第六章氣體動理論

普通物理解題方法研究溫州大學主講教師：季永運質(zhì)點（系）運動學剛體運動學熱學1.氣體狀態(tài)參量溫度反映物體冷熱程度的物理量，其高低反映內(nèi)部分子熱運動的劇烈程度。熱力學溫標(T:K)與攝氏溫標(t:℃)：

t=T-273.15體積V

氣體分子所能到達的空間。1dm3=1L壓強P氣體分子垂直作用于器壁單位面積上的力，是大量氣體分子與器壁碰撞的宏觀表現(xiàn)。760mmHg=1.01105Pa。§6-1狀態(tài)過程理想氣體

2.平衡態(tài)和平衡過程熱力學狀態(tài)平衡態(tài)非平衡態(tài)平衡態(tài)：在不受外界影響的條件下，系統(tǒng)宏觀性質(zhì)均勻一致、不隨時間變化的狀態(tài)，熱動平衡態(tài)。氣體狀態(tài)（P,V,T）就是指平衡態(tài)。狀態(tài)１到狀態(tài)２是一個狀態(tài)變化的過程。若此過程足夠緩慢，這個過程中每一狀態(tài)都可近似看作平衡態(tài)，則叫平衡過程。平衡態(tài)1非平衡態(tài)平衡態(tài)2狀態(tài)變化的過程非靜態(tài)過程

熱力學系統(tǒng)（大量微觀粒子組成的氣體、固體、液體）狀態(tài)隨時間變化的過程。

系統(tǒng)從平衡態(tài)1到平衡態(tài)2，經(jīng)過一個過程,平衡態(tài)1必首先被破壞，系統(tǒng)變?yōu)榉瞧胶鈶B(tài)，從非平衡態(tài)到新的平衡態(tài)所需的時間為弛豫時間。非靜態(tài)過程：當系統(tǒng)宏觀變化比弛豫更快時，這個過程中每一狀態(tài)都是非平衡態(tài)。平衡態(tài)和平衡過程平衡過程

當系統(tǒng)弛豫比宏觀變化快得多時，這個過程中每一狀態(tài)都可近似看作平衡態(tài)，該過程就可認為是平衡過程。

在過程中每一時刻，系統(tǒng)都處于平衡態(tài)，這是一種理想過程。u例1：外界對系統(tǒng)做功，過程無限緩慢，無摩擦。

非平衡態(tài)到平衡態(tài)的過渡時間，即弛豫時間，約10-3

秒，如果實際壓縮一次所用時間為1秒，就可以說是平衡過程。外界壓強總比系統(tǒng)壓強大一小量△P

，就可以緩慢壓縮。平衡態(tài)和平衡過程3.理想氣體狀態(tài)方程?！R定律PV=constant蓋—呂薩克定律V/T=constant查理定律P/T=constantT不變P不變V不變克拉伯龍方程PV=nRTPV/T=Rn=1molP0V等溫線根據(jù)狀態(tài)方程，系統(tǒng)的壓強、體積、溫度中任兩個量一定，就可確定系統(tǒng)的狀態(tài)，因此常用P-V圖中的一條曲線來表示系統(tǒng)的準靜態(tài)過程，曲線上任一點都表示氣體的一個平衡態(tài)，這種圖叫狀態(tài)圖。理想氣體狀態(tài)方程例題6-1某種柴油機的氣缸容積為0.82710-3m3。設壓縮前其中空氣的溫度47oC，壓強為

8.5104Pa。當活塞急劇上升時可把空氣壓縮到原體積的1/17，使壓強增加到4.2106Pa，求這時空氣的溫度。如把柴油噴入氣缸，將會發(fā)生怎樣的情況？（假設空氣可看作理想氣體。）解:本題只需考慮空氣的初狀態(tài)和末狀態(tài)，并且把空氣作為理想氣體。我們有理想氣體狀態(tài)方程

