圓及有關概念（知識講解）-2022-2023學年數(shù)學九年級上冊（浙教版）

專題3.1圓及有關概念（知識講解）【學習目標】1．理解圓的本質(zhì)屬性；經(jīng)歷探索點與圓的位置關系的過程，會運用點到圓心的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關系判斷點與圓的位置關系；2．了解圓及其有關概念，理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧等與圓有關的概念，理解概念之間的區(qū)別和聯(lián)系；【要點梳理】要點一、圓的定義第一定義：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

特別說明：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.第二定義：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.

特別說明：

①定點為圓心，定長為半徑；

②圓指的是圓周，而不是圓面；

③強調(diào)“在一個平面內(nèi)”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球面，一個閉合的曲面.1．點和圓的三種位置關系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有

要點二、與圓有關的概念1.弦弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

特別說明：

直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.

2.弧

弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；

劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.

特別說明：

①半圓是弧，而弧不一定是半圓；

②無特殊說明時，弧指的是劣弧.

3.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.

圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.

4.等弧

在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

特別說明：

①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；

②圓中兩平行弦所夾的弧相等.【典型例題】類型一、圓的定義1．如圖，已知的圓心原點，半徑長為是上的在第一象限的點，求的值．【答案】6【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)，可得OA=10，再由，可得AB=8，然后由勾股定理，求出OB=6，即可求解．解：如圖，過點B作AB⊥x軸于點B，連接OA，∵的半徑長為10，∴OA=10，∵，∴AB=8，在中，由勾股定理得：，∵在第一象限內(nèi)，∴，∴．【點撥】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，點的坐標，熟練掌握圓的基本性質(zhì)，勾股定理是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】中，．求證：三點在同一個圓上．【分析】取AB的中點O，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CO＝AO＝BO，故可求解．解：如圖所示，取AB的中點O，連接CO在Rt△ABC中，∵AO=BO，∠ACB=90°，∴CO＝AB，即CO＝AO＝BO．∴A，B，C三點在同一個圓上，圓心為點O．【點撥】此題主要考查證明三點共圓，解題的關鍵是熟知圓的基本性質(zhì)及直角三角形的特點．【變式2】如圖，已知為的直徑，四邊形，都是正方形，小正方形的面積為16，求圓的半徑．【答案】【分析】連接，，設的半徑為r，，則，在Rt△COD和Rt△FOG中，分別根據(jù)勾股定理可得，解方程即可求解．解：如圖，連接，，設的半徑為，，則，∵，∴，∵正方形的面積為16，∴，∴，又∵，∴，∴，解得，（不合題意，舍去），∴，．【點撥】本題考查勾股定理的應用圓的認識和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握在一個直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．類型二、與圓有關的概念3．如圖，在中，半徑有________，直徑有________，弦有________，劣弧有________，優(yōu)弧有________．【答案】

，，，

，

，，，，

，，，，【分析】根據(jù)圓的基本概念，即可求解．解：在中，半徑有，，，；直徑有；弦有，；劣弧有，，，，；優(yōu)弧有，，，，；故答案為：，，，；；，；，，，，；，，，，．【點撥】本題主要考查了圓的基本概念，熟練掌握圓的半徑、直徑、弦、弧的概念是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】小于半圓的?。ㄈ鐖D中的________）叫做______；大于半圓的弧（用三個字母表示，如圖中的_______）叫做______．【注意】1）弧分為是優(yōu)弧、劣弧、半圓．2）已知弧的兩個起點，不能判斷它是優(yōu)弧還是劣弧，需分情況討論．【答案】

劣弧

優(yōu)弧【變式2】如圖，以點為端點的優(yōu)弧是____________，以點為端點的劣弧是_____________．【答案】

，

，【分析】根據(jù)劣弧和優(yōu)弧的定義求解．解：在⊙O中，以A為端點的優(yōu)弧有，；以A為端點的劣弧有，；故答案為：，；，．【點撥】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關的概念，注意：大于半圓的弧是優(yōu)弧，小于半圓的弧是劣弧，半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣?。愋腿?、點和圓的位置關系3．已知⊙O的半徑r＝5cm，圓心O到直線的距離d＝OD＝3cm，在直線上有P、Q、R三點，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三點與⊙O位置關系各是怎樣的?【答案】PD＝4cm，點P在⊙O上．QD＞4cm，點Q在⊙O外．RD＜4cm，點R在⊙O內(nèi)．【分析】依題意畫出圖形(如圖所示)，計算出P、Q、R三點到圓心的距離與圓的半徑比較大?。猓哼B接PO，QO，RO．∵

