第七章第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

一、平面的基本性質(zhì)及公理公理1：如果一條直線上的

在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．公理2：過(guò)

的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們

過(guò)該點(diǎn)的公共直線．公理4：(平行公理)平行于

的兩直線互相平行．兩個(gè)點(diǎn)不在同一直線上有且只有一條同一直線二、直線與直線的位置關(guān)系1．位置關(guān)系的分類(lèi)共面直線異面直線：不同在

一個(gè)平面任何相交直線平行直線如何判斷兩直線是異面直線？提示：①可以利用定義判斷兩直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi).②利用“過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線”去判斷.2．異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的

叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：

．銳角或直角位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)有

個(gè)公共點(diǎn)有且只有

個(gè)個(gè)公共點(diǎn)

公共點(diǎn)符號(hào)表示

圖形表示無(wú)數(shù)一沒(méi)有a?αa∩α＝Aa∥α三、直線與平面的位置關(guān)系四、兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩平面平行

公共點(diǎn)兩平面相交斜交有

個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上垂直有

個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上α∥βα∩β＝lα⊥β無(wú)無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)五、等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角

．相等或互補(bǔ)1．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是(

)A．異面B．平行

C．相交

D．以上都有可能解析：兩直線可相交、異面或平行，選D.答案：D2．若直線a∥b，b∩c＝A，則直線a與c的位置關(guān)系是(

)A．異面

B．相交

C．平行

D．異面或相交解析：因?yàn)閍∥b，b∩c＝A，所以由公理4知a與c一定不平行，故選D.答案：D3．如圖，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，且是所在

棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是(

)解析：A中PQ∥RS，B中RS∥PQ，D中RS和PQ相交．答案：C4．三條直線兩兩相交，可以確定________個(gè)平面．答案：1或35．對(duì)于空間三條直線，有下列四個(gè)條件：①三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)；②三條直線兩兩平行；③三條直線共點(diǎn)；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．其中，使三條直線共面的充分條件有________．解析：①中兩直線相交確定平面，則第三條直線在這個(gè)平面內(nèi)．②中可能有直線和平面平行．③中直線最多可確定3個(gè)平面．④同①.答案：①④1．空間兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交或異面，利用

它們?nèi)ヅ袛嗝}時(shí)要注意否定一種，另外兩種都有成立的

可能，如兩直線不相交，則兩直線平行或異面．2．對(duì)于兩直線垂直，要注意兩直線可相交垂直也可以異面

垂直．一如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、AB的中點(diǎn)，試判斷下列各對(duì)線段所在直線的位置關(guān)系：(1)AB與CC1；(2)A1B1與DC；(3)A1C與D1B；(4)DC與BD1；(5)D1E與CF.【解】

(1)∵C∈平面ABCD，AB?平面ABCD，又C?AB，C1?平面ABCD，∴AB與CC1異面．(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.(3)∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，則A1、B、C、D1在同一平面內(nèi)．∴A1C與D1B相交．(4)∵B∈平面ABCD，DC?平面ABCD，又B?DC，D1?平面ABCD，∴DC與BD1異面．(5)如圖所示，CF與DA的延長(zhǎng)線交于G，連接D1G，∵AF∥DC，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，∴A為DG的中點(diǎn)．又AE∥DD1，∴GD1過(guò)AA1的中點(diǎn)E.∴直線D1E與CF相交．下列命題：（1）空間中不同的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；（2）有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合；（3）空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；（4）三角形是平面圖形；（5）平行四邊形，梯形，四邊形都是平面圖形；（6）兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形。其中正確的是__________3．直線a和b是兩條異面直線，點(diǎn)A、C在直線a上，點(diǎn)B、D在

直線b上，那么直線AB和CD一定是(

)A．平行直線

B．相交直線

C．異面直線

D．以上都可能解析：由異面直線定義可知AB、CD一定是異面直線(也可用反證法判斷)．答案：C對(duì)異面直線的定義的理解1．“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，指這兩條直線不能確定任何

一個(gè)平面，因此，異面直線既不相交，也不平行．2．不能把異面直線誤解為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線

為異面直線．如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)．問(wèn)：(1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由．(2)D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由．（1）可證得MN∥AC,故AM、CN共面;（2）利用反證法或定理法.【解】

(1)不是異面直線．理由：連接MN、A1C1、AC.∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，∴MN∥A1C1.又∵A1AC1C，∴A1ACC1為平行四邊形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線．(2)是異面直線．證明如下：∵ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，∴B、C、C1、D1不共面．假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴與ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體矛盾．∴假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線．2．若直線a與b是異面直線，b與c也是異面直線，則直線a與c

