期權(quán)定價(jià)模型

11.0第十一章布萊克-休爾斯-莫頓期權(quán)定價(jià)模型1973年，美國芝加哥大學(xué)教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定價(jià)模型，用于確定歐式股票期權(quán)價(jià)格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年，RobertC.Merton獨(dú)立地提出了一個(gè)更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。在本章中，我們將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價(jià)模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價(jià)的一般方法。

1布萊克-休爾斯-莫頓期權(quán)定價(jià)模型基本思路11.1我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價(jià)，必須先了解股票本身的走勢。因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價(jià)格變化的唯一來源就是股票價(jià)格的變化，股票價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最根本因素。因此，要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律。在了解了股票價(jià)格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價(jià)。在下面幾節(jié)中我們會(huì)用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價(jià)的思想。2布朗運(yùn)動(dòng)11.2.1

布朗運(yùn)動(dòng)（BrownianMotion）起源于英國植物學(xué)家布郎對水杯中的花粉粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的描述。

標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)兩大特征：特征1

(正態(tài)分布)特征2：對于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，的值相互獨(dú)立。(獨(dú)立增量）

3維納過程的性質(zhì)[z(T)–z(0)]也是正態(tài)分布均值等于0方差等于T標(biāo)準(zhǔn)差等于

方差可加性為何使用布朗運(yùn)動(dòng)？正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征1和特征2的維納過程是一個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過程維納過程在數(shù)學(xué)上對時(shí)間處處不可導(dǎo)和二次變分（QuadraticVariation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也是相符的5市場有效理論與隨機(jī)過程

1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為，證券價(jià)格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息。1、弱式效率市場假說2、半強(qiáng)式效率市場假說3、強(qiáng)式效率市場假說

根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。一般認(rèn)為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機(jī)過程（MarkovStochasticProcess）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來刻畫股票的這種特征。有效市場三個(gè)層次61、弱式效率市場假說認(rèn)為，證券價(jià)格變動(dòng)的歷史不包含任何對預(yù)測證券價(jià)格未來變動(dòng)有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。2、半強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，證券價(jià)格會(huì)迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價(jià)格被高估或低估的證券。3、強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對挑選證券都沒有用處。根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。

一般認(rèn)為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機(jī)過程（MarkovStochasticProcess）是內(nèi)在一致的。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機(jī)過程。在這個(gè)過程中，只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。如果證券價(jià)格遵循馬爾可夫過程，則意味著其未來價(jià)格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價(jià)格，這顯然和弱式效率市場假說是一致的。

布朗運(yùn)動(dòng)11.2.1

標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)展：普通布郎運(yùn)動(dòng)，令漂移率為a，方差率為b2，：

or:x(t)=x0+at+bz(t)

遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的變量x是關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過程：

adt為確定項(xiàng)，意味著x的漂移率是每單位時(shí)間為a；

bdz是隨機(jī)項(xiàng)，代表著對x的時(shí)間趨勢過程所添加的噪音，使變量x圍繞著確定趨勢上下隨機(jī)波動(dòng)，且這種噪音是由維納過程的b倍給出的。9布朗運(yùn)動(dòng)11.2.1普通布朗運(yùn)動(dòng)的離差形式為，顯然，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為1、在任意時(shí)間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為b2T。