PD＝4cm，OD＝3cm，∴

PO＝．∴

點P在⊙O上．，∴

點Q在⊙O外．，∴

點R在⊙O內(nèi)．【點撥】本題主要考查點與圓的位置關系，點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．舉一反三：【變式1】已知：如圖，△ABC中，，CM是中線，以C為圓心，以cm長為半徑畫圓，則點A、B、M與⊙C的關系如何？【答案】點A在⊙O內(nèi)；點B在⊙C外；M點在⊙C上【分析】點與圓的位置關系由三種情況：設點到圓心的距離為d，則當d=r時，點在圓上；當d＞r時，點在圓外；當d＜r時，點在圓內(nèi)．解：根據(jù)勾股定理，有AB=（cm）；∵CA=2cm＜cm，∴點A在⊙O內(nèi)，∵BC=4cm＞cm，∴點B在⊙C外；由直角三角形的性質(zhì)得：CM=cm∴M點在⊙C上．【點撥】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內(nèi)．【變式2】畫圖說明：端點分別在兩條互相垂直的直線上，且長度為5cm的所有線段的中點所組成的圖形.【答案】以兩條已知直線的交點（垂足）為圓心，2.5cm長為半徑的一個圓.【分析】如圖所示，當線段兩個端點在O，F(xiàn)時，此時的的中點為B點，同理可知也可在A,G,H點，這些點在已知直線的交點為圓心，2.5cm長為半徑的一個圓上；當線段兩個端點在C，D時，其中點為E，根據(jù)直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半知CE=DE=OE，則E點在以O為圓心2.5cm長為半徑的一個圓上；綜上即可畫出圖形.解：如圖所示，以兩條已知直線的交點（垂足）為圓心，2.5cm長為半徑的一個圓.【點撥】此題主要考查點與圓的關系，解題的關鍵是正確理解題意，再畫出圖形.類型四、圓中弦的問題4、已知：線段AB=4cm，畫圖說明：和點A、B的距離都不大于3cm的所有點組成的圖形.【答案】所求圖形為陰影部分（包括陰影的邊界）.【分析】以A，B點為圓心，半徑為3作圓，重疊的部分即為所求.解：如圖所示，以點A，B為圓心，3cm為半徑畫圓，兩個圓相交的部分為陰影部分，圖中陰影部分就是到點A和點B的距離都不大于3cm的所有點組成的圖形.【點撥】此題主要考查點與圓的位置關系，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)所學的點與圓的位置關系的判斷方法來解答.舉一反三：【變式1】如圖所示，為的一條弦，點為上一動點，且，點，分別是，的中點，直線與交于，兩點，若的半徑為7，求的最大值.【答案】的最大值為.【分析】由和組成的弦，在中，弦最長為直徑14，而可求，所以的最大值可求.解：連結，，∵