這一溫度已超過柴油的燃點，所以柴油噴入氣缸時就會立即燃燒，發(fā)生爆炸推動活塞作功。已知p1=8.5104Pa,p2=4.2106Pa,

T1=273K+47K=320K理想氣體狀態(tài)方程例題6-2

容器內(nèi)裝有氧氣，質(zhì)量為0.10kg，壓強為

10105Pa

，溫度為470C。因為容器漏氣，經(jīng)過若干時間后，壓強降到原來的5/8，溫度降到270C。問(1)容器的容積有多大？

(2)漏去了多少氧氣？求得容器的容積V

為解:(1)根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，理想氣體狀態(tài)方程所以漏去的氧氣的質(zhì)量為若漏氣若干時間之后，壓強減小到p，溫度降到T’。如果用M表示容器中剩余的氧氣的質(zhì)量，從狀態(tài)方程求得理想氣體狀態(tài)方程

例.一容器被中間的隔板分成相等的兩半.一半裝有氦氣，溫度為250K；另一半裝有氧氣，溫度為310K.二者壓強相等.求去掉隔板后兩種氣體混合后的溫度.解

設混合后溫度為T

，則總能量為：聯(lián)立求解可得

因為混合過程很快，所以混合過程中能量守恒，即E=E1+E2一般氣體分子熱運動的概念：分子的密度

31019

個分子/cm3=3千億個分子/cm3；分子之間有一定的間隙，有一定的作用力；分子熱運動的平均速度約v=500m/s

；分子的平均碰撞次數(shù)約z=1010

次/秒。布郎運動是雜亂運動的流體分子碰撞懸浮其中的微粒引起的?！?-2分子熱運動和統(tǒng)計規(guī)律分子熱運動：大量分子做永不停息的無規(guī)則運動。1.分子熱運動的基本特征

分子熱運動的基本特征是永恒的運動與頻繁的相互碰撞。它與機械運動有本質(zhì)的區(qū)別，故不能簡單應用力學定律來解決分子熱運動問題。(1)無序性

某個分子的運動，是雜亂無章的，無序的；各個分子之間的運動也不相同，即無序性；這正是熱運動與機械運動的本質(zhì)區(qū)別。(2)統(tǒng)計性

但從大量分子的整體的角度看，存在一定的統(tǒng)計規(guī)律，即統(tǒng)計性。例如：在平衡態(tài)下，氣體分子的空間分布（密度）是均勻的。（分子運動是永恒的）可作假設：氣體分子向各個方向運動的機會是均等的，或者說沿各個方向運動的平均分子數(shù)應相等且分子速度在各個方向的分量的統(tǒng)計平均值也相等。對大量分子體系的熱平衡態(tài)，它是成立的。分子熱運動的基本特征宏觀量：表征大量分子的整體特征的量。如溫度、壓強、熱容等，是實驗中能測得的量。微觀量：表征大量分子的整體中個別分子特征的物理量。如某個分子的質(zhì)量、速度、能量等在現(xiàn)代實驗條件下是不能直接測得的量。分子熱運動具有無序性與統(tǒng)計性，與機械運動有本質(zhì)的區(qū)別，故不能簡單應用力學定律來解決分子熱運動問題。必須兼顧兩種特征，應用統(tǒng)計方法。(3)統(tǒng)計方法分子熱運動的基本特征§6-3氣體動理論的壓強公式1.理想氣體微觀模型力學假設(1)氣體分子當作質(zhì)點，不占體積，體現(xiàn)氣態(tài)的特性。(2)氣體分子的運動遵從牛頓力學的規(guī)律；(3)分子之間除碰撞的瞬間外，無相互作用力，碰撞為彈性碰撞；一般情況下，忽略重力。大量分子組成的氣體系統(tǒng)的統(tǒng)計假設：—體積元（宏觀小，微觀大）（3）平衡態(tài)時分子的速度按方向的分布是各向均勻的。（1）分子的速度各不相同，而且通過碰撞不斷變化著；（2）平衡態(tài)時分子按位置的分布是均勻的，即分子數(shù)密度到處一樣，不受重力影響；理想氣體微觀模型把速率區(qū)間分為許多相等的小區(qū)間，統(tǒng)計每個小區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，就成了分子的速率分布。設總分子數(shù)，速率區(qū)間為