2、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)為普通布朗運(yùn)動(dòng)的特例。

10伊藤過程與伊藤引理11.3普通通布布朗朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)假假定定漂漂移移率率和和方方差差率率為為常常數(shù)數(shù)，，若若把把變變量量x的漂漂移移率率和和方方差差率率當(dāng)當(dāng)作作變變量量x和時(shí)時(shí)間間t的函函數(shù)數(shù)，，我我們們就就可可以以得得到到這就就是是伊伊藤藤過過程程（（ItoProcess）。。其其中中，，dz是一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布布朗朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，，a、b是變變量量x和t的函函數(shù)數(shù)，，變變量量x的漂漂移移率率為為a，方方差差率率為為b2。11伊藤過程與伊藤引理11.3在伊伊藤藤過過程程的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上，，數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家伊伊藤藤（（K.Ito）進(jìn)進(jìn)一一步步推推導(dǎo)導(dǎo)出出：：若若變變量量x遵循循伊伊藤藤過過程程，，則則變變量量x和t的函函數(shù)數(shù)G將遵遵循循如如下下過過程程：：其中中，，dz是一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布布朗朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)。。這這就就是是著著名名的的伊伊藤藤引引理理。。12伊藤藤引引理理的的運(yùn)運(yùn)用用如果我們們知道x遵循的隨隨機(jī)過程程，通過過伊藤引引理可以推導(dǎo)導(dǎo)出G(x,t)遵循的隨隨機(jī)過程程。由于衍生生產(chǎn)品價(jià)價(jià)格是標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)價(jià)格和和時(shí)間的的函數(shù)，，因此隨隨機(jī)過程程在衍生生產(chǎn)品分分析中扮扮演重要要的角色色。股票價(jià)格的變化過程：幾何布朗運(yùn)動(dòng)11.2.4一般來說說，金融融研究者者認(rèn)為證證券價(jià)格格的變化化過程可可以用漂漂移率為為μS、方差率率為S2的伊藤過過程（即即幾何布布朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)）來表表示：之所以采采用幾何何布朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)其主主要原因因有兩個(gè)個(gè)：一是可以以避免股股票價(jià)格格為負(fù)從從而與有有限責(zé)任任相矛盾盾的問題題，二是是幾何布布朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)意味著著股票連連續(xù)復(fù)利利收益率率服從正正態(tài)分布布，這與與實(shí)際較較為吻合合。14伊藤過程與伊藤引理11.3案例11.1運(yùn)用伊藤藤引理推推導(dǎo)lnS所遵循的的隨機(jī)過過程假設(shè)變量量S服從其中μ和σ都為常數(shù)數(shù)，則lnS遵循怎樣樣的隨機(jī)機(jī)過程？？由于μ和σ是常數(shù)，，S顯然服從從，，的的伊藤藤過程，，我們可可以運(yùn)用用伊藤引引理推導(dǎo)導(dǎo)lnS所遵循的的隨機(jī)過過程。令，，則代入式我我們就可可得到所所遵循的隨隨機(jī)過程程為由于dlnS是股票的的連續(xù)復(fù)復(fù)利收益益率，得得出的公公式說明明股票的的連續(xù)復(fù)利收益益率服從從期望值值，，方差差為的的正態(tài)態(tài)分布。。**隨機(jī)機(jī)微積分分與非隨隨機(jī)微積積分的差差別15股票價(jià)格的變化過程：幾何布朗運(yùn)動(dòng)11.2.4從案例11.1我們已經(jīng)經(jīng)知道，，如果股股票價(jià)格格服從幾幾何布朗朗運(yùn)動(dòng)，，則有1從自然對對數(shù)的定定義域可可知，S不能為負(fù)負(fù)數(shù)。2股票價(jià)格格的對數(shù)數(shù)服從普普通布朗朗運(yùn)動(dòng)，，股票價(jià)價(jià)格和連連續(xù)復(fù)利利收益率率服從對對數(shù)正態(tài)態(tài)分布16股票價(jià)格的變化過程：幾何布朗運(yùn)動(dòng)11.2.43.T－t期間年化化的連續(xù)續(xù)復(fù)利收收益率可可以表示示為，，可可知隨機(jī)機(jī)變量服服從正態(tài)態(tài)分布是股票連連續(xù)復(fù)利利收益率率的年化化標(biāo)準(zhǔn)差差，它也也被稱為為股票價(jià)價(jià)格的波波動(dòng)率（（Volatility）4.百分比收收益率與與連續(xù)復(fù)復(fù)利收益益率。17預(yù)期收益率與波動(dòng)率11.2.5:1、幾何布朗朗運(yùn)動(dòng)中中的期望望收益率率。