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222020年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試(A卷)
參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明:評(píng)閱試卷時(shí),請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步驟正確,在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分,10分為一個(gè)檔次,不得增加其他中間檔次.一.(本題滿分4U分)如圖,在等腰屮,AB=BC,/為內(nèi)心,M為8/的屮點(diǎn),P為邊ACk一點(diǎn),滿足AP=3PC,/V延長(zhǎng)線上一點(diǎn)〃滿足M〃丄PH,0為△昇的外接圓上劣弧/IB的中點(diǎn).證明:BHLQH.證明:取MC的屮點(diǎn)N.由AP=3PC,可知P為NC的中點(diǎn).易知共線,^INC=90°.rh/為MBC的內(nèi)心,可知C7經(jīng)過點(diǎn)Q,且ZQ!B=4BC+OCB=AABl+AACQ=ZABl+ZABQ=乙QBI,又M為的中點(diǎn),所以QM丄進(jìn)而QM\\CN.10分考慮△//M0與'HIB.由于M/7丄/W,故Z.HMQ=90°-AHMI=AHIB.HMNP又乙IHM=ZZVP=90。,故^=——,于是HIN1HMNP\NC\MQMQ所以s△〃/〃,得ZHQM=AHB1?30分從而HMB.Q四點(diǎn)共圓.于是有ZBHQ=/BMQ=90°,即BH丄QH?40分二(本題滿分40分)給定整數(shù)n>3.設(shè)^",…,如咖婦…‘俎是4〃個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),滿足a{+勺HF=b{+6:HFb2?>0,且對(duì)任意i=l,2,???,2n,有叩心'?+b屮(這里$卄i=州,。2”十2=。2,$”十1=勺)?求坷+。2+…+“2"的最小值?解:記S=d]4-d24卜Q2n=by+b?4卜b2n?v不失一般性,設(shè)T=ax+a3da2n_!<—.當(dāng)巾=3時(shí),因?yàn)槭??刀畋-1=亍(坷一?)2+(碼一他)2+4—4])2>0,故結(jié)合條件可知TOC\o"1-5"\h\zc-233冷之尸23?刀也嘰》?工(乩+俎)=3S?4k=\k=\又S>0,所以5>12.當(dāng)=2(1</<6)時(shí),S取到最小值12.10分當(dāng)77>4時(shí),一方面有y?6/2*-l6,2t4-l—刀(方21+婦)=s?k=\k=l另一方面,若〃為偶數(shù),則n卩2工叫-#2"1S(q+他+???+知-3)仗3+0+…+%-J5〒,其中第一個(gè)不等式是因?yàn)椋á?鳥+…+吆丿仏+為+…+知-)展開后每一項(xiàng)均非負(fù),且包含如Mz(lSkSn)這些項(xiàng),第二個(gè)不等式利用了基本不等式.20分若幷為奇數(shù),不妨設(shè)a,<a3,則”n—1^2如一1%十1S葉^a2n-\a3A=1*=1丿嚴(yán)S(e+他+…+42—)(偽+如“2”-3)5才從而總有S<^2a2ic_xa2k+l<—<—.又S>0,所以5>16.30分當(dāng)al=a2=dy=a4=4.ai=0(5</<2n)9勺=0,為=1
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