第六章 數(shù)字信號(hào)分析(I)-DFT與FFT

第六章數(shù)字信號(hào)分析（Ⅰ）——DFT與FFT●

計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展是數(shù)字信號(hào)分析的基礎(chǔ)。●

數(shù)字濾波優(yōu)于模擬濾波，（1）速度快，例如，采用數(shù)字信號(hào)分析技術(shù)對(duì)于1024采樣點(diǎn)進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換，僅需4～15μs，進(jìn)行FFT運(yùn)算須250ms，較快的只需數(shù)毫秒；一個(gè)蝶形FFT硬件運(yùn)算只需2μs。（2）分辨力高，在高頻段（50kHz)可達(dá)25Hz；在超低頻段可達(dá)0.0025Hz?！駭?shù)字信號(hào)分析一般包括：頻譜分析與數(shù)字濾波等主要內(nèi)容。前者又包含相關(guān)與統(tǒng)計(jì)分析等。第一節(jié)模擬信號(hào)離散化●

本章內(nèi)容：主要介紹離散Fourier變換與快速Fourier變換的基本原理及應(yīng)用。一、A/D與D/A轉(zhuǎn)換1、A/D轉(zhuǎn)換過(guò)程（1）采樣（或稱抽樣）連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)→離散采樣信號(hào)x(n△t)。

量化誤差呈等概率均勻分布，其概率密度函數(shù)p(R)=1/R，最大量化誤差為±0.5R，其均方差為（2）關(guān)于量化誤差問(wèn)題或量化增量R取決于A/D轉(zhuǎn)換器位數(shù)。例如，8位A/D，R=Vref/28。（3）編碼——將離散幅值經(jīng)過(guò)量化以后變?yōu)槎M(jìn)制數(shù)字D。信號(hào)幅值2、D/A轉(zhuǎn)換過(guò)程譯碼——把數(shù)字信號(hào)RD恢復(fù)為有限幅值A(chǔ)的過(guò)程，即

D/A轉(zhuǎn)換過(guò)程包括：譯碼與波形復(fù)原。波形復(fù)原——把離散幅值恢復(fù)為連續(xù)波形的過(guò)程，由保持電路實(shí)現(xiàn)。例如，零階保持與一階多角保持等。前者是在兩個(gè)采樣值之間，令輸出保持上一個(gè)采樣值的值；后者是在兩個(gè)采樣值之間，令輸出為兩個(gè)采樣值的線性插值。經(jīng)過(guò)保持變換構(gòu)成的信號(hào)存在不連續(xù)點(diǎn)，用模擬低通濾波器消除輸出波形的不連續(xù)點(diǎn)。

采樣過(guò)程——是通過(guò)采樣脈沖序列與連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)相乘來(lái)完成的。根據(jù)采樣脈沖序列的形狀，分為理想脈沖采樣與矩形脈沖采樣。二、采樣信號(hào)的Fourier變換1、時(shí)域采樣（1）理想脈沖采樣采樣脈沖序列：采樣信號(hào)：采樣信號(hào)頻譜沿頻率軸每隔一個(gè)采樣頻率ωs，重復(fù)出現(xiàn)一次，即頻譜產(chǎn)生周期延拓。幅值被Cn所加權(quán)，故頻譜形狀不變。（2）矩形脈沖采樣周期矩形脈沖序列的傅立葉變換：故有：可見(jiàn)：Xs(ω)是X(ω)在以ωs為周期的重復(fù)過(guò)程中，其幅值按sinc(nωsτ/2)規(guī)律變化的函數(shù)。2、頻域采樣采樣脈沖序列采樣間隔則有可見(jiàn)：若頻譜X(ω)被間隔為ω1的脈沖序列在頻域中采樣，則在時(shí)域中等效于x(t)以T1(=2π/ω1)為周期而重復(fù)。就是說(shuō)，周期信號(hào)的頻譜是離散的。根據(jù)因此，

上述分析證明：信號(hào)的時(shí)域與頻域呈采樣（離散）與重復(fù)（周期)關(guān)系。采樣定理：ωs≥2ωm或fs≥2fm。因?yàn)闀r(shí)域采樣間隔決定于fs，故又稱為時(shí)域采樣定理。三、采樣定理1、頻混現(xiàn)象F[xs(t)]為周期譜，其周期ωs=2π/Tsωs>2ωm,周期譜圖相互分離ωs<2ωm,周期譜圖相互重疊2、采樣頻率3、信號(hào)復(fù)原為了從Xs(ω)中無(wú)失真地選出X(ω)，用頻域矩形窗函數(shù)H(ω)與Xs(ω)相乘，得

實(shí)現(xiàn)方法：將采樣信號(hào)xs(t)通過(guò)傳遞函數(shù)為H(ω)的理想低通濾波器，則在濾波器輸出端可得到頻譜為X(ω)的連續(xù)信號(hào)x(t)。理想濾波器的H(ω)為：所以有：●連續(xù)信號(hào)可以展成正交采樣函數(shù)（sinc(t)型函數(shù)）的無(wú)窮級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的系數(shù)等于采樣值x(nTs)。也可以說(shuō)，若在采樣信號(hào)xs(t)的每個(gè)采樣值上畫(huà)一個(gè)峰值為x(nTs)的sinc(t)型函數(shù)波形，則合成波形就是x(t)。所以，若xs(t)通過(guò)理想低通濾波器時(shí)，每個(gè)采樣值產(chǎn)生一個(gè)脈沖響應(yīng)，這些響應(yīng)進(jìn)行疊加就得到x(t)，從而達(dá)到由xs(t)恢復(fù)x(t)的目的?！?/p>

為什么稱sinc(t)為內(nèi)插函數(shù)？所謂內(nèi)插是指從已知離散點(diǎn)的值，求在離散點(diǎn)之間另外一些點(diǎn)的值時(shí)，所采用的數(shù)學(xué)插值法。理論上講，對(duì)不在取樣時(shí)刻任意點(diǎn)的數(shù)值應(yīng)該是無(wú)限加權(quán)樣值的總和，但由于這里的內(nèi)插函數(shù)是衰減的，因此，實(shí)際上可由該點(diǎn)附近的一組有限值之和而得到良好的逼近。●當(dāng)ωs=2ωm，ωc=ωm，各個(gè)采樣的沖激響應(yīng)零點(diǎn)恰好落在采樣時(shí)刻上。就采樣點(diǎn)的數(shù)值而言，在這種情況下，各個(gè)沖激響應(yīng)互相不產(chǎn)生“串?dāng)_”?！裆鲜隼脼V波器由采樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)的方法，又稱為惠特克波形重構(gòu)法或理想內(nèi)插法。若x(t)是時(shí)域有限信號(hào)，并集中在-tm～tm的時(shí)間范圍內(nèi)。若在頻域中以不大于1/2tm的頻率間隔對(duì)X(ω)進(jìn)行采樣，則采樣信號(hào)X1(ω)可唯一地表示原信號(hào)。●柵欄效應(yīng)——頻域采樣后，只能獲得采樣點(diǎn)的頻率成分，其余的頻率成分一概被舍去。這猶如透過(guò)柵欄觀賞光景，只能看到一部分，就可能使一部分有用的頻率成分被漏掉，而丟掉了部分有用信息，此現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。4、頻域采樣定理第二節(jié)離散Fourier變換（DiscreteFourierTransform,DFT)●