2、根據(jù)資本本資產(chǎn)定定價(jià)原理理，取取決于該該證券的的系統(tǒng)性性風(fēng)險(xiǎn)、、無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率水水平、以以及市場場的風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)收益偏偏好。由由于后者者涉及主主觀因素素，因此此其決定定本身就就較復(fù)雜雜。然而而幸運(yùn)的的是，我我們將在在下文證證明，衍衍生證券券的定價(jià)價(jià)與標(biāo)的的資產(chǎn)的的預(yù)期收收益率是是無無關(guān)的。。3、較長時(shí)間間段后的的連續(xù)復(fù)復(fù)利收益益率的期期望值等等于<，這是因因?yàn)檩^長長時(shí)間段段后的連連續(xù)復(fù)利利收益率率的期望望值是較較短時(shí)間間內(nèi)收益益率幾何何平均的的結(jié)果，，而較短短時(shí)間內(nèi)內(nèi)的收益益率則是是算術(shù)平平均的結(jié)結(jié)果。18預(yù)期收益率與波動(dòng)率11.2.51、證券價(jià)格格的年波波動(dòng)率，，又是股股票價(jià)格格對數(shù)收收益率的的年標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差2、一般從歷歷史的證證券價(jià)格格數(shù)據(jù)中中計(jì)算出出樣本對對數(shù)收益益率的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差，，再對時(shí)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化，得得到年標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差，，即為波波動(dòng)率的的估計(jì)值值。在計(jì)計(jì)算中，，一般來來說時(shí)間間距離計(jì)計(jì)算時(shí)越越近越好好；時(shí)間間窗口太太短也不不好；一一般來說說采用交交易天數(shù)數(shù)計(jì)算波波動(dòng)率而而不采用用日歷天天數(shù)。:19衍生品價(jià)格所服從的隨機(jī)過程11.2.６當(dāng)股票價(jià)價(jià)格服從從幾何布布朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，，由于衍衍生證券券價(jià)格G是標(biāo)的證證券價(jià)格格S和時(shí)間t的函數(shù)G(S,t)，根據(jù)伊伊藤引理理，衍生生證券的的價(jià)格G應(yīng)遵循如如下過程程：比較（11.1）和（11.11）可看出出，衍生生證券價(jià)價(jià)格G和股票價(jià)價(jià)格S都受同一一個(gè)不確確定性來來源dz的影響，，這點(diǎn)對對于以后后推導(dǎo)衍衍生證券券的定價(jià)價(jià)公式很很重要。。20布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1假設(shè)：1、證券價(jià)價(jià)格遵循循幾何布布朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)，即和和為為常數(shù)；；2、允許賣賣空標(biāo)的的證券；；3、沒有交交易費(fèi)用用和稅收收，所有有證券都都是完全全可分的的；4、衍生證證券有效效期內(nèi)標(biāo)標(biāo)的證券券沒有現(xiàn)現(xiàn)金收益益支付；；5、不存在在無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)套利機(jī)機(jī)會(huì)；6、證券交交易是連連續(xù)的，，價(jià)格變變動(dòng)也是是連續(xù)的的；7、衍生證證券有效效期內(nèi)，，無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。。21布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1由于證券券價(jià)格S遵循幾何何布朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)，因因此有：：其在一個(gè)個(gè)小的時(shí)時(shí)間間隔隔中中，S的變化值值為為：：在一個(gè)小小的時(shí)間間間隔中中，f的變化值值為為：設(shè)f是依賴于于S的衍生證證券的價(jià)價(jià)格，則則f一定是S和t的函數(shù)，，根據(jù)伊伊藤引理理可得：：22布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1為了消除除風(fēng)險(xiǎn)源源，可以構(gòu)構(gòu)建一個(gè)個(gè)包括一一單位衍衍生證券券空頭和和單單位位標(biāo)的證證券多頭頭的組合合。令代代表該該投資組組合的價(jià)價(jià)值，則則：在時(shí)時(shí)間間后，該該投資組組合的價(jià)價(jià)值變化化為為：代入和和可可得23布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1中不含任何風(fēng)險(xiǎn)源，因此組合必須獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，即代入上式可得化簡為**這就是著名的布萊克——舒爾斯微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。