【課件】8.6.2直線與平面垂直課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2019必修第二冊

復(fù)習(xí)（提問）直線與平面有什么樣的位置關(guān)系？1.直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點；2.直線與平面相交——有且只有一個公共點；3.直線與平面平行——沒有公共點。aaa

直線與平面α相交

a∩α=A有且只有一個公共點直線與平面α平行a∥α無公共點直線在平面α內(nèi)aα有無數(shù)個公共點αlP8.6.2直線與平面垂直

大橋的橋柱與水面有怎樣的位置關(guān)系？

垂直在陽光下觀察直立于地面的旗桿和它在地面的影子.ABαB1C1CB

在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子

隨著時間的變化，盡管影子BC位置在移動，但是旗桿AB所在直線始終與BC所在直線垂直。即旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條過點B的直線垂直。事實上旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點B的直線B1C1也是垂直的.ABαB1C1CB

*注：若一條直線垂直于一個平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線。

直線與平面垂直的定義：

如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.記作：l

⊥α直線l

叫做平面α的垂線,平面α叫做直線

l的垂面,l與α的交點P叫做垂足αlP說明：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。

直線和平面垂直的畫法：αP

思考？α

不一定垂直

如果一條直線

l

和一個平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則直線

l

是否垂直于平面α？若垂直請說明理由，若不垂直請舉出反例。

過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片放置在桌面上（BD，DC與桌面接觸），請問:(1)AD與桌面垂直嗎？(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面α垂直?ABCD

探究:P65DBAC

容易發(fā)現(xiàn)，當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面α垂直。aBDCA

探究:P65（1）有人說，折痕AD所在直線與桌面所在平面α上的一條直線垂直，就可以判斷AD垂直平面α，你同意他的說法嗎?（2）折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD,AD⊥BD，由此你能得到什么結(jié)論?DBACaBDCA

直線與平面垂直的判定定理：

如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.Pmnlα

定理簡記為：線線垂直，則線面垂直。兩條相交直線ab例3.求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.，mabn

一、直線和平面垂直的判定：1.定理:如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.*2.兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.*3.一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，也垂直于另一個.，即：1.點在平面內(nèi)的射影

過一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面內(nèi)的射影.PA

二、斜線在平面內(nèi)的射影2.平面的斜線、斜足、點到平面的斜線段

一條直線和一個平面α相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做平面的斜線，斜線和平面的交點A叫斜足.從平面外一點向平面引斜線，這點與斜足間的線段PA叫做這點到這個平面的斜線段.

平面的斜線A斜足P點P到平面的斜線段3.斜線或斜線段在平面內(nèi)的射影

過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影.

垂足與斜足間的線段OA叫做這點P到平面的斜線段PA在這個平面內(nèi)的射影.OAP直線OA為斜線PA在平面內(nèi)的射影線段OA為斜線段PA在平面內(nèi)的射影

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角。

一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；

一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0的角。

注：直線和平面所成角的范圍是0≤θ≤90

三、直線和平面所成的角PAO例4：在正方體ABCD—A1B1C1D1中,求：直線A1B和平面A1B1CD所成的角；ABCDAD111B1CO解：連結(jié)BC1交B1C于點O，連結(jié)A1O，∴A1B1⊥平面BCC1B1∴A1B1⊥BC1∵BCC1B1為正方形，∴B1C⊥BC1∵A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1B1CD∴∠BA1O為直線A1B與平面A1B1CD所成的角，且∠BOA1=90°，∴直線A1B與平面A1B1CD所成的角為30°∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1即BO⊥平面A1B1CD中外垂PCBAO

請看課本P152：練習(xí)4

觀察：（1）如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系？ABCDAD1111BC（2）如圖，已知直線a、b和平面α，如果a⊥平面α，b⊥平面α，那么，直線a、b一定平行嗎？abα

平行判斷：若有是否正確？反證法證明命題的一般步驟：否定結(jié)論推出矛盾肯定結(jié)論

用反證法證明證明：假定b與a不平行，設(shè)是經(jīng)過點O與直線a平行的直線。這樣,經(jīng)過同一點O的兩直線，都垂直于平面，這顯然是不可能的，定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言：說明：可由兩條直線與一個平面垂直判定兩條直線平行，性質(zhì)定理揭示了“平行”與“垂直”的內(nèi)在聯(lián)系。

直線與平面垂直的性質(zhì)1：

直線與平面垂直的性質(zhì)2：

若一條直線垂直于一個平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線。

判斷下列命題是否正確（1）垂直于同一條直線的兩個平面互相平行（）（2）垂直于同一