,該速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)，可定義一個函數(shù)：滿足速率在附近單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比例。2.速率分布函數(shù)3.壓強公式的簡單推導

器壁所受壓強等于大量分子在單位時間內(nèi)對其單位面積所施加的沖量。在時間內(nèi)第個分子施與A面的沖量為：

第i個分子連續(xù)兩次與A面碰撞的時間間隔為：

容器內(nèi)個分子在時間內(nèi)施與A面的沖量為：應用統(tǒng)計規(guī)律壓強公式的簡單推導據(jù)壓強定義面受到的壓強為：壓強公式的簡單推導應用統(tǒng)計規(guī)律壓強公式的簡單推導應用統(tǒng)計規(guī)律壓強公式的簡單推導§6-4理想氣體的溫度公式1.溫度的本質(zhì)和統(tǒng)計意義

根據(jù)理想氣體的壓強公式和狀態(tài)方程可導出宏觀量溫度T與有關微觀量的關系，從而揭示溫度的微觀實質(zhì)。

質(zhì)量為M的理想氣體，分子數(shù)為N

，分子質(zhì)量為m

，則有：1mol

氣體的分子數(shù)為N0

，則有

把它們代入理想氣體狀態(tài)方程：得到其中熱力學溫標或理想氣體溫標，單位：K理想氣體的溫度公式。溫度的本質(zhì)和統(tǒng)計意義溫度的統(tǒng)計意義宏觀量溫度微觀量平動動能統(tǒng)計平均值a.溫度實質(zhì)（統(tǒng)計概念）b.溫度反映大量分子熱運動的劇烈程度。熱運動劇烈程度反映大量分子溫度的本質(zhì)和統(tǒng)計意義

例題6-3

一容器內(nèi)裝有氣體，溫度為270C

問:（1）壓強為1.013105Pa時，在1m3中有多少個分子；

（2）在高真空時，壓強為1.3310-5Pa,

在1m3中有多少個分子?可以看到，兩者相差1010倍解（1）按公式p=nkT可知理想氣體的溫度公式例題6-4

試求氮氣分子的平均平動動能和方均根速率設（1）在溫度t=10000C時，（2）在溫度t=00C時，（3）在溫度t=-1500C時?（2）同理在溫度t=00C時解（1）在溫度t=10000C時溫度的本質(zhì)和統(tǒng)計意義（3）在溫度t=-1500C時溫度的本質(zhì)和統(tǒng)計意義例:解：（2）氧氣分子的質(zhì)量：（3）分子平均平動動能：（1）由可得到單位體積內(nèi)的分子數(shù)：一容器內(nèi)貯有氧氣，其壓強，溫度℃，求：（1）單位體積內(nèi)的分子數(shù)；（2）氧分子的質(zhì)量；（3）分子的平均平動動能。壓強不太大，溫度不太低，可視為理想氣體。溫度的本質(zhì)和統(tǒng)計意義§6-5能均分定理理想氣體的內(nèi)能1.自由度

確定一個物體的空間位置所需的獨立坐標數(shù)，常用i表示。自由度確定的方法：按分子結(jié)構(gòu)故單原子分子自由度為3（i=3），稱為平動自由度，如He、Ne等。(1)單原子分子可視為質(zhì)點，確定其空間位置需三個獨立坐標，1.自由度(2)剛性啞鈴型雙原子分子，確定其空間位置需分步進行：