DFT并非泛指對(duì)任意離散信號(hào)取傅里葉積分或傅里葉級(jí)數(shù)，而是專指適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算的FT。這是因?yàn)椋骸?/p>

DFT表達(dá)式的導(dǎo)出方法：

（1）從離散時(shí)間序列的Z變換基礎(chǔ)上導(dǎo)出，即有限長(zhǎng)序列的離散傅立葉變換可解釋為它的Z變換在單位圓上的采樣；原因：對(duì)x(t)進(jìn)行FT或IFT運(yùn)算時(shí)，無(wú)論在時(shí)域或在頻域，都需進(jìn)行包括(-∞,∞)區(qū)間的積分運(yùn)算。而要實(shí)現(xiàn)DFT，則必須做到：1）把連續(xù)信號(hào)（時(shí)域或頻域）改造為離散數(shù)據(jù)；2）把計(jì)算范圍收縮到一個(gè)有限區(qū)間；3）實(shí)現(xiàn)正、逆傅立葉變換運(yùn)算。

（2）把DFT作為連續(xù)信號(hào)傅立葉變換的一種特殊情況來(lái)導(dǎo)出。其物理概念較前者更清楚。一、離散Fourier變換關(guān)系式1、時(shí)域采樣2、時(shí)域截?cái)鄬?duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行DFT,一般包括時(shí)域采樣,時(shí)域截?cái)?頻域采樣三個(gè)步驟.

皺紋問(wèn)題：因矩形函數(shù)有突變階躍點(diǎn)，在時(shí)域截?cái)嗪螅从吃陬l域上產(chǎn)生皺紋。此即由于Gibbs現(xiàn)象產(chǎn)生的能量泄漏效應(yīng)。

★采樣信號(hào)經(jīng)過(guò)截?cái)嗵幚砗?，雖然在時(shí)域?yàn)橛邢揲L(zhǎng)的離散樣本，但頻域內(nèi)仍為連續(xù)函數(shù)，若實(shí)現(xiàn)逆變換，還必須改造頻域函數(shù)為有限離散值。3、頻域采樣采樣脈沖序列：令頻域采樣脈沖序列為δ1(f)，1）根據(jù)頻域采樣定理（f0≤1/2tm)，選取采樣間隔f0=1/T0(T0為時(shí)域截?cái)嘈盘?hào)分布區(qū)間，它相當(dāng)于2tm)。2）又根據(jù)FT的對(duì)稱性，對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)為：采樣信號(hào)：被δ1(f)采樣后的頻域采樣信號(hào)為：逆傅立葉變換表明：是周期為T(mén)0的離散函數(shù)，每個(gè)周期內(nèi)有N個(gè)離散點(diǎn)。δ函數(shù)的卷積)特性積分是在一個(gè)周期T0內(nèi)進(jìn)行，即r=0δ函數(shù)的篩選(積分)特性由于是周期函數(shù)，所以其傅立葉變換也是等間隔脈沖序列，即T0=NTs這表明：是

的傅立葉變換，在頻域內(nèi)（k區(qū)間(-∞,∞))是一個(gè)被Ck所加權(quán)的周期性離散脈沖序列，每一個(gè)周期內(nèi)有k=N個(gè)樣本點(diǎn)。

Ck表示頻譜中的一個(gè)周期內(nèi)N個(gè)采樣點(diǎn)的復(fù)數(shù)值，以下用X(kf0)來(lái)表示同理可證明X(kf0)的逆傅立葉變換：通常將上兩式寫(xiě)成：

這就是DFT，它通過(guò)連續(xù)FT，將N個(gè)時(shí)域采樣點(diǎn)與N個(gè)頻率采樣點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，是連續(xù)FT的一種特殊情況.

●此式物理意義是十分明確的，在變換過(guò)程中，都僅僅涉及到了處理區(qū)間(0≤n≤N-1;0≤k≤N-1)的N個(gè)x(n)和N個(gè)X(k)值。實(shí)質(zhì)上是表明了兩個(gè)N維矢量的相互線性變換（映射）。其中，x(n)可以分解為N個(gè)諧波復(fù)指數(shù)序列，每個(gè)諧波分量的頻率為f0或kf0，復(fù)振幅為(1/N)X(k)。同樣，X(k)被分解為N個(gè)復(fù)指數(shù)序列之和，每個(gè)分量的復(fù)振幅是x(n)，頻率是nf0。●實(shí)際信號(hào)x(n)在非處理區(qū)間，可能是零(時(shí)域有限信號(hào))，可能是周期的(周期信號(hào))，可能是非零、非周期的(隨機(jī)信號(hào))，甚至是不定的，但只要x(n)在所關(guān)心的處理區(qū)間是確定的，就可沿用上述DFT與IDFT關(guān)系。二、DFT與FT的關(guān)系DFT與FT之間是一個(gè)近似，因?yàn)镈FT需要采樣與截?cái)?。而近似的程度是被分析波形的函?shù)。1、頻域有限的周期信號(hào)，時(shí)域截?cái)嚅L(zhǎng)度等于周期時(shí)●時(shí)域截?cái)嗖ㄐ蔚腇T為X(f)*δ0(f)*U(f)，與X(f)相比，產(chǎn)生嚴(yán)重畸變?！癞?dāng)這一畸變圖形被δ1(f)采樣后[圖(g)]，畸變卻避免了。這是因?yàn)轭l域采樣脈沖的間隔為1/T0，在這些采樣頻率坐標(biāo)點(diǎn)1/T0,2/T0，…處，圖(e)中的實(shí)線除了在±1/T0點(diǎn)有數(shù)值外，其余點(diǎn)都是零。

