第八章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第八章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容8.1線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8.2LTI模型的屬性8.3數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換8.4系統(tǒng)模型的運(yùn)算8.5數(shù)學(xué)模型的分析函數(shù)8.1線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)模型

【調(diào)用格式】sys=tf(num,den) sys=tf(num,den,'Property1',V1,...,'PropertyN',VN) %初始化TF模型的其他屬性

sys=tf(‘s’) %建立拉普拉斯變換的自變量s的TF模型

【說明】num和den分別是傳遞函數(shù)的分子多項式系數(shù)和分母多項式系數(shù)，按s的降冪排列，是細(xì)胞數(shù)組。tf函數(shù)的返回值是一個對象，稱之為TF對象，num和den是TF對象的屬性。1.SISO系統(tǒng)的TF數(shù)學(xué)模型8.1線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例8.1.1SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試建立系統(tǒng)的TF模型?！痉椒?】直接用分子和分母多項式系數(shù)建立TF模型【方法2】用s因子和數(shù)學(xué)運(yùn)算符建立TF模型2.MIMO系統(tǒng)的TF模型num{i,j}和den{i,j}分別表示傳遞函數(shù)矩陣G(s)的第i行第j列的傳遞函數(shù)的分子多項式系數(shù)和分母多項式系數(shù)。8.1線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例8.1.2MIMO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣試建立系統(tǒng)的TF模型。【方法1】直接用分子和分母多項式系數(shù)建立TF模型【方法2】用s因子和數(shù)學(xué)運(yùn)算符建立TF模型零極點模型【調(diào)用格式】 sys=zpk(z,p,k) sys=zpk(z,p,k,'Property1',V1,...,'PropertyN',VN) sys=zpk('s')8.1線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型【說明】z、p、k分別為系統(tǒng)的零點、極點和增益。z、p、k是細(xì)胞數(shù)組，對MIMO系統(tǒng)來說z{i,j}，p{i,j}，k{i,j}分別表示傳遞函數(shù)矩陣的第i行第j列的傳遞函數(shù)的零點、極點、增益。zpk函數(shù)的返回值是一個對象，稱之為ZPK對象，z、p和k是ZPK對象的屬性。如果沒有零點，則z為空數(shù)組。例8.1.3SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試建立系統(tǒng)的ZPK模型。【方法1】直接用零點、極點、增益向量來建立ZPK模型【方法2】用s因子和數(shù)學(xué)運(yùn)算符建立TF模型8.1線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例8.1.4MIMO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣試建立系統(tǒng)的ZPK模型。狀態(tài)空間模型【調(diào)用格式】 sys=ss(a,b,c,d) sys=ss(a,b,c,d,'Property1',V1,...,'PropertyN',VN) sys=ss(d) %建立靜態(tài)增益矩陣d的狀態(tài)空間模型【說明】a,b,c,d分別表示狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣，輸出矩陣和傳輸矩陣。ss函數(shù)的返回值是一個對象，稱之為ss對象，a，b，c和d是ss對象的屬性。如果d=0，ss函數(shù)可以直接用標(biāo)量0作為輸入變量，忽略了對d的維數(shù)要求。8.1線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例8.1.5已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為試建立系統(tǒng)的SS模型傳遞函數(shù)。頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)模型【調(diào)用格式】

sys=frd(response,frequency)【說明】frequency為測試或計算頻率特性所選取的角頻率向量w，其每一個元素為一個角頻率值。response為頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)G(jw)。