24布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1觀察布萊萊克－舒舒爾斯微微分方程程，我們們可以發(fā)發(fā)現(xiàn)，受受制于主主觀的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)收益益偏好的的標(biāo)的證證券預(yù)期期收益率率并未包包括在衍衍生證券券的價(jià)值值決定公公式中。。這意味味著，無無論風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)收益偏偏好狀態(tài)態(tài)如何，，都不會(huì)會(huì)對f的值產(chǎn)生生影響。。因此我我們可以以作出一一個(gè)可以以大大簡簡化我們們工作的的假設(shè)：：在對衍生生證券定定價(jià)時(shí)，，所有投投資者對對于dz所蘊(yùn)涵的的風(fēng)險(xiǎn)都都是風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性的的。在所有投投資者對對dz都是風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性的的條件下下（有時(shí)時(shí)我們稱稱之為進(jìn)進(jìn)入了一一個(gè)關(guān)于于dz的“風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性世世界”）），所有有風(fēng)險(xiǎn)源源為dz的證券的的預(yù)期收收益率都都等于無無風(fēng)險(xiǎn)利利率r，因?yàn)轱L(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中性性的投資資者并不不需要額額外的收收益來吸吸引他們們承擔(dān)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)。同同樣，在在風(fēng)險(xiǎn)中中性條件件下，所所有風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)源為dz的現(xiàn)金流流都應(yīng)該該使用無無風(fēng)險(xiǎn)利利率進(jìn)行行貼現(xiàn)求求得現(xiàn)值值。這就就是風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性定定價(jià)原理理。25布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1假設(shè)一種種不支付付紅利股股票目前前的市價(jià)價(jià)為10元，我們們知道在在3個(gè)月后，，該股票票價(jià)格要要么是11元，要么是是9元?，F(xiàn)在我我們要找出出一份3個(gè)月期協(xié)議議價(jià)格為10.5元的該股票票歐式看漲漲期權(quán)的價(jià)價(jià)值。由于歐式期期權(quán)不會(huì)提提前執(zhí)行，，其價(jià)值取取決于3個(gè)月后股票票的市價(jià)。。若3個(gè)月后該股股票價(jià)格等等于11元，則該期期權(quán)價(jià)值為為0.5元；若3個(gè)月后該股股票價(jià)格等等于9元，則該期期權(quán)價(jià)值為為0。風(fēng)險(xiǎn)中性定定價(jià)原理的的應(yīng)用26為了找出該該期權(quán)的價(jià)價(jià)值，我們們可構(gòu)建一一個(gè)由一單單位看漲期期權(quán)空頭和和單單位的標(biāo)標(biāo)的股票多多頭組成的的組合。若若3個(gè)月后該股股票價(jià)格等等于11元時(shí)，該組組合價(jià)值等等于(11－0.5)元；若3個(gè)月后該股股票價(jià)格等等于9元時(shí)，該組組合價(jià)值等等于9元。為了使使該組合價(jià)價(jià)值處于無無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)態(tài)，我們應(yīng)應(yīng)選擇適當(dāng)當(dāng)?shù)闹抵?，?個(gè)月后該組組合的價(jià)值值不變，這這意味著：：11－0.5=9=0.25因此，一個(gè)個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組組合應(yīng)包括括一份看漲漲期權(quán)空頭頭和0.25股標(biāo)的股票票。無論3個(gè)月后股票票價(jià)格等于于11元還是9元，該組合合價(jià)值都將將等于2.25元。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.127假設(shè)現(xiàn)在的的無風(fēng)險(xiǎn)年年利率等于于10%，則該組合合的現(xiàn)值應(yīng)應(yīng)為：由于該組合合中有一單單位看漲期期權(quán)空頭和和0.25單位股票多多頭，而目目前股票市市場為10元，因此：：這就是說，，該看漲期期權(quán)的價(jià)值值應(yīng)為0.31元，否則就就會(huì)存在無無風(fēng)險(xiǎn)套利利機(jī)會(huì)。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.128布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1從該例子可可以看出，，在確定期期權(quán)價(jià)值時(shí)時(shí)，我們并并不需要知知道股票價(jià)價(jià)格上漲到到11元的概率和和下降到9元的概率。。