●●x(t)經(jīng)采樣、截?cái)嗪蟮姆店P(guān)系設(shè)x(t)的時(shí)域幅值為A，★直接作FT變換以后頻域幅值為A/2。x(t)經(jīng)時(shí)域采樣、截?cái)嘣倬矸e以后([x(t)δ0(t)u(t)]*δ1(t))其幅值為AT0，不是原來(lái)的A。x(t)在頻域內(nèi)的X(f)經(jīng)過(guò)卷積及頻域采樣后([X(f)*δ0(f)*U(f)]δ1(f))其幅值為AT0/2Ts，也不是原來(lái)X(f)的A/2。因此，如果希望用DFT來(lái)計(jì)算FT，就必須對(duì)DFT的變換偶對(duì)間的常數(shù)因子作一些調(diào)整，即將離散時(shí)間函數(shù)乘以因子Ts/T0，這樣就得到頻率函數(shù)所要求的A/2的常數(shù)因子，所以:●以上分析表明，對(duì)頻域有限的周期信號(hào)，當(dāng)截?cái)嚅L(zhǎng)度等于其周期（或周期的整數(shù)倍）時(shí)，DFT與FT之間的差別僅僅是一個(gè)比例因子T0/Ts。因此，欲使DFT與FT等價(jià)，就必須：（1）時(shí)間函數(shù)x(t)是周期性的；（2）x(t)是頻域有限信號(hào)；（3）采樣頻率至少是x(t)的上限頻率的2倍；（4）截?cái)嗪瘮?shù)u(t)必須正好在x(t)的一個(gè)周期內(nèi)(或整數(shù)倍周期)是非零的.★更正2、頻域有限的周期信號(hào)，時(shí)域截?cái)嚅L(zhǎng)度不等于周期時(shí)

●時(shí)域內(nèi)：信號(hào)周期為T(mén)’0，截?cái)嚅L(zhǎng)度為T(mén)0，且T’0≠T0。頻域內(nèi)：X(f)*δ0(f)*U(f)，注意這個(gè)卷積圖形是頻率間隔為1/T’0的脈沖的卷積，而sinc(t)型函數(shù)的零點(diǎn)是1/T0,2/T0，…。卷積以后的疊加圖形在1/T0,2/T0，…等點(diǎn)處并不是零。這表明：由于截?cái)嗪蟮牟ㄐ尾皇侵芷诘恼麛?shù)倍，故其積分平均值不為零。當(dāng)這一波形被頻率間隔為1/T0的脈沖作頻率采樣以后，零點(diǎn)不再恰好與每個(gè)樣本點(diǎn)（脈沖采樣點(diǎn)）相重合，故引起DFT與FT之間的差異。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因解釋：從時(shí)域看，不按周期的整數(shù)倍對(duì)x(t)進(jìn)行采樣和截?cái)?，?huì)產(chǎn)生具有間斷點(diǎn)的周期函數(shù)(圖中(g))，這些劇烈變化，將在頻域中產(chǎn)生附加的頻率成分。從頻域看，時(shí)域截?cái)嗟刃в趕inc(t)型函數(shù)與X(f)的單個(gè)脈沖的卷積，結(jié)果頻率函數(shù)不再是一個(gè)脈沖，而是頻率的連續(xù)函數(shù)，在原來(lái)脈沖的位置上，這個(gè)連續(xù)函數(shù)具有局部最大值，還有一系列稱為旁瓣的峰值。這些旁瓣在頻域抽樣后就造成附加的頻率成分，這就是所謂泄漏效應(yīng)，因?yàn)闀r(shí)域中截?cái)嗍潜仨毜模孕孤┬?yīng)是DFT所固有的。3、時(shí)域有限而頻域無(wú)限信號(hào)

●這類信號(hào)在時(shí)域采樣后必然會(huì)產(chǎn)生頻混現(xiàn)象，因此采樣時(shí)間間隔的選擇必須使頻混現(xiàn)象減小到允許的限度以內(nèi)。

●如果對(duì)有限長(zhǎng)的波形進(jìn)行采樣，選擇的采樣點(diǎn)數(shù)N正好等于它的樣本點(diǎn)總數(shù)，則不必在時(shí)域進(jìn)行截?cái)?。截?cái)啾皇÷裕?jīng)時(shí)域采樣后的函數(shù)作傅立葉變換以后[圖(c)]，與頻域采樣脈沖δ1(f)相乘，這個(gè)乘積在時(shí)域等效于圖(c)和(d)所示的時(shí)間函數(shù)的卷積。最后所產(chǎn)生的波形是周期的，周期由原函數(shù)的N個(gè)樣本確定，所以它是原信號(hào)x(t)的復(fù)制品。這個(gè)周期函數(shù)的傅立葉變換即為圖(e)所示的頻域采樣后的波形。

●對(duì)于這類函數(shù)，如果選擇N等于時(shí)域有限信號(hào)的樣本點(diǎn)數(shù)，則誤差僅由頻混造成。如果選擇采樣間隔足夠小，就可以減少由頻混引起的誤差。因此，在這種情況下DFT與FT可很好的一致起來(lái)。(a)(b)(c)(d)(e)4、一般周期信號(hào)

●對(duì)于時(shí)域無(wú)限頻域無(wú)限的一般周期信號(hào)，采樣后存在著頻混效應(yīng)，如果選取截?cái)嗪瘮?shù)精確地等于周期的整數(shù)倍，那么將不產(chǎn)生泄漏效應(yīng)。這種情況下變換的誤差源主要是頻混效應(yīng)，若時(shí)域截?cái)嗖坏扔谥芷?，則產(chǎn)生泄漏效應(yīng).

●實(shí)際情況中所遇到的信號(hào)，往往既不是有限時(shí)間，也不是有限帶寬或周期性的信號(hào)。這類任意信號(hào)在作離散傅立葉變換中，存在著頻混和泄漏效應(yīng)。減小采樣間隔可以減小頻混效應(yīng)；改善截?cái)嗪瘮?shù)，即選擇合適的窗函數(shù)，可以減小或抑制泄漏現(xiàn)象。5、任意信號(hào)★可見(jiàn)，如果處理恰當(dāng)，在許多應(yīng)用中都可以用DFT來(lái)得到本質(zhì)上和FT等價(jià)的結(jié)果。其中，值得記住的一個(gè)重要概念是，DFT意味著在時(shí)域、頻域兩方面都周期化，而時(shí)域函數(shù)的N個(gè)樣本點(diǎn)則表示周期化以后所形成的新周期函數(shù)的一個(gè)周期?！镒詈髴?yīng)指出，DFT實(shí)際上是建立了函數(shù)x(t)的N個(gè)時(shí)間樣本點(diǎn)與N個(gè)頻率樣本點(diǎn)之間的互換關(guān)系，利用這一關(guān)系可從x(n)計(jì)算X(k)，也可以從X(k)計(jì)算x(n)。這種相互關(guān)系，在數(shù)據(jù)處理的數(shù)字量分析法中經(jīng)常遇到，例如，從數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)計(jì)算功率譜密度函數(shù)，也可以從功率譜密度函數(shù)計(jì)算相關(guān)函數(shù)。三、DFT的性質(zhì)（與連續(xù)傅立葉變換的性質(zhì)類同）1、線性2、時(shí)移特性有限長(zhǎng)序列x(n)的移位x(n)x(n)有限長(zhǎng)序列的圓移位(或循環(huán)移位)

●時(shí)移特性——若將x(t)沿時(shí)間軸位移t0，則其FT要乘以因子e-j2πft0，即與此類同，如果DFT[x(n)]=X(k)，則3、頻移特性DFT：若DFT[x(n)]=X(k)

