概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)訓(xùn)01

實(shí)驗(yàn)一

隨機(jī)事件的模擬

問(wèn)題背景自然界中隨機(jī)現(xiàn)象是大量存在的，如果同類(lèi)的隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)，它的總體就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律，大量同類(lèi)隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來(lái)的集體規(guī)律性，叫做統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究大量同類(lèi)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。本實(shí)驗(yàn)旨在使學(xué)生利用Matlab模擬常見(jiàn)的隨機(jī)事件。實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c要求（1）學(xué)習(xí)和掌握Matlab的有關(guān)命令（2）了解均勻分布等各種隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

（3）理解掌握隨機(jī)模擬的方法.（4）體會(huì)頻率的穩(wěn)定性.（5）寫(xiě)出實(shí)驗(yàn)步驟、實(shí)驗(yàn)源代碼；實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)結(jié)果顯示及分析實(shí)驗(yàn)問(wèn)題

拋硬幣試驗(yàn)：拋擲次數(shù)為

.對(duì)于n=20,50,100,1000,10000各作5次試驗(yàn).觀察有沒(méi)有什么規(guī)律，有的話，是什么規(guī)律；浦豐投針實(shí)驗(yàn)：理解掌握浦豐投針實(shí)驗(yàn)原理，并利用浦豐投針估計(jì)pi值；隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生是概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是對(duì)各種樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。主要對(duì)針對(duì)常用的二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

實(shí)驗(yàn)原理與數(shù)學(xué)模型

1、假設(shè)硬幣是均勻的，由概率的定義知，出現(xiàn)正面的概率與出現(xiàn)反面概率都是0.5.所以我們可以利用計(jì)算機(jī)中的Matlab軟件來(lái)產(chǎn)生[0,1]上隨機(jī)數(shù)，若隨機(jī)數(shù)小于等于0.5就賦值為“正面”，否則，就賦值為“反面”.這樣，我們利用計(jì)算機(jī)就模擬了拋均勻硬幣的試驗(yàn).我們還可以利用Matlab軟件整理試驗(yàn)結(jié)果,從而發(fā)現(xiàn)試驗(yàn)結(jié)果與試驗(yàn)次數(shù)的關(guān)系，兩次相同的試驗(yàn)結(jié)果未必相同，多次試驗(yàn)結(jié)果的頻率具有穩(wěn)定性等規(guī)律。利用Matlab提供的相關(guān)函數(shù)產(chǎn)生各種常見(jiàn)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)。四、實(shí)驗(yàn)過(guò)程

在MATLAB中提供了一個(gè)在[0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)函數(shù)rand,其命令格式為：命令格式1：

rand(N)功能：返回一個(gè)

的隨機(jī)矩陣命令格式2：

rand(N,M)功能：返回一個(gè)

的隨機(jī)矩陣命令格式2：

rand(P1,P2,…,Pn)功能：返回一個(gè)

的隨機(jī)矩陣為了模擬硬幣出現(xiàn)正面或反面，規(guī)定隨機(jī)數(shù)小于0.5時(shí)為反面，否則為正面，可以用round（）函數(shù)將其變成0，1矩陣，然后將整個(gè)矩陣的各元素值加起來(lái)再除以總的原始個(gè)數(shù)即為出現(xiàn)正面的概率。round（）函數(shù)的命令格式為：命令格式：

round(x)功能：對(duì)向量或矩陣x的每個(gè)分量四舍五入取整?，F(xiàn)以連續(xù)擲10000次硬幣為例，重復(fù)做100次試驗(yàn)?zāi)M出現(xiàn)正面的概率。Matlab代碼如下：fori=1:100a(i)=sum(sum(round(rand(100))))/10000;endfmax=max(a)fmin=min(a)fave=mean(a)蒲豐投針試驗(yàn)

