中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題：三角形壓軸訓(xùn)練（二）

中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題：三角形壓軸訓(xùn)練（二）1．已知△ACB和△EDB均為直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，直線AE與直線CD交于點(diǎn)M．（1）觀察猜想如圖①，當(dāng)∠ABC＝∠EBD＝45°時(shí)，段AE和CD的數(shù)量關(guān)系是；∠AMC＝°．（2）探究證明如圖②，當(dāng)∠ABC＝∠EBD＝30°時(shí)，線段AE和CD的數(shù)量關(guān)系是什么？∠AMC的度數(shù)又是多少？請(qǐng)說明理由．（3）拓展延伸在（2）的條件下，若BC＝9，BD＝6，將△EDB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)A、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C到直線AE的距離．2．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒cm的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度沿B→C→A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝1時(shí)，直接寫出P，Q兩點(diǎn)間的距離．（2）是否存在t，使得△BPQ的面積是△ABC面積的？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，求t的取值范圍．3．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為△ABC外一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)C位于直線AB異側(cè)，連接AP，∠APB＝45°，過點(diǎn)C作CD⊥PA，垂足為D．（1）當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，直接寫出線段AP與CD的數(shù)量關(guān)系為AP＝；（2）如圖，當(dāng)∠ABP＞90°時(shí)．①試探究（1）中的結(jié)論是否成立；②在線段AP上取一點(diǎn)K，使得∠ABK＝∠ACD，畫出圖形并直接寫出的值．4．如圖，等邊三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2.5cm/s的沿著折線A﹣B﹣C﹣A運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B﹣C﹣A運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)，P、Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，用t（s）表示移動(dòng)時(shí)間．（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示下列線段的長度：當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，QC＝；當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PC＝．（2）點(diǎn)P能否追上點(diǎn)Q？如果能，求出t值；如果不能，請(qǐng)說明理由．（3）點(diǎn)P，Q在三角形同一條邊上時(shí)，能否使得PQ＝PC，如果能，求出t值；如果不能，請(qǐng)說明理由．5．如圖1，△ABC是等邊三角形，D，E為AC上兩點(diǎn)，且AD＝CE，延長BC至點(diǎn)F，使CF＝CD，連結(jié)BD，EF．（1）如圖2，當(dāng)D，E兩點(diǎn)重合時(shí)，求證：BD＝DF；（2）如圖3，延長FE交線段BD于點(diǎn)G．①求證：BD＝EF；②求∠DGE的度數(shù)．6．如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6．D在線段BC上，從B到C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是邊BC，DE的中點(diǎn)．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，＝，直線BD與MN相交所成的銳角的度數(shù)為（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）；【解決問題】（2）若點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，上述結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由．【拓展探究】（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長，及CN的最小值．7．如圖，△ABC和△BDE均為等邊三角形，連接AE、CD．（1）求證：AE＝CD；（2）連接AD，分別取邊AD、CD、AE的中點(diǎn)F、G、H，連接FG、FH，設(shè)∠ABE＝α．①當(dāng)60°＜α＜180°時(shí)（如圖1），求證：∠CBE+∠GFH＝120°；②當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)（如圖2），①中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出正確結(jié)論，并說明理由．8．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CA邊以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜4），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上？（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．定義：到三角形兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)叫做此三角形的準(zhǔn)心．舉例：如圖1，若PA＝PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)心．（1）判斷：如圖2，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)P在AD上，則點(diǎn)P△ABC的準(zhǔn)心（填“是”或“不是”）；（2）應(yīng)用：如圖3，CD為正△ABC的高，準(zhǔn)心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度數(shù)；（3）探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC＝5，AB＝3，準(zhǔn)心P在AC邊上，試探究PA的長．10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（m，2），點(diǎn)B（3，n），C，D是y軸上兩點(diǎn)．（1）如圖1，△AOC和△ABD是等邊三角形，連接BC并延長交x軸于E，求CE的長；（2）如圖2，直線AC交x軸于E，∠DCA的平分線交直線OA于F，F(xiàn)D⊥y軸于D，交直線AC于G，若m＝2，請(qǐng)你寫出線段OD，EG與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若m＝1，n＝4，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．11．如圖，在等邊△ABC的AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于點(diǎn)O．（1）求證：AD＝BE；（2）若BO＝6OE＝，求CD的長．（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P在CE上從點(diǎn)C向終點(diǎn)E勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC上，連結(jié)OP，PQ，滿足∠OPQ＝60°，記PC為x，DQ的長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．12．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，D為Rt△ABC斜邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B及AB的中點(diǎn)重合），以CD為直角邊在CD右側(cè)作一個(gè)等腰Rt△CDE，連接BE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，則可得BC+BE＝DB，∠CBE＝°．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)給出正確的結(jié)論并說明理由．（3）當(dāng)BC＝2BE時(shí)，直接寫出AD的長．13．如圖，OC為∠AOB的角平分線，∠AOB＝α（0°＜α＜180°），點(diǎn)D為射線OA上一點(diǎn)，點(diǎn)M，N為射線OB上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且滿足MN＝OD，線段ON的垂直平分線交OC于點(diǎn)P，交OB于點(diǎn)Q，連接DP，MP．（1）如圖1，若α＝90°時(shí)，線段DP與線段MP的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，若α為任意角度時(shí)，（1）中的結(jié)論是否變化，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，若α＝60°時(shí)，連接DM，請(qǐng)直接寫出的最小值．14．如圖，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE，過E作ED⊥AC，交BC邊于點(diǎn)D．（1）如圖1，若，求S△AED；（2）如圖2，作∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)F，連接DF，若∠BDE＝∠CDF，求證：AE+DE＝BE；（3）如圖3，在（1）的條件下，M為AB邊的中點(diǎn)，G為AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MG，將△AMG沿MG翻折，得到△A'MG，連接A'D，以A'D為斜邊向右作等腰直角三角A'DN，連接CN，求CN的最小值．15．定義：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角α，β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個(gè)三角形為“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，