初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)第三章圓

專(zhuān)訓(xùn)巧求與圓有關(guān)的面積問(wèn)題名師點(diǎn)金：求解與圓有關(guān)的面積時(shí)，有時(shí)候可以直接運(yùn)用公式求出，但大多數(shù)都要通過(guò)轉(zhuǎn)化后求其面積，常用的方法有：作差法、等積變形法、平移法、割補(bǔ)法等．根據(jù)圖形特點(diǎn)，靈活運(yùn)用這些方法解題，往往會(huì)起到事半功倍的效果．利用“作差法”求面積1．如圖，在⊙O中，半徑OA＝6cm，C是OB的中點(diǎn)，∠AOB＝120°，求陰影部分的面積．(第1題)利用“等積變形法”求面積2．如圖，E是半徑為2cm的⊙O的直徑CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB∥CD且AB＝eq\f(1,2)CD，求陰影部分的面積．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782104】(第2題)利用“平移法”求面積3．如圖是兩個(gè)半圓，O為大半圓的圓心，長(zhǎng)為18的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于多少？(第3題)利用“割補(bǔ)法”求面積4．如圖，扇形OAB與扇形OCD的圓心角都是90°，連接AC，BD.(1)求證：AC＝BD；(2)若OA＝2cm，OC＝1cm，求圖中陰影部分的面積．(第4題)答案專(zhuān)訓(xùn)1．解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AO，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.∵OB＝6cm，C為OB的中點(diǎn)，∴OC＝3cm.∵∠AOB＝120°，∴∠COD＝60°.∴∠OCD＝30°.∴在Rt△CDO中，OD＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(3,2)cm.∴CD＝eq\r(OC2－OD2)＝eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(3),2)(cm)．∴S△AOC＝eq\f(1,2)AO·CD＝eq\f(1,2)×6×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),2)(cm2)．又∵S扇形OAB＝eq\f(120π·62,360)＝12π(cm2)，∴S陰影＝S扇形OAB－S△AOC＝12π－eq\f(9\r(3),2)＝eq\f(24π－9\r(3),2)(cm2)，即陰影部分的面積為eq\f(24π－9\r(3),2)cm2.點(diǎn)撥：本題中陰影部分雖然不是規(guī)則圖形，但它的面積可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)規(guī)則圖形的面積差，因此我們只需分別求出一個(gè)扇形面積和一個(gè)三角形面積即可達(dá)到目的．2．解：連接OA，OB.∵AB∥CD，∴S△ABE＝S△AOB.∴S陰影＝S扇形OAB.∵AB＝eq\f(1,2)CD＝AO＝OB＝2cm，∴△OAB是等邊三角形．∴∠AOB＝60°.∴S扇形OAB＝eq\f(60π·22,360)＝eq\f(2,3)π(cm2)，即陰影部分的面積為eq\f(2,3)πcm2.點(diǎn)撥：本題利用△AEB的面積等于△AOB的面積，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形面積，體現(xiàn)了“等積變形法”的運(yùn)用．(第3題)3．解：將小半圓向右平移，使兩個(gè)半圓的圓心重合，如圖，則陰影部分的面積等于半圓環(huán)面積．作OE⊥AB于E(易知E為切點(diǎn))，連接OA，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝9.∴陰影部分的面積＝eq\f(1,2)π·OA2－eq\f(1,2)π·OE2＝eq\f(1,2)π(OA2－OE2)＝eq\f(1,2)π·AE2＝eq\f(1,2)π·92＝eq\f(81,2)π.點(diǎn)撥：觀察圖形可知陰影部分的面積等于大半圓的面積減去小半圓的面積，因此當(dāng)小半圓在大半圓范圍內(nèi)左右移動(dòng)時(shí)，陰影部分面積不改變，所以我們可以通過(guò)平移，使兩個(gè)半圓圓心重合，這樣就能運(yùn)用已知條件求出陰影部分的面積．4．(1)證明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，即∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD.又∵AO＝BO，CO＝DO，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD.(2)解：由(1)知△AOC≌△BOD，∴陰影部分的面積＝扇形OAB的面積－扇形OCD的面積．則S陰影＝eq\f(90π·OA2,360)－eq\f(90π·OC2,360)＝eq\f(90π（OA2－