1777年,法國(guó)科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗(yàn)問(wèn)題.平面上畫(huà)有等距離為a(a>0)的一些平行直線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長(zhǎng)為b(b<a)的針,試求針與某一平行直線相交的概率.由投擲的任意性可知這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題.蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)投擲次數(shù)針長(zhǎng)時(shí)間試驗(yàn)者1、設(shè)置初始變量,如，投擲次數(shù)為n,針和直線相交的次數(shù)為m=0,平行線距離a,針的長(zhǎng)度b2、利用unifrnd(0,d/2,1,n);產(chǎn)生n個(gè)(0,d/2)之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，這里a/2是投針的中點(diǎn)到最近的平行線的距離3、利用unifrnd(0,pi,1,n);%產(chǎn)生n個(gè)(0,pi)之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，這里pi是投針到最近的平行線的角度4、滿足x小于l*sin(alpha(i))/2,則相交使得m+1;5、p=m/n;%計(jì)算相交的頻率，即相交次數(shù)比總次數(shù)6、pi=2*l/(d*p)%從相交的頻率總求pi的值算法%設(shè)投針次數(shù)為n，針和直線相交的次數(shù)為m%根據(jù)原理分析知道，針和直線相交的概率為p=2b/（a*pi）%所以有pi=2bn/amclearall;clca=1;%設(shè)置兩條平行線之間的距離，b=0.6;%投針的長(zhǎng)度(b<a)n=1000000;%n為投針的次數(shù)x=unifrnd(0,a/2,1,n);%產(chǎn)生n個(gè)(0,a/2）之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，這里a/2是投針的中點(diǎn)到最近平行線的距離alpha=unifrnd(0,pi,1,n);%產(chǎn)生n個(gè)(0,pi)之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，這里pi是投針到最近的平行線的角度m=0;%記針與平行線相交的次數(shù)的初始值為0fori=1:nifx(i)<b*sin(alpha(i))/2%只要x小于b*sina(alpha(i))/2,則相交

m=m+1;endendp=m/n%計(jì)算相交的頻率，即相交次數(shù)比總次數(shù)pi=2*b/(a*p)%從相交的頻率求出pi的值二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)據(jù)的產(chǎn)生R=binornd(n,p);該函數(shù)中n,p為二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù)，返回一個(gè)二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)R=binornd(n,p,m);該函數(shù)中M為指定隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)，與返回結(jié)果R同維數(shù)例如r=binornd(10,0.5)r1=binornd(10,0.5,5)r2=binornd(10,0.5,3,4)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生泊松分布隨機(jī)數(shù)據(jù)R=poissrnd(lambda)返回服從參數(shù)為lambda的泊松分布隨機(jī)數(shù)R=poissrnd(lambda,m,n)返回服從參數(shù)lambda的泊松分布隨機(jī)數(shù)m*n矩陣R1=poissrnd(8)R2=poissrnd(8,4,6)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)據(jù)的產(chǎn)生R=exprnd(mu),該函數(shù)返回一個(gè)mu為參數(shù)的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)，其中R和mu同維數(shù)R=exprnd(mu,m,n)，該函數(shù)返回一個(gè)mu為參數(shù)的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)矩陣，該矩陣大小為m*n例如：r1=exprnd(10)r2=exprnd(8,4)r3=exprnd(8,3,4)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生連續(xù)性均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生R=unifrnd(a,b)：返回區(qū)間[a,b]的連續(xù)型均勻分布R=unifrnd(a,b,m,n):返回區(qū)間[a,b]的連續(xù)型均勻分布矩陣；例如：R=unifrnd(1,3)R1=unifrnd(1,3,4)R2=unifrnd(1,3,4,6)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生離散型均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生R=unidrnd(N)：返回一個(gè)離散型均勻分布，R和N同維數(shù)R=unidrnd(N,MM,NN)返回一個(gè)離散型均勻分布矩陣，矩陣大小為MM*NN例如R=unidrnd(10)R1=unidrnd(8,4,4)R2=unidrnd(8,[4,4])隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生R=normrnd(mu,sigma)：返回均值為mu,標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)R=normrnd(mu,sigma,m):返回均值為mu,標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，m為隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)R=normrnd(mu,sigma,m,n):返回均值為mu,標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，m*n矩陣?yán)纾篟=normfrnd(1,3)R1=normrnd(1,3,4)R2=normfrnd(1,3,4,6)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生若事件B的發(fā)生會(huì)影響到事件A的發(fā)生，則事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱(chēng)為條件概率，條件的概率的計(jì)算公式為：

若事件A的發(fā)與事件B的發(fā)生與否沒(méi)有關(guān)系，即事件B發(fā)生與否不會(huì)影響到事件A的發(fā)生，反之亦然，則稱(chēng)事件A與事件B是相互獨(dú)立的，這時(shí)有：