但這并不不意味著概概率可以隨隨心所欲地地給定。事事實(shí)上，只只要股票的的預(yù)期收益益率給定，，股票上升升和下降的的概率也就就確定了。。例如，在在風(fēng)險(xiǎn)中性性世界中，，無風(fēng)險(xiǎn)利利率為10%，則股票上上升的概率率P可以通過下下式來求：：P=62.66%。29布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1又如，如果果在現(xiàn)實(shí)世世界中股票票的預(yù)期收收益率為15%，則股票的的上升概率率可以通過過下式來求求：P=69.11%?？梢?，投資資者厭惡風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)程度決決定了股票票的預(yù)期收收益率，而而股票的預(yù)預(yù)期收益率率決定了股股票升跌的的概率。然然而，無論論投資者厭厭惡風(fēng)險(xiǎn)程程度如何，，從而無論論該股票上上升或下降降的概率如如何，該期期權(quán)的價(jià)值值都等于0.31元。30布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.2在風(fēng)險(xiǎn)中性性的條件下下，無收益益資產(chǎn)歐式式看漲期權(quán)權(quán)到期時(shí)（（T時(shí)刻）的期期望值為：：其中，表示風(fēng)險(xiǎn)中中性條件下下的期望值值。根據(jù)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中性定定價(jià)原理，歐式看漲期權(quán)權(quán)的價(jià)格c等于將此期期望值按無無風(fēng)險(xiǎn)利率率進(jìn)行貼現(xiàn)后的的現(xiàn)值，即即：31布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.2對右右邊求值是是一種積分分過程，結(jié)結(jié)果為：N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布變變量的累計(jì)計(jì)概率分布布函數(shù)(即這個(gè)變量量小于x的概率)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)分布布函數(shù)特性性，我們有有。。這就是無收收益資產(chǎn)歐歐式看漲期期權(quán)的定價(jià)價(jià)公式。323334布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.235布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.236布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.237布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.2無收益資產(chǎn)產(chǎn)的歐式看看跌期權(quán)的的定價(jià)公式式根據(jù)歐式看看漲期權(quán)和和看跌期權(quán)權(quán)之間存在在平價(jià)關(guān)系系，可以得得到無收益益資產(chǎn)歐式式看跌期權(quán)權(quán)的定價(jià)公公式：38布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.2無收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)美美式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)的的定定價(jià)價(jià)公公式式在標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)無無收收益益情情況況下下，，美美式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)提提前前執(zhí)執(zhí)行行是是不不合合理理的的，，因因此此C=c，無無收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)美美式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)的的定定價(jià)價(jià)公公式式同同樣樣是是：：39布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.3有收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)的的歐歐式式期期權(quán)權(quán)的的定定價(jià)價(jià)公公式式對于于有有收收益益標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)的的歐歐式式期期權(quán)權(quán)，，在在收收益益已已知知情情況況下下，，我我們們可可以以把把標(biāo)標(biāo)的的證證券券價(jià)價(jià)格格分分解解成成兩兩部部分分：：期期權(quán)權(quán)有有效效期期內(nèi)內(nèi)已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益的的現(xiàn)現(xiàn)值值部部分分和和一一個(gè)個(gè)有有風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)部部分分。。