則DFT[x(n)ej2πl(wèi)n/N]=X(k-l)

或

DFT[x(n)W-ln]=X(k-l)

FT：若F[x(t)]=X(f)

則F[x(t)ej2πf0t]=X[(f-f0)]

時(shí)間函數(shù)x(n)乘以指數(shù)項(xiàng)ej2πl(wèi)n/N，則DFT向右圓移l單位。4、離散卷積

依據(jù)運(yùn)算方式不同，可分為線卷積與圓卷積。（1）時(shí)域線卷積或已知x(n)和h(n)兩有限序列，卷積如圖示x(n)1234h(n)12344812163691224681234302011420114y(n)nnn（2）時(shí)域圓卷積用圓卷積方法計(jì)算上例，公式如下：y(n)=x(n)

*

h(n)圓卷積符號(hào)

可見(jiàn)，圓卷積與線卷積所得結(jié)果不同。這是因?yàn)榫€卷積過(guò)程中，經(jīng)反折再向右平移，在左端將依次留出空位。而圓卷積過(guò)程中，經(jīng)反折的圓移序列向右移去的樣值又從左端循環(huán)出現(xiàn)，這使得兩種情況下相乘疊加而得之?dāng)?shù)值不同。01234

為解決圓卷積與線卷積結(jié)果不同的問(wèn)題，將x(n)和h(n)都適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)一些零值，以擴(kuò)展其長(zhǎng)度。那么在作圓卷積時(shí)，向右移去的零值，從左端出現(xiàn)仍取零值，這樣就與線卷積的情況相同.補(bǔ)零擴(kuò)展的條件為：

x(n)的樣本點(diǎn)數(shù)h(n)的樣本點(diǎn)數(shù)432121000438300000432110004324000000432132100041262000043210432100012620004321004321000830004321432100016941000432100043210004000x(m)x(m)x(m)x(m)x(m)x(m)x(m)h(0-m)h(1-m)h(2-m)h(3-m)h(4-m)h(5-m)h(6-m)411411202030●若選取的L不夠長(zhǎng)，圓卷積將首尾交疊混淆，其結(jié)果與線卷積不一致（這可看做是一種混疊現(xiàn)象）。取L≥N1+N2-1，可避免這一現(xiàn)象?！?/p>

圓卷積可利用快速傅立葉變換技術(shù)，實(shí)現(xiàn)快速卷積。因此，對(duì)于有限長(zhǎng)序列求線卷積的問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為圓卷積來(lái)求解，以便利用快速傅立葉變換技術(shù)。（3）離散時(shí)域卷積定理運(yùn)用這一定理，可對(duì)兩個(gè)時(shí)域周期序列x(n)與h(n)分別計(jì)算離散傅立葉變換，再將結(jié)果相乘，然后計(jì)算乘積的離散傅立葉逆變換，即可得兩個(gè)時(shí)域周期序列的卷積。這一定理為用快速傅立葉變換計(jì)算時(shí)域卷積提供了依據(jù)。（4）離散頻域卷積定理即兩個(gè)周期為N的時(shí)域周期采樣函數(shù)，它們的乘積的離散傅立葉變換等于它們的離散傅立葉變換的卷積。5、離散相關(guān)定理變換對(duì)稱為離散相關(guān)定理，即兩個(gè)周期為N的時(shí)域周期序列，它們的時(shí)域離散相關(guān)的離散傅立葉變換等于它們的離散傅立葉變換的乘積。運(yùn)用這個(gè)定理，可以等效地在頻域中確定相關(guān)性。連續(xù)函數(shù)時(shí)域卷積定理：離散時(shí)域卷積定理：6、巴什瓦定理對(duì)于離散信號(hào)，時(shí)域功率和頻域功率之間的關(guān)系，由下式給出：若x(n)為實(shí)序列第三節(jié)快速Fourier變換（FastFourierTransform,FFT)

●

FFT是一種減少DFT計(jì)算時(shí)間的算法。在FFT出現(xiàn)之前，雖然DFT為離散信號(hào)的分析從理論上提供了變換工具，但是很難實(shí)現(xiàn)，因?yàn)橛?jì)算時(shí)間很長(zhǎng)。例如，對(duì)采樣點(diǎn)N=1000，DFT算法運(yùn)算量約需200萬(wàn)次，而FFT僅約需1.5萬(wàn)次。

●

FFT方法于1965年由美國(guó)庫(kù)利-圖基(J.W.Cooley-J.W.Tukey)首先提出，曾被認(rèn)為是信號(hào)分析技術(shù)的劃時(shí)代的進(jìn)步。一、FFT算法的基本原理1、DFT的計(jì)算量N×N對(duì)稱方陣，Wnk=[Wnk]TN×N對(duì)稱方陣，W-nk=[W-nk]T計(jì)算量：每計(jì)算一個(gè)X(k)值，需進(jìn)行N次復(fù)數(shù)相乘和(N-1)次復(fù)數(shù)相加。當(dāng)計(jì)算X(0)，X(1)，…共N個(gè)X(k)值時(shí)，需要N2次復(fù)數(shù)相乘，N(N-1)次復(fù)數(shù)相加。矩陣[W]與[x(n)]相乘過(guò)程中存在不必要的重復(fù)運(yùn)算，這是簡(jiǎn)化運(yùn)算的關(guān)鍵.以N=4為例討論如下：分析：（1）不必要的計(jì)算①W0=1，②

WN/2=[e-j2π/N]N/2=-1①

Wnk的周期性，即Wnk=Wn(k+N)=Wk(n+N)，當(dāng)N=4，有W2=W6，W1=W9等（2）可利用的特性②

Wnk的對(duì)稱性，即W(nk+N/2)=-Wnk，當(dāng)N=4，有W3=-W1，W2=-W0等原計(jì)算式周期性簡(jiǎn)化對(duì)稱性簡(jiǎn)化這就是庫(kù)利-圖基FFT算法的基本思想。

2、減小運(yùn)算工作量的途徑

FFT算法有多種變型，其算法很多，但每種變型的建立，多是考慮了被分析數(shù)據(jù)的特性，或者利用計(jì)算機(jī)特性，或者利用專用計(jì)算機(jī)FFT硬件特性等。本節(jié)以基2FFT算法作為討論的起點(diǎn)，因?yàn)樗薋FT算法的基本要素，運(yùn)算過(guò)程比較單純，適于人們學(xué)習(xí)。3、FFT計(jì)算方法

●基2算法設(shè)一個(gè)點(diǎn)序列x(n)，要求采樣點(diǎn)數(shù)N=2M，M為正整數(shù)。

●基2算法的出發(fā)點(diǎn)把N點(diǎn)DFT運(yùn)算分解為兩組N/2點(diǎn)的DFT運(yùn)算，即把x(n)按n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分解為兩部分。將x(n)的DFT計(jì)算分為奇、偶兩部分以2r表示偶數(shù)n，2r+1表示奇數(shù)n，r=0,1,2,…,(N/2-1)一個(gè)N點(diǎn)的DFT被分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT

●必須注意

G(k)和H(k)只有N/2個(gè)點(diǎn)，k=0,1,2,…,N/2-1。而X(k)卻需要N個(gè)點(diǎn)，k=0,1,2,…,N-1。如果以G(k)和H(k)表達(dá)全部X(k)，應(yīng)利用G(k)和H(k)的兩個(gè)重復(fù)周期，由周期性可知●加權(quán)系數(shù)WkN為：●計(jì)算X(k)的全部關(guān)系式：G(k)和H(k)可分別看成是序列x(2r)與x(2r+1)的N/2點(diǎn)DFT

此式表明，一個(gè)N點(diǎn)的DFT可分解成兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT

●采用蝶形流程圖，以N=4為例，說(shuō)明上式的計(jì)算過(guò)程。由G(0),G(1),H(0),H(1)計(jì)算X(0),X(1),X(2),X(3)蝴蝶結(jié)

一個(gè)蝴蝶結(jié)包括兩次復(fù)數(shù)乘法，兩次復(fù)數(shù)加法，但其中有重復(fù)。H(0)與W04相乘以及與-W04相乘可以改成只與W04相乘，再分別加減，這樣就使運(yùn)算量減少至只有一次復(fù)數(shù)乘法和兩次復(fù)數(shù)加(減)法。同理，用第二個(gè)蝴蝶結(jié)計(jì)算X(1)和X(3)，也只有一次乘法，兩次加(減)法。這樣，由G(k)和H(k)計(jì)算X(k)的過(guò)程中，包含N/2個(gè)蝴蝶結(jié)運(yùn)算，共N/2次復(fù)數(shù)乘法，和N次復(fù)數(shù)加(減)法。●由x(0),x(1),x(2),x(3)計(jì)算G(0),G(1),H(0),H(1)時(shí)的計(jì)算量矩陣表示W(wǎng)12=e-j2π/2=-1=-W02實(shí)現(xiàn)N=4的FFT計(jì)算全過(guò)程，所需乘法運(yùn)算次數(shù)為2×N/2(4次)，加法運(yùn)算次數(shù)為2×N(8次)。顯然，這比用DFT直接計(jì)算所需(乘法N2=16，加法N(N-1)=12）運(yùn)算工作量大為減小。2次乘法，4次加減法●N=23=8的FFT計(jì)算量分三級(jí)蝶形運(yùn)算，每級(jí)需乘法N/2次，加法N次。全部運(yùn)算3×N/2=12次乘法，3×N=24次加法。而直接DFT運(yùn)算量N2=64次乘，N(N-1)=56次加。●N=2M的FFT計(jì)算量運(yùn)算分解為M級(jí)蝶形圖，每級(jí)包含N/2次乘，N次加，故算法的工作量為復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法●直接DFT與FFT算法所需乘法次數(shù)的比較。當(dāng)N=256，二者比值為64；當(dāng)N=1024，其比值為204.8二、FFT算法的應(yīng)用

FFT是實(shí)施DFT的一種快速算法，F(xiàn)FT的應(yīng)用實(shí)質(zhì)上是DFT的應(yīng)用。FFT可直接用來(lái)處理離散信號(hào)數(shù)據(jù),也可用于對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析的逼近?！緦?shí)例1】單邊指數(shù)函數(shù)的DFT函數(shù)傅立葉變換1、對(duì)連續(xù)時(shí)間變換的逼近FT圖DFT圖令β=1，a=1令β=1，a=1，利用DFT方法，按下列步驟得到離散變換圖：①時(shí)域采樣，設(shè)N=32，Ts=0.25，得到每點(diǎn)樣值x(nTs)；②計(jì)算

可見(jiàn)，DFT是FT的逼近，其實(shí)部是偶函數(shù)，在頻域k=N/2點(diǎn)對(duì)稱，在k>N/2時(shí)，代表了負(fù)頻率點(diǎn)處理的結(jié)果。而虛部為奇函數(shù)，k>N/2處是負(fù)頻率處理結(jié)果?！緦?shí)例2】方波的諧波分析將DFT用于方波的諧波分析，需要計(jì)算以得到各次諧波系數(shù)值。對(duì)方波在時(shí)域的采樣點(diǎn)數(shù)N=32。在k=N/2點(diǎn)處對(duì)稱?？梢钥闯?，低次諧波比較逼近，而高次諧波有誤差，這是由于頻率混疊效應(yīng)所致。雖然可以通過(guò)提高采樣頻率來(lái)減少這一現(xiàn)象，但不可能完全避免，因?yàn)橹芷诜讲闀r(shí)域無(wú)限、頻域無(wú)限信號(hào)。2、卷積運(yùn)算（1）快速卷積運(yùn)算過(guò)程長(zhǎng)度為N1的序列x(n)和長(zhǎng)度為N2的序列h(n)卷積，其結(jié)果y(n)長(zhǎng)度為N1+N2-1●卷積運(yùn)算中，每個(gè)x(n)的樣值必須與每個(gè)h(n)的樣值相乘，因此，共需要N1×N2次乘法運(yùn)算。

●如果把線卷積改為求圓卷積，并借助FFT技術(shù)，可減少運(yùn)算量?！窨焖倬矸e運(yùn)算過(guò)程實(shí)現(xiàn)快速卷積算法中，由于利用了DFT分析，即時(shí)域或頻域都是周期性的離散數(shù)據(jù)，當(dāng)對(duì)他們作卷積運(yùn)算時(shí)，將出現(xiàn)一種周期數(shù)據(jù)之間的疊帶求和現(xiàn)象，給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)一種所謂的環(huán)繞誤差。下面分析其產(chǎn)生原因和避免方法。第一步：利用FFT算法計(jì)算兩信號(hào)的DFT第二步：在各頻率點(diǎn)處兩信號(hào)的變換相乘第三步：運(yùn)用IFFT算法，計(jì)算變換式乘積的反變換

實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程共需兩次FFT和一次IFFT運(yùn)算（相當(dāng)于三次FFT運(yùn)算），此外，完成X(k)與H(k)兩序列相乘，需作N次乘法。在一般的有限沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器中，由h(n)求H(k)這一步是預(yù)先設(shè)計(jì)好的，數(shù)據(jù)已置于存貯器中，故實(shí)際只需兩次FFT的運(yùn)算量。如果假定N1=N2=N，則全部復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算次數(shù)為?？梢?jiàn)，隨N值增大，計(jì)算量顯著減少，故圓卷積的方案可以快速完成卷積運(yùn)算。（2）圓卷積的環(huán)繞誤差●環(huán)繞誤差產(chǎn)生原因

圖①為兩個(gè)非周期離散序列的卷積。采用直接線卷積或補(bǔ)零圓卷積方法很容易求得其計(jì)算結(jié)果[圖中(g)]。兩個(gè)非周期離散序列的卷積①兩個(gè)周期離散序列的圓卷積②