條件概率、全概率公式例

袋中有10只球，其中白球7只，黑球3只。分有放回和無(wú)放回兩種情況，分三次取球，每次取一個(gè)，分別求：(1)第三次摸到了黑球的概率，(2)第三次才摸到黑球的概率，(3)三次都摸到了黑球的概率。首先討論當(dāng)有放回地摸球時(shí)，由于三次摸球互不影響，因此三次摸球相互獨(dú)立，從理論上可以求得：(1)第三次摸到黑球的概率為

；(2)第三次才摸到黑球的概率為

；(3)三次都摸到黑球的概率為總實(shí)驗(yàn)次數(shù)是1000000，分別計(jì)算實(shí)驗(yàn)進(jìn)行10,100,1000,10000,100000,1000000是三個(gè)問(wèn)題的概率進(jìn)行觀察和分析先模擬1000000組三次取球?qū)嶒?yàn)，記黑球?yàn)?，白球?yàn)?，round(rand(1000000,3)-0.2)，每一行代表一組實(shí)驗(yàn)；計(jì)算第三次取得黑球的概率

b=a(1:10^i,3);c(i)=sum(b)/(10^i);計(jì)算第三次才取得黑球的概率

b=(~a(1:10^i,1))&(~a(1:10^i,2))&a(1:10^i,3);d(i)=sum(b)/(10^i);計(jì)算三次都取得黑球的概率

b=a(1:10^i,1)&a(1:10^i,2)&a(1:10^i,3);e(i)=sum(b)/(10^i);分別實(shí)驗(yàn)次數(shù)在10,100,1000,10000,100000,1000000上述三個(gè)概率算法a=round(rand(1000000,3)-0.2);fori=1:6b=a(1:10^i,3);c(i)=sum(b)/(10^i);endcfori=1:6b=(~a(1:10^i,1))&(~a(1:10^i,2))&a(1:10^i,3);d(i)=sum(b)/(10^i);enddfori=1:6b=a(1:10^i,1)&a(1:10^i,2)&a(1:10^i,3);e(i)=sum(b)/(10^i);endec=0.30000.25000.30300.29930.30070.3006d=00.11000.14600.14730.14580.1470e=00.02000.02800.02630.02650.0271當(dāng)無(wú)放回地摸球時(shí),由于第二次摸球會(huì)受到第一次的影響,而第三次摸球又會(huì)受到前兩次的影響,因而三次摸球相互影響,并不獨(dú)立.從理論上可求得:第三次摸到黑球的概率為第三次才摸到黑球的概率為三次都摸到了黑球的概率為用計(jì)算機(jī)模擬該過(guò)程時(shí),在[0,1]區(qū)間模擬第一次摸球,當(dāng)值小于0.7時(shí)認(rèn)為摸到了白球,否則認(rèn)為摸到了黑球;第二次摸球時(shí)由于少了一個(gè)球,故可在區(qū)間長(zhǎng)度為0.9的區(qū)間上模擬,若第一次摸到白球,可將區(qū)間設(shè)為[0.1,1],否則區(qū)間設(shè)為[0,0.9];第三次摸球可依次類(lèi)推,其模擬程序如下:計(jì)算第三次取得黑球的概率

b=a(1:10^i,3);c(i)=sum(b)/(10^i);計(jì)算第三次才取得黑球的概率

b=(~a(1:10^i,1))&(~a(1:10^i,2))&a(1:10^i,3);d(i)=sum(b)/(10^i);計(jì)算三次都取得黑球的概率

b=a(1:10^i,1)&a(1:10^i,2)&a(1:10^i,3);e(i)=sum(b)/(10^i);分別實(shí)驗(yàn)次數(shù)在10,100,1000,10000,100000,1000000上述三個(gè)概率算法a=rand(1000000,3);a(:,1)=round(a(:,1)-0.2);a(:,2)=round(a(:,2)*0.9-0.2-0.1*(a(:,1)-1));a(:,3)=round(a(:,3)*0.8-0.2-0.1*(a(:,1)-1)-0.1*(a(:,2)-1));a=rand(1000000,3);a(:,1)=round(a(:,1)-0.2);a(:,2)=round(a(:,2)*0.9-0.2-0.1*(a(:,1)-1));a(:,3)=round(a(:,3)*0.8-0.2-0.1*(a(:,1)-1)-0.1*(a(:,2)-1));fori=1:6