8.1線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

對于SISO系統(tǒng)，response是一個向量，response(i)表示系統(tǒng)角頻率為frequency(i)的正弦信號的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)。對于MIMO系統(tǒng)，response是一個三維矩陣，response(i,j,:)表示系統(tǒng)的第i個輸出對第j個輸入的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)；response(i,j,k)表示系統(tǒng)的第i個輸出在frequency(k)頻率點上，對第j個輸入的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)。frd函數(shù)的返回值是一個對象，稱之為FRD對象，frequency和response是FRD對象的屬性。例8.1.6離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1、脈沖傳遞函數(shù)模型【調(diào)用格式】 sys=tf(num,den,Ts) %建立離散系統(tǒng)的TF模型 sys=zpk(z,p,k,Ts) %建立離散系統(tǒng)的ZPK模型8.1線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型【說明】num和den是離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)。z,p,k是離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的零點、極點和增益。Ts是離散系統(tǒng)的采樣周期。2、狀態(tài)空間模型【調(diào)用格式】 sys=ss(a,b,c,d,Ts) %建立離散系統(tǒng)的SS模型【說明】a,b,c,d是離散系統(tǒng)狀態(tài)空間差分方程組的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和直接傳輸矩陣。Ts是離散系統(tǒng)的采樣周期。8.2LTI模型的屬性LTI模型的共有屬性屬性名屬性描述屬性的數(shù)據(jù)類ioDelay輸入通道對輸出通道的滯后時間矩陣矩陣InputDelay輸入信號的滯后時間向量InputGroup輸入通道分組結(jié)構(gòu)體InputName輸入通道名稱字符串細(xì)胞數(shù)組Notes注解字符串OutputDelay輸出信號的滯后時間向量OutputGroup輸出通道分組結(jié)構(gòu)體OutputName輸出通道名字字符串細(xì)胞數(shù)組Ts離散系統(tǒng)的采樣周期標(biāo)量Userdata附加數(shù)據(jù)任意數(shù)據(jù)類系8.2LTI模型的屬性例8.2.1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣試建立該系統(tǒng)的TF模型?！痉椒?】用InputDelay屬性【方法2】用ioDelay屬性例8.2.2離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為采樣周期Ts=0.1s。試建立該系統(tǒng)的帶有0.2s純滯后時間的數(shù)學(xué)模型。8.2LTI模型的屬性LTI模型的專有屬性TF對象的專有屬性屬性名屬性描述屬性的數(shù)據(jù)類系den傳遞函數(shù)的分母多項式行向量實數(shù)細(xì)胞數(shù)組num傳遞函數(shù)的分子多項式行向量實數(shù)細(xì)胞數(shù)組Variable傳遞函數(shù)的自變量's','p','z','q','z^-1'ZPK對象的專有屬性屬性名屬性描述屬性的數(shù)據(jù)類系Z傳遞函數(shù)的零點列向量復(fù)數(shù)細(xì)胞數(shù)組P傳遞函數(shù)的極點列向量復(fù)數(shù)細(xì)胞數(shù)組K傳遞函數(shù)的增益實矩陣Variable傳遞函數(shù)的自變量's','p','z','q','z^-1'8.2LTI模型的屬性SS對象的專有屬性屬性名屬性描述屬性的數(shù)據(jù)類系A(chǔ)系統(tǒng)矩陣實數(shù)矩陣B輸入矩陣實數(shù)矩陣C輸出矩陣實數(shù)矩陣D直接傳遞矩陣實數(shù)矩陣E描述矩陣實數(shù)矩陣Nx狀態(tài)數(shù)目整數(shù)標(biāo)量StateName狀態(tài)名稱字符串構(gòu)成的列細(xì)胞數(shù)組FRD對象的專有屬性屬性名屬性描述屬性的數(shù)據(jù)類系Frequency頻率點實數(shù)向量ResponseData頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)多維數(shù)值數(shù)組Units頻率單位'rad/s''Hz'8.2LTI模型的屬性訪問LTI模型的屬性包括屬性設(shè)置和屬性讀取，方法如下：創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型對象的時候，用帶有屬性的輸入變量來設(shè)置相關(guān)屬性。用get和set函數(shù)來設(shè)置和讀取模型對象的屬性。將模型對象的屬性當(dāng)作普通變量來訪問，通過成員運(yùn)算符“.”訪問對象的屬性。可以通過模型的專用函數(shù)獲取系統(tǒng)模型的專有屬性。例8.2.38.3數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換LTI對象之間的轉(zhuǎn)換【調(diào)用格式】sys=tf(sys) %將sys對象轉(zhuǎn)換為TF模型sys=zpk(sys) %轉(zhuǎn)換為ZPK模型sys=ss(sys) %轉(zhuǎn)換為SS模型sys=frd(sys,frequency) %轉(zhuǎn)換為FRD模型LTI對象屬性之間的轉(zhuǎn)換【調(diào)用格式】[z,p,k]=tf2zp(num,den) %將TF對象屬性轉(zhuǎn)換為ZPK對象屬性[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) %將TF對象屬性轉(zhuǎn)換為SS對象屬性[num,den]=zp2tf(z,p,k) %將ZPK對象屬性轉(zhuǎn)換為TF對象屬性[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k) %將ZPK對象屬性轉(zhuǎn)換為SS對象屬性[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) %將SS對象屬性轉(zhuǎn)換為ZPK對象屬性[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)%將SS對象屬性轉(zhuǎn)換為TF對象屬性8.3數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換例8.3.1已知系統(tǒng)Σ(A,B,C,D)的系數(shù)矩陣是求取該系統(tǒng)相應(yīng)的TF模型和ZPK模型。連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換sysd=c2d(sysc,Ts) %將連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為采樣周期為Ts的離散系統(tǒng)sysd=c2d(sysc,Ts,'method') %指定連續(xù)系統(tǒng)的離散化方法[sysd,G]=c2d(sysc,Ts,'method')%對于SS模型，求得初始條件的轉(zhuǎn)換陣G[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,Ts,'method')%連續(xù)SS模型的離散化【調(diào)用格式】8.3數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換sysc=d2c(sysd) %將離散系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為連續(xù)系統(tǒng)sysc=d2c(sysd,method) %指定離散系統(tǒng)的連續(xù)化方法method[Ac,Bc,Cc,Dc]=d2cm(A,B,C,D,Ts,'method') %用于離散SS模型的連續(xù)化sysd1=d2d(sysd,Ts) %改變采樣周期，生成新的離散系統(tǒng)sysc表示連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，sysd表示離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。method為轉(zhuǎn)換方法其取值和含義為：'zoh' 零階保持器法，這是默認(rèn)的轉(zhuǎn)換方法。'foh' 一階保持器法'imp' 沖擊響應(yīng)不變法'tustin' 雙線性變換法'prewarp' 預(yù)扭曲的雙線性變換法'matched' 零極點映射匹配法（僅用于SISO系統(tǒng)）【說明】8.3數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換例8.3.2系統(tǒng)的被控對象傳遞函數(shù)為：采樣周期Ts＝0.1秒,試將其進(jìn)行離散化處理。例8.3.3離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為采樣周期Ts=0.1,采樣周期改變?yōu)門s＝0.25s，試求采樣周期改變前后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。8.4系統(tǒng)模型的運(yùn)算子系統(tǒng)LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為sys，子系統(tǒng)的含義是：