首先確定一個質(zhì)點的位置需三個獨立坐標；

再確定兩原子連線的方位；方位角只有兩個獨立,故需兩個坐標確定其方位，實際上確定了分子的轉(zhuǎn)動狀態(tài)，稱為轉(zhuǎn)動自由度。可用其與三個坐標軸的夾角來確定，但剛性啞鈴型雙原子分子自由度為5（i=5）。自由度(3)剛性自由多原子分子，確定其空間位置需分步進行：

首先確定一個質(zhì)點的位置需三個獨立坐標；

再確定兩原子連線的方位需兩個獨立坐標；剛性自由多原子分子自由度為6（i=6）。

最后確定繞兩原子連線的轉(zhuǎn)動的角坐標，需一個獨立坐標；

一般地，由n個原子構(gòu)成的非剛性多原子分子，最多有i=3n個自由度，其中3平動自由度，3個轉(zhuǎn)動自由度，（3n-6）個振動自由度。自由度2.能量按自由度均分定理

椐理想氣體溫度公式，分子平均平動動能與溫度關系為

分子在每一個自由度上具有相等的平均平動動能，其大小等于。

上述結(jié)論可推廣到振動和轉(zhuǎn)動，得到能均分定理：

在溫度為T的平衡態(tài)下，物質(zhì)（氣體、液體、固體）分子的每一個自由度都具有相等的平均動能，其大小等于。

對于有t個平動自由度，s個振動自由度和r個轉(zhuǎn)動自由度的氣體分子，分子的平均總動能為上述三種運動動能之和：能量均分定理3.理想氣體的內(nèi)能內(nèi)能：熱力學系統(tǒng)的全部微觀粒子具有能量總和，包括大量分子熱運動的動能、分子間的勢能、分子內(nèi)原子內(nèi)及核內(nèi)的能量。這里特指前兩種，用E

表示。

對于剛性分子，不計分子間勢能，內(nèi)能僅包括所有分子的平均動能之和。

理想氣體內(nèi)能公式，對于剛性分子，不計分子間勢能，內(nèi)能僅是溫度的單值函數(shù)，與氣體的壓強、體積無關。例3.儲有氧氣（處于標準狀態(tài)）的容器以速率v=100m·s-1作定向運動,當容器突然停止運動時,全部定向運動的動能都變?yōu)闅怏w分子熱運動的動能,此時氣體的溫度和壓強為多少？解對于標準狀態(tài)有：1.麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布函數(shù)熱力學溫度單個分子的質(zhì)量玻爾茲曼常量麥克斯韋§6-6麥克斯韋速率分布律速率在附近單位速度區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例麥克斯韋速率分布曲線麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布曲線面積面積速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于區(qū)間內(nèi)的幾率。速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于區(qū)間內(nèi)的幾率。麥克斯韋速率分布律表示單位體積內(nèi)分布在速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。麥克斯韋速率分布律表示分布在速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。麥克斯韋速率分布律表示分布在單位體積內(nèi)，速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。麥克斯韋速率分布律表示速率在區(qū)間內(nèi)的分子的平均速率。麥克斯韋速率分布律2.氣體的三種統(tǒng)計速率速率分布函數(shù)中的極大值對應的分子速率。極值條件(1)最概然速率:最概然速率氣體的三種統(tǒng)計速率氣體分子速率的算術平均值。(2)平均速率：氣體的三種統(tǒng)計速率平均速率平均速率氣體的三種統(tǒng)計速率氣體分子速率平方的平均值的平方根。(3)方均根速率：氣體的三種統(tǒng)計速率方均根速率方均根速率氣體的三種統(tǒng)計速率三種速率均與,成反比，但三者有一個確定的比例關系。三種速率比較氣體的三種統(tǒng)計速率溫度越高，速率大的分子數(shù)越多同一氣體不同溫度下速率分布比較氣體的三種統(tǒng)計速率同一溫度下不同種氣體速率分布比較分子質(zhì)量越小，速率大的分子數(shù)越多。氣體的三種統(tǒng)計速率例.有N個粒子，其速率分布函數(shù)為：（1）作出速率分布曲線并求出常數(shù)a