(

)A．平行B．異面

C．相交

D．以上都有可能解析：以正方體為例可判斷a、c可能相交、平行或異面．答案：D1．點(diǎn)共線問(wèn)題證明空間點(diǎn)共線問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)

平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平

面的交線上．2．線共點(diǎn)問(wèn)題證明空間三線共點(diǎn)問(wèn)題，先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再

證明第三條直線經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上．三3．證明點(diǎn)線共面的常用方法

(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在

此平面內(nèi)．

(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明

其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合．

例3.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、AB的中點(diǎn)求證:E,C,D1,F四點(diǎn)共面

CE,D1F,DA三線共點(diǎn)1．常用的解法．

(1)平移法：即選點(diǎn)平移其中一條或兩條使其轉(zhuǎn)化為平

面角問(wèn)題．

(2)補(bǔ)形法：即采用補(bǔ)形法作出平面角．

(3)向量法：建系利用向量的夾角求法求線線所成角．2．求異面直線所成的角的一般步驟．

(1)一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；

(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；

(3)三求：在三角形中求得直線所成的角的某個(gè)三角函數(shù)值．

(2009·大連模擬)如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)．(1)求異面直線AE和PB所成角的余弦值．(2)求三棱錐A－EBC的體積．(1)取BC的中點(diǎn)，平移PB可得角，然后利用余弦定理,求解.（2）VA-EBC=VE-ABC.【解】

(1)取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、AF，則EF∥PB，所以∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線AE和PB所成角．∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為(2)因?yàn)镋是PC中點(diǎn)，所以E到平面ABC的距離為PA=1，∴3．[理](2009·海淀模擬)如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，將△ABD沿對(duì)角線BD折起到△A′BD的位置，使點(diǎn)A′在平面BCD內(nèi)的射影點(diǎn)O恰好落在BC邊上，則異面直線A′B與CD所成角的大小為

.解析：如題圖所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得異面直線A′B與CD所成角的大小為90°.答案：90°1．空間兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交或異面，利用

它們?nèi)ヅ袛嗝}時(shí)要注意否定一種，另外兩種都有成立的

可能，如兩直線不相交，則兩直線平行或異面．2．對(duì)于兩直線垂直，要注意兩直線可相交垂直也可以異面

垂直．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、AB的中點(diǎn)，試判斷下列各對(duì)線段所在直線的位置關(guān)系：(1)AB與CC1；(2)A1B1與DC；(3)A1C與D1B；(4)DC與BD1；(5)D1E與CF.結(jié)合圖形，利用兩直線的位置關(guān)系可判定.【解】

(1)∵C∈平面ABCD，AB?平面ABCD，又C?AB，C1?平面ABCD，∴AB與CC1異面．(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.(3)∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，則A1、B、C、D1在同一平面內(nèi)．∴A1C與D1B相交．(4)∵B∈平面ABCD，DC?平面ABCD，又B?DC，D1?平面ABCD，∴DC與BD1異面．(5)如圖所示，CF與DA的延長(zhǎng)線交于G，連接D1G，∵AF∥DC，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，∴A為DG的中點(diǎn)．又AE∥DD1，∴GD1過(guò)AA1的中點(diǎn)E.∴直線D1E與CF相交．3．直線a和b是兩條異面直線，點(diǎn)A、C在直線a上，點(diǎn)B、D在

直線b上，那么直線AB和CD一定是(

)A．平行直線

B．相交直線

C．異面直線

D．以上都可能解析：由異面直線定義可知AB、CD一定是異面直線(也可用反證法判斷)．答案：C空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷或證明,除判定定理外,還要注意異面直線的判定與證明一般用反證法.在考查反證法的同時(shí)，又考查空間線面位置關(guān)系的應(yīng)用,值得注意.(2009·遼寧高考)如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)．(1)若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的長(zhǎng)；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．[解]

(1)取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)MG、NG.正方形ABCD、DCEF的邊長(zhǎng)為2，則MG⊥CD，MG＝2，NG＝因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.∴MG⊥NG，(2)證明：假設(shè)直線ME與BN共面，則AB?平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN.由已知，兩正方形不共面，故AB?平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF＝E矛盾，故假設(shè)不成立．所以ME與BN不共面，它們是異面直線．(1)不會(huì)利用平面ABCD⊥平面DCEF創(chuàng)建線線垂直，將所求MN放置于可解的直角三角形內(nèi)．(2)否定結(jié)論后，不會(huì)利用假設(shè)與線面平行的性質(zhì)導(dǎo)出AB∥EN，從而找不到矛盾所在．反證法證題的關(guān)鍵在于充分利用假設(shè)與條