原因：當(dāng)采用DFT分析方法，上述兩個(gè)非周期離散信號(hào)被改造為時(shí)域、頻域相對(duì)應(yīng)的周期離散信號(hào)，導(dǎo)致卷積結(jié)果與圖①不同（見(jiàn)圖2）。主要區(qū)別：當(dāng)h(n-m)向右移動(dòng)時(shí)，h(n-m)另一周期的一部分進(jìn)入到求和區(qū)域，導(dǎo)致錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果，被稱為“環(huán)繞誤差”或“疊帶效應(yīng)”?！癖苊猸h(huán)繞誤差的方法

方法：對(duì)x(n)與h(n)分別在尾部填補(bǔ)N1(x(n)的樣點(diǎn)數(shù))與N2(h(n)的樣點(diǎn)數(shù)）零值點(diǎn)，即使其周期加倍。如果x(n)與h(n)的長(zhǎng)度相等，則都加長(zhǎng)N點(diǎn)。采用補(bǔ)點(diǎn)方法后所得計(jì)算結(jié)果如圖。

補(bǔ)點(diǎn)后的副作用：對(duì)x(n)與h(n)進(jìn)行補(bǔ)點(diǎn)后，避免了環(huán)繞誤差的同時(shí)，使的DFT(或FFT)算法所需容量加倍，在各DFT表示式中，必須用2N來(lái)代替N，在各函數(shù)的尾部補(bǔ)填足夠的零值使有效周期為2N，這就能夠?qū)蓚€(gè)含有N點(diǎn)的函數(shù)進(jìn)行正常的卷積運(yùn)算。兩個(gè)含有N點(diǎn)的非周期性函數(shù)的離散卷積給出一個(gè)具有2N-1點(diǎn)新函數(shù)，當(dāng)在原函數(shù)上填加N個(gè)零點(diǎn)后，所得圓卷積的周期為2N，比原來(lái)的非周期信號(hào)的卷積多一個(gè)點(diǎn)，每周內(nèi)多一個(gè)附加零點(diǎn)。如果這兩函數(shù)相當(dāng)靠近，但長(zhǎng)度不等，則首先將短函數(shù)的尾部補(bǔ)零使與長(zhǎng)函數(shù)的長(zhǎng)度相等，然后再補(bǔ)零到2N-1，這也即對(duì)較短信號(hào)補(bǔ)充的零點(diǎn)數(shù)總共超過(guò)了N個(gè)?？偨Y(jié)以上各點(diǎn)，快速卷積過(guò)程可按如下步驟進(jìn)行：（a）用補(bǔ)零法修正x(n)和h(n)，以避免環(huán)繞誤差的出現(xiàn)。（b）用FFT算法計(jì)算兩個(gè)修正后的函數(shù)的DFT，得到X(k)與H(k)（c）將X(k)與H(k)相乘，得到（d）利用FFT算法，計(jì)算出Y(k)的IDFT，即3、相關(guān)運(yùn)算相關(guān)函數(shù)的數(shù)字計(jì)算方法有時(shí)域直接計(jì)算與FFT快速算法。直接計(jì)算方法是依據(jù)下述定義進(jìn)行的，即互相關(guān)函數(shù)（在數(shù)字信號(hào)分析中，一般用符號(hào)r）自相關(guān)函數(shù)：這種計(jì)算方法與卷積運(yùn)算相類同（卷積多一個(gè)時(shí)間反折），也是一個(gè)乘、加序列，所需計(jì)算量很大?！锔锔?/p>

●相關(guān)函數(shù)的FFT算法，依據(jù)的是維納-辛欽關(guān)系，即自相關(guān)函數(shù)或互相關(guān)函數(shù)可以由功率譜密度或互譜密度函數(shù)來(lái)求得。

①這種方法是一種迂回的方法，但它比直接時(shí)域計(jì)算方法快5～100倍。

②當(dāng)運(yùn)用FFT方法計(jì)算相關(guān)函數(shù)時(shí)，也必須注意到環(huán)繞誤差的影響，它類似于圓卷積中的誤差。解決的方法也是對(duì)時(shí)間序列x(n)與y(n)補(bǔ)零擴(kuò)展。第一步：對(duì)x(n)和y(n)作FFT分析，得到復(fù)頻譜X(k)與Y(k)第二步：對(duì)X(k)與Y(k)作共軛乘積，得到或當(dāng)x(n)與y(n)相同時(shí)，得到自功率譜密度:

第三步：作IFFT分析，從功率譜密度獲得相關(guān)函數(shù)，即

★本節(jié)內(nèi)容：隨機(jī)信號(hào)的譜分析與譜估計(jì)技術(shù)，即對(duì)功率譜密度的傳統(tǒng)估計(jì)方法。

★DFT與FFT是信號(hào)處理的重要工具，尤其是DFT的基本概念與算法，為信號(hào)頻譜分析的各種應(yīng)用鋪平了道路。

★傳統(tǒng)譜分析方法，是基于Fourier變換的譜分析方法，包括相關(guān)函數(shù)法與周期圖法。第四節(jié)譜分析與譜估計(jì)

★

譜分析與譜估計(jì)在生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)研究中獲得了日益廣泛的應(yīng)用。【例1】在聲納系統(tǒng)中，通過(guò)對(duì)噪聲信號(hào)進(jìn)行譜分析，以判斷水面艦艇或潛艇的運(yùn)動(dòng)速度、方向、位置、大小等；【例2】對(duì)飛機(jī)、輪船、汽車(chē)、汽輪機(jī)、電機(jī)、機(jī)床等主體或部件進(jìn)行實(shí)際運(yùn)動(dòng)的譜分析，可以提供設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)和檢驗(yàn)設(shè)計(jì)效果，或者尋找振源和診斷故障。

1）相關(guān)函數(shù)法(又稱BT法)1958年由布萊克曼-圖基(Blackman-Tukey)提出。它是通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析，從時(shí)域上先求信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，再作Fourier變換，求得功率譜估計(jì)值。2）周期圖法它是直接將數(shù)據(jù)進(jìn)行Fourier變換，再取其幅度平方，得到信號(hào)的功率譜密度。此法是在1965年由Cooley-Tukey提出的FFT方法問(wèn)世以后，被用于譜估計(jì)。★特別注意一、周期圖法作功率譜估計(jì)

★自相關(guān)函數(shù)作為時(shí)移的函數(shù)是最能較完整地表征隨機(jī)信號(hào)的特定統(tǒng)計(jì)平均量值的。而隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度，正是自相關(guān)函數(shù)的Fourier變換。

