結果（已取近似值）0.1560.1580.2760.287【解答】解：小明能運用以上數(shù)據(jù)，得到綜合樓的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足為G，作AH⊥CD，垂足為H，如圖：由題意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH＝9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，∴tan16°＝，即0.287≈，∴AG＝40×0.287＝11.48（米），∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），∴HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，tan∠CAH＝，∴tan9°＝，即0.158≈，∴CH＝80×0.158＝12.64（米），∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），答：綜合樓的高度約是37.00米．23．（12分）已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線與⊙O相交于點D，連接DB．（1）如圖①，設∠ABC的平分線與AD相交于點I，求證：BD＝DI；（2）如圖②，過點D作直線DE∥BC，求證：DE是⊙O的切線；（3）如圖③，設弦BD，AC延長后交⊙O外一點F，過F作AD的平行線交BC的延長線于點G，過G作⊙O的切線GH（切點為H），求證：FG＝HG．【解答】證明：（1）如圖①，∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝DI；（2）如圖②，連接OD，∵∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（3）如圖，作直徑交⊙O于M，連接CM，BH，CH，∴∠MCH＝90°，∴∠M+∠CHM＝90°，∵∠B＝∠M，∴∠B+∠CHM＝90°，∵GH是⊙O的切線，∴∠OHG＝∠CHG+∠CHM＝90°，∴∠CHG＝∠B，如圖③，連接BH，CH，∵GH是⊙O的切線，∴∠CHG＝∠HBG，∵∠CGH＝∠BGH，∴△HCG∽△BHG，∴＝，∴GH2＝BG?CG，∵AD∥GF，∴∠AFG＝∠CAD，∵∠CAD＝∠FBG，∴∠FBG＝∠AFG，∵∠CGF＝∠BGF，∴△CGF∽△FGB，∴＝，∴FG2＝BG?CG，∴FG＝HG．24．（12分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側），頂點D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動點P（m，n）在x軸上方的拋物線上．（1）求這條拋物線對應的函數(shù)表達式；（2）過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥l于點N，當1＜m＜3時，求PM+PN的最大值；（3）設直線AP，BP與拋物線的對稱軸分別相交于點E，F(xiàn)，請?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點E關于x軸的對稱點）為頂點的四邊形面積是否隨著P點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線的頂點D（1，4），∴可以假設拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）如圖，設直線l交x軸于點T，連接PT，BD，BD交PM于點J．設P（m，﹣m2+2m+3）．點D（1，4）在直線l：y＝x+t上，∴4＝+t，∴t＝，∴直線DT的解析式為y＝x+，令y＝0，得到x＝﹣2，∴T（﹣2，0），∴OT＝2，∵B（3，0），∴OB＝3，∴BT＝5，∵DT＝＝5，∴TD＝TB，∵PM⊥BT，PN⊥DT，∴四邊形DTBP的面積＝△PDT的面積+△PBT的面積＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN），∴四邊形DTBP的面積最大時，PM+PN的值最大，∵D（1，4），B（3，0），∴直線BD的解析式為y＝﹣2x+6，∴J（m，﹣2m+6），∴PJ＝﹣m2+4m﹣3，∵四邊形DTBP的面積＝△DTB的面積+△BDP的面積＝×5×4+×（﹣m2