【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 第七章第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) A

解析：由直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可知②和③正確，①中m還可能在α內(nèi)，或者是平面α的一條斜線．答案：

B2．下面命題中：①兩平面相交，如果所成的二面角是直角，則這兩個(gè)平面垂直；②一直線與兩平面中的一個(gè)平行與另一個(gè)垂直，則這兩個(gè)平面垂直；③一平面與兩平行平面中的一個(gè)垂直，則與另一個(gè)平面也垂直；④兩平面垂直，經(jīng)過第一個(gè)平面上一點(diǎn)垂直于它們交線的直線必垂直于第二個(gè)平面．其中正確的命題有(

)A．2個(gè)

B．3個(gè)C．4個(gè)

D．0個(gè)解析：①兩平面垂直的定義，正確．②可轉(zhuǎn)化為判定定理證明，正確．③借助于實(shí)物或畫圖都可得出結(jié)論，正確．④應(yīng)為在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于第二個(gè)平面，錯(cuò)誤．答案：B3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1C與對(duì)角面DD1B1B所成角的大小是(

)A．15°B．30°C．45°D．60°答案：B4．如圖，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB

＝AC＝a，則AD＝________.答案：a5．設(shè)直線m與平面α相交但不垂直，給出以下說法：①在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直；②過直線m有且只有一個(gè)平面與平面α垂直；③與直線m垂直的直線不可能與平面α平行；④與直線m平行的平面不可能與平面α垂直．其中錯(cuò)誤的是________．解析：因?yàn)橹本€m是平面α的斜線，在平面α內(nèi)，只要和直線m的射影垂直的直線都和m垂直，所以①錯(cuò)誤；②正確；③錯(cuò)誤，設(shè)b?α，b⊥m，c∥b，c?α，則c∥α，c⊥m；④錯(cuò)誤，如正方體AC1，m是直線BC1，平面ABCD是α，則平面ADD1A1既與α垂直，又與m平行．答案：①③④1．直線與平面垂直(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的每一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直，記作

.(2)判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的

直線都垂直，則該直線與此平面垂直．用符號(hào)表示為：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，

?l⊥α.l⊥α兩條相交a∩b＝P(3)性質(zhì)：①若l⊥α，a?α?

，這是我們?cè)诳臻g證明線線垂直的一種重要方法．②性質(zhì)定理：垂直于同一平面的兩條直線

．用符號(hào)表示：a⊥α，b⊥α?

.l⊥a平行a∥b2．直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和

所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．規(guī)定：當(dāng)直線與平面垂直和平行(含直線在平面內(nèi))時(shí)，則直線和平面所成的角分別為.(2)線面角的范圍為．它在平面上的射影3．二面角(1)二面角：從一條直線

所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做

．兩個(gè)半平面叫做二面角的面．如圖，記作：α-l-β或α-AB-β或P-AB-Q.出發(fā)的兩個(gè)半平面二面角的棱(2)二面角的平面角如圖，二面角α-l-β，若有①O∈l，②OA?α，OB?β，③OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角．4．平面與平面垂直如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證：CD⊥AE；(2)求證：PD⊥面ABE.

考點(diǎn)一直線和平面垂直的判定和性質(zhì)

[自主解答]

(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥面PAC.AE?面PAC，故CD⊥AE.(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，∴PA＝AC，又E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，故AE⊥PD.易知BA⊥PD，AE∩BA＝A，故PD⊥面ABE.若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，當(dāng)矩形ABCD滿足什么條件時(shí)，有PC⊥BD？解：若PC⊥BD，又PA⊥BD，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，即矩形ABCD的對(duì)角線互相垂直．∴矩形ABCD為正方形，即當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，PC⊥BD.如圖，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.∴△PAD為等腰直角三角形，∴AE⊥PD.又∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，而AE?平面PAD，∴CD⊥AE，又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD，∴MN⊥平面PCD.如圖，已知三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．(1)求證：DM∥平面APC；(2)求證：平面ABC⊥平面PAC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D－BCM的體積．考點(diǎn)二平面和平面垂直的判定[自主解答]