★對(duì)于隨機(jī)信號(hào)而言，其自身的Fourier變換是不存在的，只能用功率譜密度來(lái)表征它的統(tǒng)計(jì)平均譜特性。根據(jù)相關(guān)定理與維納-辛欽關(guān)系式（參見(jiàn)圖2-5）易于證明隨機(jī)信號(hào)序列x(n)的功率譜密度：1)“泄漏”問(wèn)題以上兩種傳統(tǒng)方法本質(zhì)上是一樣的，都認(rèn)為“有限長(zhǎng)的數(shù)據(jù)段，可以看作是無(wú)限長(zhǎng)的取樣序列給予開(kāi)窗截?cái)嗪蟮慕Y(jié)果”。不論是數(shù)據(jù)開(kāi)窗，還是自相關(guān)函數(shù)開(kāi)窗，在頻率域內(nèi)都會(huì)發(fā)生“泄漏”現(xiàn)象，即功率譜主瓣內(nèi)的能量泄漏到旁瓣內(nèi)。這樣，弱信號(hào)的主瓣很容易被強(qiáng)信號(hào)的旁瓣所淹沒(méi)或歪曲，造成譜的模糊與失真。

2）所有旁瓣抑制技術(shù)，都是以損失譜分辨率為代價(jià)。3）在譜分析應(yīng)用中，頻率分辨率與低旁瓣一樣是個(gè)重要指標(biāo)，有時(shí)甚至更重要。因此，解決高分辨率與低旁瓣的矛盾是譜分析中的一個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題。

●

為什么叫周期圖法？

由于序列x(n)的離散傅里葉變換X(k)具有周期函數(shù)的性質(zhì)，故把它稱為長(zhǎng)度為N的實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)序列x(n)的周期圖。

●

周期圖法作譜估計(jì)時(shí)，存在的兩個(gè)主要問(wèn)題：功率譜密度的統(tǒng)計(jì)變異性和能量泄漏。前者是統(tǒng)計(jì)誤差，是由于在功率譜測(cè)量中收集到的數(shù)據(jù)數(shù)量有限，而引起的不確定度。后者是譜分析中所固有的，它將造成估計(jì)的偏度誤差。因此，實(shí)際應(yīng)用中對(duì)周期圖法進(jìn)行修改，以盡量減小估計(jì)誤差。其方法是：（1）采取平均化處理，以減少統(tǒng)計(jì)變異性；（2）采用窗處理，以減少泄漏。其估計(jì)值周期圖法計(jì)算功率譜密度流程

統(tǒng)計(jì)變異性產(chǎn)生原因——對(duì)于有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)的處理，由于數(shù)據(jù)的概率性質(zhì)，而產(chǎn)生了統(tǒng)計(jì)性誤差。二、平均化處理（以減少統(tǒng)計(jì)變異性）一般用變異系數(shù)（Coefficientofvariation，或稱為標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)偏差）來(lái)表征譜估計(jì)的變異性質(zhì)，其定義為譜估計(jì)的均方差均值當(dāng)用周期圖法作譜估計(jì)時(shí)，周期圖是一個(gè)復(fù)數(shù)，故而有可以證明，實(shí)部XR(k)與虛部XI(k)是等方差和零均值的兩個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量。由于Fourier變換是線性運(yùn)算，如果被分析數(shù)據(jù)x(n)是高斯分布，則XR(k)與XI(k)也是高斯隨機(jī)變量。|X(k)|2=X2R(k)+X2I(k)表明，譜估計(jì)值是兩個(gè)獨(dú)立高斯變量的平方和，它相當(dāng)于具有兩個(gè)自由度的卡埃平方(Chi-Square)分布.從概率統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，卡埃平方分布自由度為n的卡埃平方變量n為獨(dú)立變量數(shù)，即自由度

zi服從正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量1、譜估計(jì)的變異性變量χ2的均值和方差：變異系數(shù)

顯然，用式作譜估計(jì)時(shí)，相當(dāng)于具有自由度n=2（實(shí)部和虛部），其估計(jì)的變異系數(shù)εr=1。這表明估計(jì)的相對(duì)誤差達(dá)到100%，即估計(jì)的變異性和被估計(jì)量一樣大，這樣的估計(jì)是不合用的。為此可采用平均化處理方法來(lái)提高估計(jì)精度.平均周期圖的方法——是將序列x(n)分段，求各段周期圖，再進(jìn)行平均。2、平均化處理方法設(shè)序列x(n)[或x(t)]總體長(zhǎng)度為N（或T），將其分為q段，每段長(zhǎng)度為Nq（或Te），對(duì)每段數(shù)據(jù)Nq作譜估計(jì)，得到

，此時(shí)有如果各段頻率分量的實(shí)部XRj(k)與虛部XIj(k)是互為獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么有此時(shí)χ2分布的自由度n=2q。將各段估計(jì)譜在對(duì)應(yīng)的頻率上作q個(gè)估計(jì)量的平均，得

N此時(shí)變異系數(shù)為

●分析：對(duì)于連續(xù)隨機(jī)過(guò)程，樣本總體長(zhǎng)度為T(mén)(T=N△t)，△t為采樣間隔，分段長(zhǎng)度Te(T/q)，那么分析帶寬Be=1/Te，故有。這一關(guān)系式與模擬分析方法中所得到的結(jié)論是一致的，欲提高譜估計(jì)精度，必須同時(shí)考慮到樣本總體長(zhǎng)度T與頻率分析帶寬Be。三、窗口函數(shù)因不可能對(duì)無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)進(jìn)行分析，故必須截?cái)?。假定截?cái)鄥^(qū)間為(-T,T)，因?yàn)閷?duì)|τ|>T時(shí)的Rx(τ)值假定為零，所得到的估計(jì)譜為近似譜，即正弦信號(hào)的真譜與估計(jì)譜之間的關(guān)系1、真譜與估計(jì)譜根據(jù)維納-辛欽定理，理論譜密度的定義為：兩者間總是有誤差例如，正弦信號(hào)的真譜與估計(jì)譜之間的關(guān)系。估計(jì)譜是真譜與窗譜的卷積，即理想窗譜W(ω)應(yīng)為δ函數(shù)。此時(shí)估計(jì)譜與真譜完全相同。但要得到δ函數(shù)形窗譜，其時(shí)域窗口必然是無(wú)限寬，這不可能。實(shí)際窗口為有限寬，窗譜W(ω)為sinc(t)型函數(shù),故有主瓣能量泄漏到旁瓣.