當(dāng)當(dāng)期期權(quán)權(quán)到到期期時(shí)時(shí)，，這這部部分分現(xiàn)現(xiàn)值值將將由由于于標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)支支付付現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益而而消消失失。。因因此此，，我我們們只只要要用用S表示示有有風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)部部分分的的證證券券價(jià)價(jià)格格。。σ表示示風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)部部分分遵遵循循隨隨機(jī)機(jī)過過程程的的波波動(dòng)動(dòng)率率，，就就可可直直接接套用用公公式式:分別別計(jì)計(jì)算算出出有有收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)的的歐歐式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)和和看看跌跌期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)值值。。40因此此，，當(dāng)當(dāng)標(biāo)標(biāo)的的證證券券已已知知收收益益的的現(xiàn)現(xiàn)值值為為I時(shí)，，我我們們只只要要用用（S－I）代替替S即可可求求出出固固定定收收益益證證券券歐歐式式看看漲漲和和看看跌跌期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)格格。。當(dāng)標(biāo)標(biāo)的的證證券券的的收收益益為為按按連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利計(jì)計(jì)算算的的固固定定收收益益率率q（單單位位為為年年））時(shí)時(shí)，，我我們們只只要要將將代替替S就可可求求出出支支付付連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利收收益益率率證券券的的歐歐式式看看漲漲和和看看跌跌期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)格格。。一般般來來說說，，期期貨貨期期權(quán)權(quán)、、股股指指期期權(quán)權(quán)和和外外匯匯期期權(quán)權(quán)都都可可以以看看作作標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)支支付付連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利收收益益率率的的期期權(quán)權(quán)。。其其中中，，歐歐式式期期貨貨期期權(quán)權(quán)可可以以看看作作一一個(gè)個(gè)支支付付連連續(xù)續(xù)紅紅利利率率為為r的資資產(chǎn)產(chǎn)的的歐歐式式期期權(quán)權(quán)；；股股指指期期權(quán)權(quán)則則是是以以市市場場平平均均股股利利支支付付率率為為收收益益率率，，外外匯匯期期權(quán)權(quán)標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)的的連連續(xù)續(xù)紅紅利利率率為為該該外外匯匯在在所所在在國國的的無無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利利率率。。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.341有收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)的的美美式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)的的定定價(jià)價(jià)當(dāng)標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)有有收收益益時(shí)時(shí)，，美美式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)就就有有提提前前執(zhí)執(zhí)行行的的可可能能，，因因此此有有收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)美美式式期期權(quán)權(quán)的的定定價(jià)價(jià)較較為為復(fù)復(fù)雜雜，，布布萊萊克克提提出出了了一一種種近近似似處處理理方方法法。。該該方方法法是是先先確確定定提提前前執(zhí)執(zhí)行行美美式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)是是否否合合理理，，若若不不合合理理，，則則按按歐歐式式期期權(quán)權(quán)處處理理；；若若在在提前前執(zhí)執(zhí)行行可可能能是是合合理理價(jià)格格，，然然后后將將二二者者之之中中的的較較大大者者作作為為美美式式期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)格格。。