(1)∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，∴DM∥AP，又∵DM?平面APC，AP?平面APC，∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB為正三角形，且D為PB的中點(diǎn)，∴DM⊥PB.又由(1)知MD∥AP，∴AP⊥PB.又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC.∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，∴BC⊥平面APC，∴平面ABC⊥平面PAC.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1D⊥B1C.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.證明：(1)因?yàn)镋、F分別是A1B、A1C的中點(diǎn)，所以EF∥BC，又EF?平面ABC，BC?平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1為直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，B1C∩BB1＝B1.所以A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.考點(diǎn)三直線、平面垂直的綜合應(yīng)用如圖①，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后點(diǎn)的位置為P，且使平面PBD⊥平面BCD，如圖②.(1)求證：平面PBC⊥平面PDC；(2)在折疊前的四邊形ABCD中，作AE⊥BD于E，過E作EF⊥BC于F，求折起后的圖形中∠PFE的正切值．解：(1)證明：折疊前，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，所以△ABD為等腰直角三角形．又因?yàn)椤螧CD＝45°，所以∠BDC＝90°.折疊后，因?yàn)槊鍼BD⊥面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥面PBD.又因?yàn)镻B

?面PBD，所以CD⊥PB.又因?yàn)镻B⊥PD，PD∩CD＝D，所以PB⊥面PDC.又PB?面PBC，故平面PBC⊥平面PDC.考點(diǎn)四直線和平面所成的角、二面角(2011·北京模擬)如圖，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．(1)求證：AF∥平面PEC；(2)求PC與平面ABCD所成的角的正切值；(3)求二面角P－EC－D的正切值．∴四邊形AEOF是平行四邊形，∴AF∥OE.又OE?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC.解：(1)證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC為正三角形．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AE⊥PD.線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定與性質(zhì)、以及線面角、二面角的求法是高考考查的熱點(diǎn)，客觀題突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性質(zhì)，主觀題考查較全面，在考查垂直關(guān)系的判定及性質(zhì)的同時(shí)，還考查空間三種角計(jì)算，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力，邏輯推理能力以及計(jì)算能力．1．線面垂直的判斷方法(1)利用線面垂直的判定定理．此種方法要注意平面內(nèi)的兩條直線必須相交．(2)利用線面平行的性質(zhì)．兩平行線中一條垂直于一個(gè)平面，另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)利用面面垂直的性質(zhì)①兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面，此種方法要注意“平面內(nèi)的直線”．

②兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．此性質(zhì)是在課本習(xí)題中出現(xiàn)的，在問題不很復(fù)雜的題目中，要對(duì)此進(jìn)行證明，以免無謂扣分．(4)利用面面平行的性質(zhì)．一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，必垂直于另一個(gè)平面．(5)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，可以作為直線和平面垂直的判定定理．當(dāng)條件中有兩個(gè)平面垂直時(shí)，常添加的輔助線是在一個(gè)平面內(nèi)作兩平面交線的垂線．2．線線垂直的判斷方法當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，常用來證明線線垂直．3．面面垂直的判定方法(1)判定定理若a?α，a⊥β，則α⊥β.(2)其他方法①若a∥α，a⊥β，則α⊥β；②若α∥β，β⊥γ，則α⊥γ.4．線面角和二面角(理)線面角、二面角通常是由面的垂線去找．求直線與平面所成角的步驟：(1)作出斜線與其投影所成的角；(2)證明所作的角就是所求的角；(3)常在直角三角形(垂線、斜線投影所組成的直角三角形)中解出所求角的大?。?．已知α、β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而當(dāng)兩平面α、β垂直時(shí)，α內(nèi)的直線m只有在垂直于兩平面的交線時(shí)才垂直于另一個(gè)平面β，∴為必要不充分條件．故選B.答案：

B2．如圖，正方體AC1的棱長(zhǎng)為1，過點(diǎn)A

作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，則

下列命題中錯(cuò)誤的是(

)A．點(diǎn)H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)C1D．直線AH和BB1所成角為45°解析：因?yàn)槿忮FA－A1BD是正三棱錐，故頂點(diǎn)A在底面的射影是底面的中心，A正確；平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正確；根據(jù)對(duì)稱性知C正確．答案：

D3．PA垂直于正方形ABCD所在平面，連接PB，PC，PD，AC，BD，則一定互相垂直的平面是(

)①面PAB⊥面PBC；②面PAB⊥面PAD；③面PAB⊥面PCD；④面PAB⊥面PAC.A．①②

B．①③C．②③

D．②④解析：∵BC⊥面PAB，∴面PBC⊥面PAB，∴①正確．同理AD⊥面PAB，∴面PAD⊥面PAB，∴②正確．答案：A4．(2011·汕頭模擬)已知α、β、γ是三個(gè)互不重合的平面，l是一條直線，給出下列四個(gè)命題：