2、窗函數(shù)★窗函數(shù)設(shè)計(jì)的目的——改善窗譜形狀。

★

窗函數(shù)的基本要求——窗譜的主瓣要窄且高，以提高分辨率；旁瓣應(yīng)小，正負(fù)交替接近相等，以減小泄漏或負(fù)譜現(xiàn)象。

★加窗的其他作用——可抑制噪聲，提高頻率辨識(shí)能力。例如，1）沖擊測(cè)量或脈沖激振時(shí)，實(shí)際有用信號(hào)延續(xù)時(shí)間很短。如果采樣時(shí)間較長(zhǎng)，可利用窗口控制，避免在余留樣本時(shí)間內(nèi)，無(wú)實(shí)際信號(hào)輸入時(shí)而有噪聲混入。2）在系統(tǒng)辨識(shí)中，小阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)衰減緩慢。如在較短時(shí)間內(nèi)截?cái)?，?huì)丟掉有用信息；若加指數(shù)窗口，使其增加衰減速度，既保留了有用信息，又可防止噪聲信號(hào)混入。★改善窗譜形狀的基本思想——改善截?cái)嗵幍牟贿B續(xù)狀態(tài)。Gibbs現(xiàn)象的研究已經(jīng)表明：時(shí)域內(nèi)的間斷，反映到頻域，必然發(fā)生振蕩現(xiàn)象；反之，頻域內(nèi)的間斷，反映到時(shí)域，也同樣發(fā)生振蕩現(xiàn)象。

1）冪窗：采用時(shí)間變量某種冪次的函數(shù)，如矩形、三角形、梯形或其他時(shí)間t的高次冪2）三角函數(shù)窗：應(yīng)用正弦或余弦函數(shù)等組合成復(fù)合函數(shù)，如漢寧窗、海明窗等3）指數(shù)窗：采用指數(shù)時(shí)間函數(shù)，如e-at，如高斯窗等★窗函數(shù)主要類型（1）矩形窗（時(shí)間變量的零次冪窗）

優(yōu)點(diǎn)是主瓣比較集中；缺點(diǎn)是旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣，導(dǎo)致變換中帶進(jìn)了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象。（2）三角窗（也稱費(fèi)杰（Fejer）窗，是冪窗的一次方形式）特點(diǎn)：主瓣寬約為矩形窗的兩倍，旁瓣小，且無(wú)負(fù)旁瓣（3）漢寧(Hanning)窗（又稱升余弦窗）漢寧窗w(t)●漢寧窗的譜窗為3個(gè)矩形窗的頻譜之和，即3個(gè)sinc(t)型函數(shù)之和。括號(hào)中的兩項(xiàng)相對(duì)于第一個(gè)譜窗向左、右各移動(dòng)了π/T，從而使旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能.

●漢寧窗與矩形窗的譜圖對(duì)比圖(a)為W(ω)－ω關(guān)系；圖(b)為相對(duì)幅度(相對(duì)于主瓣衰減)－logω關(guān)系。可以看出，漢寧窗主瓣加寬（第一個(gè)零點(diǎn)在2π/T處）并降低，旁瓣則顯著減小。第一個(gè)旁瓣衰減-32dB，而矩形窗第一個(gè)旁瓣衰減-13dB。此外，漢寧窗的旁瓣衰減速度也較快，約為60dB/10oct，而矩形窗為20dB/10oct。由以上比較可知，從減小泄漏觀點(diǎn)出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當(dāng)于分析帶寬加寬，頻率分辨力下降。octave——倍頻程（4）海明(Hamming)窗（也是余弦窗的一種，為改進(jìn)的升余弦窗）

海明窗與漢寧窗都是余弦窗，只是加權(quán)系數(shù)不同。海明窗的加權(quán)系數(shù)使旁瓣更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰減為-42dB。海明窗的頻譜也是由3個(gè)矩形時(shí)窗的頻譜合成，但其旁瓣衰減速度為20dB/10oct，比漢寧窗衰減速度(約為60dB/10oct)慢。（5）高斯窗（是一種指數(shù)窗）a為常數(shù)，決定了函數(shù)曲線衰減的快慢。適當(dāng)選取a值，可使截?cái)帱c(diǎn)（T為有限值）處的函數(shù)值比較小，則截?cái)嘣斐傻挠绊懢捅容^小。高斯窗譜無(wú)負(fù)的旁瓣，主瓣較寬，故頻率分辨力低。第一旁瓣衰減達(dá)-55dB。高斯窗函數(shù)常用來(lái)截?cái)嘁恍┓侵芷谛盘?hào)，如指數(shù)衰減信號(hào)等。

●除以上常用窗函數(shù)外，還有多種窗函數(shù)，如帕仁(Parzen)窗、布萊克曼(Blackman)窗、凱塞(Kaiser)窗等。●五種典型窗函數(shù)的性能特點(diǎn)

【例】矩形窗、三角窗、漢寧窗分析同一信號(hào)數(shù)據(jù)。(a)為被分析信號(hào)的真譜；(b)和(c)是用兩種時(shí)寬(T/2與T)的矩形窗分析的結(jié)果?？梢?jiàn)，時(shí)域窗口窄，分辨率低，相鄰的兩譜線不能分辨。(d)和(e)是分別用三角窗與漢寧窗分析的結(jié)果，與圖(c)相比，三角窗與漢寧窗分辨率低,不能分辨相鄰譜線，但由于旁瓣衰減快,譜的分布區(qū)域窄而邊沿清晰。窗函數(shù)類型-3dB帶寬等效噪聲帶寬旁瓣幅度(dB)旁瓣衰減速度(dB/10oct)矩形三角形漢寧海明高斯0.89B1.28B1.20B1.30B1.55BB1.33B1.23B1.36B1.64B-13-27-32-42-55-20-60-60-20-20(a)(b)(c)(d)(e)

●窗函數(shù)的選擇應(yīng)考慮被分析信號(hào)的性質(zhì)與處理要求。▲若僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，可選主瓣寬度較窄的矩形窗，例如測(cè)量物體的自振頻率等；▲如果分析窄帶信號(hào)，且有較強(qiáng)的干擾噪聲，則選用旁瓣幅度小的窗函數(shù)，如漢寧窗、三角窗等；▲對(duì)于隨時(shí)間按指數(shù)衰減的函數(shù)，可采用指數(shù)窗來(lái)提高信噪比。一、最大熵譜估計(jì)的基本原理

●

本節(jié)將依據(jù)已經(jīng)證明的最大熵定理（3-4）闡明這一方法的計(jì)算原理。

●最大熵譜分析方法把信息熵的概念引入信號(hào)處理中，有時(shí)又稱為現(xiàn)代時(shí)序譜分析方法。這是一種把自相關(guān)函數(shù)外推的方法。在分析過(guò)程中，沒(méi)有固定的窗口函數(shù)。在每一步外推自相關(guān)函數(shù)中，使估計(jì)的相關(guān)函數(shù)包含過(guò)程的信息最多，即要求在過(guò)程的熵達(dá)到最大的條件下，確定未知的自相關(guān)函數(shù)值，借以達(dá)到譜估計(jì)的逼真和穩(wěn)定度最好的目的。換句話說(shuō)，就是采用譜熵為最大的準(zhǔn)則來(lái)估計(jì)功率譜。前面已經(jīng)證明，N維高斯隨機(jī)序列信源的相對(duì)熵為【參見(jiàn)式（3-15）】

：|R|(或記為det[R])表示矩陣[R]的行列式。自相關(guān)矩陣是