線段的垂直平分線的性質(zhì) 課件 人教版八年級數(shù)學(xué)上冊

第十三章軸對稱13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握線段的垂直平分線的概念及性質(zhì)。2、會利用線段垂直平分線的性質(zhì)及判定解決有關(guān)問題。3、能用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線．【課前預(yù)習(xí)】1．已知下列說法，其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）①等腰三角形一邊上的高就是這條邊上的中線；②等腰三角形的對稱軸就是底邊上的中線；③若一條直線上的一點P到線段兩端的距離相等，則這條直線是這條線段的垂直平分線；④若兩個直角三角形的一條直角邊和斜邊分別對應(yīng)相等，則這兩個直角三角形全等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．下列說法錯誤的是（）A．三角形的三條高的交點一定在三角形內(nèi)部B．三角形的三條中線的交點一定在三角形內(nèi)部C．三角形的三條角平分線的交點一定在三角形內(nèi)部D．三角形的三條邊的垂直平分線的交點可能在三角形內(nèi)部，也可能在三角形外部3．直線l是線段AB的垂直平分線，點M，N是直線l上的兩個點，若∠NBA=15°，∠MBA=45°，則∠MAN等于（）A．15° B．30° C．60° D．30°或60°4．下列結(jié)論正確的個數(shù)有（）①有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；②三角形三邊的垂直平分線相交于一點；③有兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④三角形三個內(nèi)角的角平分線有可能相交于三角形的外部．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．已知△ABC，找一個點P使PA=PB=PC，則這個點應(yīng)該是這個三角形（）A．三邊中線的交點B．三內(nèi)角平分線的交點C．三條高線的交點D．三邊中垂線的交點【課前預(yù)習(xí)】答案1．A2．A3．D4．C5．D

如果一個平面圖形沿一條直線

，直線兩旁的部分能夠

，這個圖形就叫做軸對稱圖形.

折痕所在的這條直線叫做_________.對稱軸折疊互相重合

復(fù)習(xí)回顧

把一個圖形沿著某一條直線

,如果它能夠

,那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱,這條直線叫做對稱軸,折疊后重合的點是對應(yīng)點,叫做

.A′ABCB′C′折疊與另一個圖形重合對稱點你能用不同的方法驗證這一結(jié)論嗎？探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點，請猜想點P1，P2，P3，…到點A與點B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．相等．ABlP1P2P3

請在圖中的直線l上任取一點，那么這一點與線段AB兩個端點的距離相等嗎？線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．ABlP1P2P3已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上．求證：PA=PB．證明：“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．”ABPCl證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．ABPCl線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．用幾何語言表示為：∵CA=CB，l⊥AB

或∵點P在線段AB的垂直平分線上∴PA=PB．∴PA=PB．

ABPCl解：AB=AC=CE

,AB+BD=DE

.

∵AD⊥BC，BD=DC∴AB=AC∵點C在AE的垂直平分線上∴AC=CE．∴AB=AC=CE例題例1如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE∵

AB=CE，BD=DC∴AB+BD=CD+CE

即AB+BD=DE．例2如圖，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，△BCE的周長等于50，求BC的長.ABCED探索并證明線段垂直平分線的判定反過來，如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？點P在線段AB的垂直平分線上．已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．PABC證明：過點P作線段AB的垂線PC，垂足為C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．線段垂直平分線的判定與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．用數(shù)學(xué)符號表示為：∵

PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上．PABC這些點能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB兩端點距離相等的點？

在線段AB的垂直平分線l上的點與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點A、B的距離相等的所有點的集合．ABPCl解：直線AM

是線段BC

的垂直平分線.∵AB=AC，∴點A在BC的垂直平分線上．∵M(jìn)B=MC，∴

點M在BC的垂直平分線上∴直線AM是線段BC的垂直平分線．例3

如圖，AB=AC，MB=MC．直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？ABCDM例1尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線.已知：直線AB和AB外一點C（如圖）.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.探索經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線ABC作法：（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁.（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.（2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E.（4）作直線CF.

直線CF就是所求作的垂線.CABDEFK如果兩個圖形成軸對稱，怎樣作出圖形的對稱軸？如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸是任何一組對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．因此，只要找到任意一組對應(yīng)點，作出對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸．如圖，A，B是路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個公共汽車站，使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？AB線段垂直平分線的畫法不折疊圖形，你能準(zhǔn)確地作出軸對稱圖形的對稱軸嗎？有時我們感覺兩個平面圖形是軸對稱的，如何驗證呢？ABCA′B′C′尺規(guī)作圖

如圖，點A和點B關(guān)于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？AB分析：我們只要連接點A和點B,作出線段AB的垂直平分線，就可得到點A和點B的對稱軸.為此作出到點A,B的距離相等的兩點，即線段AB的垂直平分線上的兩點，從而作出線段AB的垂直平分線.如圖，點A和點B關(guān)于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？ABCD作法：（1）分別以點A，B為圓心，以大于

AB的長為半徑作弧，兩弧交于C，D兩點.（2）作直線CD.CD即為所求.特別說明：這個作法實際上就是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，我們也可以用這種方法確定線段的中點.例如圖，A，B是路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個公共汽車站.使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？AB分析：增設(shè)的公共汽車站要滿足到兩個小區(qū)的路程一樣長，應(yīng)在線段AB的垂直平分線上，又要在公路邊上，所以找到AB垂直平分線與公路的交點便是.公共汽車站課堂小結(jié)線段的垂直平分的性質(zhì)和判定性質(zhì)到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上內(nèi)容判定內(nèi)容作用線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等作用見垂直平分線，得線段相等判斷一個點是否在線段的垂直平分線上線段的垂直平分線的有關(guān)作圖尺規(guī)作圖作對稱軸的常見方法屬于基本作圖之一，必須熟熟練掌握(1)將圖形對折；(2)用尺規(guī)作圖；(3)用刻度尺先取一對對稱點連線的中點，然后作垂線【課后練習(xí)】1．下列定理中，沒有逆定理的是（）A．同角的余角相等B．等腰三角形兩個底角相等C．線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補2．下列說法錯誤的是（）A．E,D是線段AB的垂直平分線上的兩點，則AD=BD，AE=BEB．若AD=BD，AE=BE，則直線DE是線段AB的垂直平分線C．若PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上D．若PA=PB，則過點P的直線是線段AB的垂直平分線3．下列說法中，不正確的有（）①不在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離不相等；②三角形兩內(nèi)角的平分線的交點到各邊的距離相等；③到三角形三邊距離相等的點有1個④線段中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，⑤到三角形三個頂點距離相等的點有1個A．0個 B．1個 C．2個 D．3個4．下列命題是假命題的是（）A．三角形的外角和是360°B．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等C．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形D．有兩邊和一個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等5．在下列命題中，真命題是（）A．同位角相等B．到線段距離相等的點在線段垂直平分線上\C．三角形的外角和是360°D．角平分線上的點到角的兩邊相等6．∠AOB內(nèi)部有一點P，OP=5，點P關(guān)于OA的對稱點為M，點P關(guān)于OB的對稱點為N，若∠AOB=45°，則△MON的面積為_______．