；（2）分別求速率大于v0和小于v0的粒子數(shù)；（3）求粒子的平均速率.解（1）作出速率分布曲線如圖所示.根據(jù)速率分布函數(shù)的歸一化條件，有（2）速率大于v0的粒子數(shù)為速率小于v0的粒子數(shù)為（3）粒子的平均速率為例導體中共有N個自由電子。電子氣中電子的最大速率vF叫費米速率。電子的速率在v→v+dv的概率為:式中A為常量。(1)由歸一化條件求A；(2)證明電子氣中電子的平均動能此處EF叫做費米能。π>40AFNv2d=NdvNv>0v>Fvv35wm2()=12Fv35=FE結(jié)束目錄1=π4Av2dvNvò0=NdNòFFv331=π4ANFv33=π4ANπ>40AFNv2d=NdvNv>0v>Fvv解：(1)由歸一化條件：求得歸一化系數(shù)結(jié)束目錄=NdNfd()vv=m212vò0vFNdNwm2=12vm=12π4ANò0dvvFv4m=12π4AN15Fv5m=12π4N15Fv5Fv33π4N()=35m212vF()FE=35v2òf0d()=vvvFv2(2)平均平動動能為：結(jié)束目錄§6-7玻爾茲曼分布律重力場中粒子按高度分布1.玻爾茲曼分布律當分子處于保守力場時，麥克斯韋速率分布律中的指數(shù)項應以總能量代替動能，這樣在保守力場中分子的空間分布也不均勻。

玻爾茲曼計算得到系統(tǒng)在某一微小區(qū)域x-x+dx，y-y+dy，z-z+dz及vx-vx+dvx，vy-vy+dvy，vz-vz+dvz的分子數(shù)dN設Ep=0處分子數(shù)密度為n0玻爾茲曼

設氣體分子處于某一保守力場中，分子勢能為，則其分子數(shù)密度仍遵從上式。

在空間某一微小區(qū)域x-x+dx，y-y+dy，z-z+dz的分子數(shù)dN’

在保守力場中，分子總是優(yōu)先占據(jù)勢能較低的狀態(tài)。設Ep=0處分子數(shù)密度為n0，玻爾茲曼分布律2.重力場中氣體分子按高度分布重力場中考慮一豎直空氣柱，設Ep=0處分子數(shù)密度為n0，在Z處分子數(shù)密度為當大氣溫度均勻時，分子數(shù)密度隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減小。在同一高度重力場中氣體分子按高度分布的壓強隨高度的增加按指數(shù)規(guī)律減小。將分子數(shù)密度代入，得:設Z=0處分子數(shù)密度為P0，重力場中氣體重力場中氣體分子按高度分布恒溫氣壓公式（高度計）設溫度不隨高度變化

根據(jù)壓強變化測高度，實際溫度也隨高度變化，測大氣溫度有一定的范圍，是近似測量。由上式可得高度h為：重力場中氣體分子按高度分布§6-8分子平均碰撞次數(shù)平均自由程1.分子碰撞分子相互作用的過程。a.頻繁地與其他分子相碰撞，分子的實際運動路徑是曲折無規(guī)的。b.正是碰撞，使得氣體分子能量按自由度均分。c.在氣體由非平衡態(tài)過渡到平衡態(tài)中起關鍵作用。d.氣體速度按一定規(guī)律達到穩(wěn)定分布。e.利用分子碰撞，可探索分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)和運動規(guī)律。2.平均自由程平均碰撞頻率平均自由程：在一定的宏觀條件下，一個氣體分子在連續(xù)兩次碰撞間可能經(jīng)過的各段自由路程的平均值，用表示。平均碰撞頻率：在一定的宏觀條件下，一個氣體分子在單位時間內(nèi)受到的平均碰撞次數(shù)，用表示。若運動過程中，分子運動平均速度為則分子運動平均自由程為