∴∴為等邊三角形，∵點，分別是，的中點∴，∵為的一條弦∴最大值為直徑14

∴的最大值為.【點撥】利用直徑是圓中最長的弦，可以解決圓中一些最值問題.【變式2】如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，點P是AB邊上的一個動點（與點A、B不重合）．直線l是經(jīng)過點P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點B的對應點是點B'．當PB＝6時，在直線l變化過程中，求△ACB'面積的最大值．【答案】【分析】如圖，過點作，當，，共線時，的面積最大，求出的長即可解決問題．解：如圖，過點P作PH⊥AC，由題可得，在以為圓心，半徑長為6的圓上運動，當?shù)难娱L線交圓于點時面積最大，在中，，，，是等邊三角形，，，，，的最大值為．【點撥】本題考查圓與三角形綜合問題，根據(jù)題意構造出圖形是解題的關鍵．類型五、與圓周長和面積有關的問題5、如圖所示，求如圖正方形中陰影部分的周長．（結果可保留）【答案】正方形中陰影部分的周長為【分析】陰影部分的周長=半圓弧長+圓弧長+正方形邊長的3倍，依此計算即可求解．解：根據(jù)題意得：，，．故正方形中陰影部分的周長為．【點撥】本題主要考查列代數(shù)式，解題的關鍵是掌握圓的周長公式．舉一反三：【變式1】如圖，長方形的長為a，寬為b，在它的內(nèi)部分別挖去以b為半徑的四分之一圓和以b為直徑的半圓．（1）用含a、b的代數(shù)式表示陰影部分的面積；（2）當a＝8，b＝4時，求陰影部分的面積（π取3）．【答案】（1）陰影部分的面積＝ab﹣πb2；（2）14．【分析】（1）根據(jù)陰影部分面積=矩形面積-圓的面積-半圓的面積，結合圖形圓的半徑、半圓的半徑和矩形的寬的關系，并利用它們的面積公式即可求解．（2）將a，b的值代入（1）中所求的代數(shù)式進行計算．解：（1）圓的半徑即為矩形的寬=b，半圓的半徑為矩形寬的=b，陰影部分面積=矩形面積-圓的面積-半圓的面積即：陰影部分面積=（2）因為π取3，將代入（1）所得的代數(shù)式得：原式=．【點撥】本題考查求圓的面積的公式及根據(jù)題意列代數(shù)式，明確陰影部分面積=矩形面積-圓的面積-半圓的面積是解題的關鍵．【變式2】如圖，長方形的長為a，寬為，用整式表示圖中陰影部分的面積，并計算當時陰影部分的面積（取3.14）．【答案】，1.14【分析】根據(jù)對稱性用a表示出陰影的面積，再將a=2代入求解即可．解：由題意可知：S陰=當時，S陰=．【點撥】本題考查列代數(shù)式、代數(shù)式求值、圓的面積公式、三角形的面積公式，解答的關鍵是找出面積之間的關系，利用基本圖形的面積公式解決問題．類型六、坐標系中圓的問題6、如圖，點P是反比例函數(shù)圖象上一點，軸于點A，點M在y軸上，過點A，與y軸交于B、D，已知A、B兩點的坐標分別為，PB的延長線交于另一點C．(1)求的半徑的長；(2)當時，試求出k的值；(3)在（2）的條件下，請求出線段PC的長．【答案】(1)10(2)(3)【分析】（1）設，由題意知，，即，求出滿足要求的，求出的長，進而可得半徑；（2）由題意，設，設過的直線的解析式為，交軸于，將代入得，可得過的直線的解析式為，將代入，求得，由，，可知，則，求出滿足要求的值，得到點坐標，然后代入反比例函數(shù)解析式求即可；（3）由（2）可知，過的直線的解析式為，設，由題意知，，則，求出符合要求的值，進而可得的坐標，然后利用勾股定理求的值即可．(1)解：設，由題意知，，即，解得：，∴，∵，∴的半徑的長為10．(2)解：由題意，設，設過的直線的解析式為，交軸于，如圖，將代入得，解得，∴過的直線的解析式為，將代入得，∴，∵，，∴，∴，∴，整理得，解得，（不合題意，舍去），∴，將代入得，，解得，∴的值為．(3)解：由（2）可知，過的直線的解析式為，設，由題意知，，∴，解得，（不合題意，舍去），∴，∴，∴的長為．【點撥】本題考查了圓的概念，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，等角對等邊，勾股定理等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．舉一反三：【變式1】如圖，在平面直角坐標系中，方程表示圓心是，半徑是的圓，其中，．(1)請寫出方程表示的圓的半徑和圓心的坐標；(2)判斷原點和第（1）問中圓的位置關系．【答案】(1)半徑為5，圓心(2)在圓上【分析】（1）根據(jù)題目所給的“在平面直角坐標系中，方程表示圓心是，半徑是的圓”即可直接得出答案；（2）將原點的坐標代入，即可判斷出點與圓的位置關系．(1)解：在平面直角坐標系中，方程表示圓心是，半徑是的圓，將化成，表示的圓的半徑為5，圓心的坐標為；(2)解：將原點代入，左邊右邊，原點在表示的圓上．【點撥】此題主要考查對未學知識以新定義形式出現(xiàn)的題型，讀懂題意，根據(jù)新定義解決問