在大大多多數(shù)數(shù)情情況況下下，，這這種種近近似似效效果果都都不不錯(cuò)錯(cuò)。。時(shí)刻刻到到期期的的歐歐式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)的的的，則要分別別計(jì)算在T時(shí)刻和布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.342案例11.6假設(shè)一種1年期的美式股股票看漲期權(quán)權(quán)，標(biāo)的股票票在5個(gè)月和11個(gè)月后各有一一個(gè)除權(quán)日，，每個(gè)除權(quán)日日的紅利期望望值為1.0元，標(biāo)的股票票當(dāng)前的市價(jià)價(jià)為50元，期期權(quán)協(xié)協(xié)議價(jià)價(jià)格為為50元，標(biāo)標(biāo)的股股票波波動(dòng)率率為每每年30%，無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)連連續(xù)復(fù)復(fù)利年年利率率為10%，求該該期權(quán)權(quán)的價(jià)價(jià)值。。美式看看跌期期權(quán)的的定價(jià)價(jià)美式看看跌期期權(quán)無無論標(biāo)標(biāo)的資資產(chǎn)有有無收收益都都有提提前執(zhí)執(zhí)行的的可能能，而而且與與其對對應(yīng)的的看漲漲期權(quán)權(quán)也不不存在在精確確的平平價(jià)關(guān)關(guān)系，，因此此我們們一般般通過過數(shù)值值方法法來求求美式式看跌跌期權(quán)權(quán)的價(jià)價(jià)值。。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.344B-S-M期權(quán)定價(jià)公式的參數(shù)估計(jì)11.3.４我們已已經(jīng)知知道，，B-S-M期權(quán)定定價(jià)公公式中中的期期權(quán)價(jià)價(jià)格取取決于于下列列五個(gè)個(gè)參數(shù)數(shù)：標(biāo)標(biāo)的資資產(chǎn)市市場價(jià)價(jià)格、、執(zhí)行行價(jià)格格、到到期期期限、、無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利利率和和標(biāo)的的資產(chǎn)產(chǎn)價(jià)格格波動(dòng)動(dòng)率（（即標(biāo)標(biāo)的資資產(chǎn)收收益率率的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差）。。在這這些參參數(shù)當(dāng)當(dāng)中，，前三三個(gè)都都是很很容易易獲得得的確確定數(shù)數(shù)值。。但是是無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利利率和和標(biāo)的的資產(chǎn)產(chǎn)價(jià)格格波動(dòng)動(dòng)率則則需要要通過過一定定的計(jì)計(jì)算求求得估估計(jì)值值。45B-S-M期權(quán)定價(jià)公式的參數(shù)估計(jì)11.3.４（一））估計(jì)計(jì)無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利利率在發(fā)達(dá)達(dá)的金金融市市場上上，很很容易易獲得得無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利利率的的估計(jì)計(jì)值，，但在在實(shí)際際應(yīng)用用時(shí)仍仍然需需要注注意幾幾個(gè)問問題。。首先先，要要選擇擇正確確的利利率。。要注注意選選擇無無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)的即即期利利率（（即零零息票票債券券的到到期收收益率率），，而不不能選選擇附附息票票債券券的到到期收收益率率，并并且要要轉(zhuǎn)化化為連連續(xù)復(fù)復(fù)利的的形式式，才才可以以在B-S-M公式中中應(yīng)用用。一一般來來說，，在美美國人人們大大多選選擇美美國國國庫券券利率率作為為無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利利率的的估計(jì)計(jì)值，，在中中國過過去通通常使使用銀銀行存存款利利率，，現(xiàn)在在則可可以從從銀行行間債債券市市場的的價(jià)格格中確確定國國債即即期利利率作作為無無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率率。其其次，，要注注意選選擇利利率期期限。。如果果利率率期限限結(jié)構(gòu)構(gòu)曲線線傾斜斜嚴(yán)重重，那那么不不同到到期日日的收收益率率很可可能相相差很很大，，我們們必須須選擇擇距離離期權(quán)權(quán)到期期日最最近的的利率率作為為無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利利率。。46B-S-M期權(quán)定價(jià)公式的參數(shù)估計(jì)11.3.