設分子A以平均相對速率運動，其他分子不動，只有與分子A的中心距離小于或等于分子有效直徑d的分子才能與A相碰。

在時間內(nèi)，凡分子中心在以分子A運動軌跡為軸，半徑等于分子有效直徑d，長為的曲折圓柱體內(nèi)的分子均能與A相碰，設分子數(shù)密度為n，則碰撞頻率：平均自由程平均碰撞頻率說明：平均自由程與分子有效直徑的平方及單位體積內(nèi)的分子數(shù)成反比，與平均速率無關。

平均自由程與壓強成反比，當壓強很小,有可能大于容器線度，即分子很少與其它分子碰撞，不斷與器壁碰撞，其平均自由程即容器的線度。平均自由程平均碰撞頻率

解:按氣體分子算術平均速率公式算得按公式p=nkT可知單位體積中分子數(shù)為例題6-6求氫在標準狀態(tài)下，在1s內(nèi)分子的平均碰撞次數(shù)。已知氫分子的有效直徑為210-10m。平均自由程平均碰撞頻率即在標準狀態(tài)下，在1s

內(nèi)分子的平均碰撞次數(shù)約有80億次。因此平均自由程平均碰撞頻率即在標準狀態(tài)下，在1s內(nèi)分子的平均碰撞次數(shù)約有80億次。因此平均自由程平均碰撞頻率

最簡單的非平衡態(tài)問題：不受外界干擾時，系統(tǒng)自發(fā)地從非平衡態(tài)向物理性質(zhì)均勻的平衡態(tài)過渡過程--遷移現(xiàn)象。

系統(tǒng)各部分的物理性質(zhì)，如流速、溫度或密度不均勻時，系統(tǒng)處于非平衡態(tài)。

非平衡態(tài)問題是至今沒有完全解決的問題，理論只能處理一部分，另一部分問題還在研究中。

介紹三種遷移現(xiàn)象的基本規(guī)律：粘滯現(xiàn)象熱傳導現(xiàn)象擴散現(xiàn)象§6-9

氣體內(nèi)的遷移現(xiàn)象現(xiàn)象：A盤自由，B盤由電機

帶動而轉(zhuǎn)動，慢慢

A盤

也跟著轉(zhuǎn)動起來。解釋：B盤轉(zhuǎn)動因摩擦作用力帶

動周圍的空氣層，這層又

帶動鄰近層，直到帶動A盤。

這種相鄰的流體之間因速度不同，引起的相互作用力稱為內(nèi)摩擦力，或粘滯力。1.粘滯現(xiàn)象BA實驗證明：不同流層之間（EF

面處）粘滯力與流速梯度成正比，與EF

面積成正比，粘滯現(xiàn)象即：流速不均勻，沿

y變化（或有梯度）,流速梯度不同流層之間有粘滯力。xyu=u(y)

氣體動理論的觀點（微觀上）認為，這種粘滯力是動量傳遞的結(jié)果。

氣體既做整體運動,又做分子熱運動。

同一時間，平均來看，有等量的氣體分子從上、下兩個方向穿過P

面，這些分子既帶有熱運動的能量和動量，還帶有定向運動動量。

定向動量在垂直于流速的方向上向流速較小的氣層的凈遷移，這就是氣體粘性的起源。

由于上層分子動量大于下層，故上層定向動量減少，下層定向動量增加，類似摩擦力。粘滯現(xiàn)象2.熱傳導現(xiàn)象溫度不均勻就有熱傳導。

設沿

x方向溫度梯度最大，實驗指出，單位時間內(nèi)，通過垂直于x軸的某指定面?zhèn)鬟f的熱量與該處的溫度梯度成正比，與該面的面積成正比，即：

負號“-”表示熱從溫度高處向溫度低處傳遞，

為導熱系數(shù)。氣體動理論認為：a.溫度較高的熱層分子平均