４（二））估計(jì)計(jì)標(biāo)的的資產(chǎn)產(chǎn)價(jià)格格的波波動(dòng)率率估計(jì)標(biāo)標(biāo)的資資產(chǎn)價(jià)價(jià)格的的波動(dòng)動(dòng)率要要比估估計(jì)無無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率困難得多多，也更為為重要。估估計(jì)標(biāo)的資資產(chǎn)價(jià)格波波動(dòng)率有兩種方方法：歷史史波動(dòng)率和和隱含波動(dòng)動(dòng)率。47B-S-M期權(quán)定價(jià)公式的參數(shù)估計(jì)11.3.４歷史波動(dòng)率率所謂歷史波波動(dòng)率就是是從標(biāo)的資資產(chǎn)價(jià)格的的歷史數(shù)據(jù)據(jù)中計(jì)算出出價(jià)格對數(shù)收益率的的標(biāo)準(zhǔn)差，，具體方法法一般有兩兩種，第一一種直接用用一般統(tǒng)計(jì)計(jì)方法計(jì)算樣本對對數(shù)收益率率標(biāo)準(zhǔn)差，，案例11.7以股票價(jià)格格為例給出出了這種方方法的一個(gè)簡簡單說明。。第二種則則包括廣義義自回歸條條件異方差差模型（GeneralizedAutoregressiveConditionalHeteroskedasticity，GARCH）、隨機(jī)波波動(dòng)率模型型等。隱含波動(dòng)率率資本市場具具有強(qiáng)大的的信息功能能。資本市市場上股票票價(jià)格、債債券價(jià)格、、期權(quán)價(jià)格格等都包含含了重要的的信息。在在現(xiàn)實(shí)中，，我們常常常已經(jīng)知道道了期權(quán)價(jià)價(jià)格，這時(shí)時(shí)我們就可可以利用期期權(quán)價(jià)格來來倒推出其其中隱含的的波動(dòng)率信信息。所謂謂的隱含波波動(dòng)率，即即根據(jù)B-S-M期權(quán)定價(jià)公公式，將公公式中除了了波動(dòng)率以以外的參數(shù)數(shù)和市場上上的期權(quán)報(bào)報(bào)價(jià)代入，，計(jì)算得到到的波動(dòng)率率數(shù)據(jù)，然然后用于其其它條件類類似的期權(quán)權(quán)定價(jià)、風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)管理等等。顯然，，這里計(jì)算算得到的波波動(dòng)率可以以看作是市市場對未來來波動(dòng)率的的預(yù)期。48造成用布萊萊克——舒爾斯期權(quán)權(quán)定價(jià)公式式估計(jì)的期期權(quán)價(jià)格與與市場價(jià)格格存在差異異的原因主主要有以下下幾個(gè)：計(jì)算錯(cuò)誤；；2.期權(quán)市場價(jià)價(jià)格偏離均均衡；3.使用錯(cuò)誤的的參數(shù)；4.布萊克——舒爾斯期權(quán)權(quán)定價(jià)公式式建立在眾眾多假定的的基礎(chǔ)上。。B-S-M期權(quán)定價(jià)公式的精確度評價(jià)與拓展11.４.１49B-S-M期權(quán)定價(jià)公式的精確度評價(jià)與拓展11.４.２B-S-M期權(quán)定價(jià)模模型拓展一、無交易易成本假設(shè)設(shè)的放松二、常數(shù)波波動(dòng)率假設(shè)設(shè)的放松三、參數(shù)假假設(shè)的放松松四、資產(chǎn)價(jià)價(jià)格連續(xù)變變動(dòng)假設(shè)的的放松50ＴＨＥＥＥＮＤ549、靜夜四無鄰鄰，荒居舊業(yè)業(yè)貧。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中中黃葉葉樹，，燈下下白頭頭人。。。01:28:5501:28:5501:281/6/20231:28:55AM11、以我獨(dú)沈久久，愧君相見見頻。。1月-2301:28:5501:28Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。01:28:5501:28:5501:28Friday,January6,202313、乍見翻疑夢夢，相悲各問問年。。1月-231月-2301:28:5501:28:55January6,202314、他他鄉(xiāng)鄉(xiāng)生生白白發(fā)發(fā)，，舊舊國國見見青青山山。。。。06一一月月20231:28:55上上午午01:28:551月月-2315、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。一月231:28上上午1月-2301:28January6,202316、行動(dòng)出出成果，，工作出出財(cái)富。。。2023/1/61:28:5501:28:5506January202317、做做前前，，能能夠夠環(huán)環(huán)視視四四周周；；做做時(shí)時(shí)，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿著著以以腳腳為為起起點(diǎn)點(diǎn)的的射射線線向向前前。。。。1:28:55上上午午1:28上上午午01:28:551月月-239、沒有失敗，，只有暫時(shí)停停止成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有結(jié)結(jié)果果，，但但是是不不努努力力卻卻什什么么改改變