sys(i,j) 第i個輸出對第j個輸入的子系統(tǒng)

sys(3,1:4) 第3個輸出對第1個到第4個輸入的子系統(tǒng)

sys(:,1) 所有輸出對第1個輸入的子系統(tǒng)

sys([1,3],1) 第1個輸出和第3個輸出對第1個輸入的子系統(tǒng)sys為狀態(tài)空間模型，其模型數(shù)據(jù)為A，B，C，D，則子系統(tǒng)sys(i,j)表示的狀態(tài)空間模型數(shù)據(jù)為A，B(:,j)，C(i,:)，D(i,j)。如果sys是傳遞函數(shù)矩陣，則sys(i,j)表示傳遞函數(shù)矩陣的第i行第j列的傳遞函數(shù)。對于MIMO系統(tǒng)來說，子系統(tǒng)是由其一部分輸入變量和一部分輸出變量構(gòu)成的系統(tǒng)，并且子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系和原系統(tǒng)的關(guān)系相同。8.4系統(tǒng)模型的運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算符1．加法和減法＋－sys＝sys1+sys22．乘法*sys＝sys1-sys2sys＝sys1*sys28.4系統(tǒng)模型的運(yùn)算3．求逆inv(sys)4．除法\/

sys1\sys2相當(dāng)于

inv(sys1)*sys2

sys1/sys2相當(dāng)于

sys1*inv(sys2)5．轉(zhuǎn)置sys.‘sys.'表示LTI系統(tǒng)sys的轉(zhuǎn)置，其具體含義為：TF模型的轉(zhuǎn)置相當(dāng)于將細(xì)胞數(shù)組num和den轉(zhuǎn)置。ZPK模型的轉(zhuǎn)置相當(dāng)于將細(xì)胞數(shù)組z，p和k轉(zhuǎn)置。SS模型的轉(zhuǎn)置相當(dāng)于將(A，B，C，D)都轉(zhuǎn)置為(A.'，B.'，C.'，D.')。FRD模型的轉(zhuǎn)置相當(dāng)于將頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)矩陣在每個頻率點上都轉(zhuǎn)置。6．共軛復(fù)轉(zhuǎn)置sys'

連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(S)，其共軛復(fù)轉(zhuǎn)置系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為[G(-S)]T；離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為G(Z)，其共軛復(fù)轉(zhuǎn)置系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

[G(Z-1)]T

。8.4系統(tǒng)模型的運(yùn)算系統(tǒng)模型的連接1.系統(tǒng)模型的聚合可以用和矩陣聚合相同的方法實現(xiàn)系統(tǒng)模型的聚合操作，系統(tǒng)模型的聚合包括水平聚合和垂直聚合。8.4系統(tǒng)模型的運(yùn)算【說明】對于MIMO系統(tǒng)，子系統(tǒng)sysl和子系統(tǒng)sys2串聯(lián)時，將sysl的端口號為output1的輸出通道和sys2的端口號為input2的輸入通道相連接?！菊{(diào)用格式】sys＝series(sys1,sys2) %用于SISO系統(tǒng)的串聯(lián)sys＝series(sys1,sys2,outputs1,inputs2) %用于MIMO系統(tǒng)的串聯(lián)2．系統(tǒng)模型的串聯(lián)8.4系統(tǒng)模型的運(yùn)算【調(diào)用格式】

sys=parallel(sys1,sys2) sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)

【說明】對于MIMO系統(tǒng)，子系統(tǒng)sysl和子系統(tǒng)sys2并聯(lián)時，將sysl的端口號為in1的輸入通道和sys2的端口號為in2的輸入通道相連接，將sysl的端口號為out1的輸出通道和sys2的端口號為out2的輸出通道相連接。3．系統(tǒng)模型的并聯(lián)8.4系統(tǒng)模型的運(yùn)算【調(diào)用格式】 sys=feedback(sys1,sys2,sign) sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign) 4．系統(tǒng)模型的反饋連接【說明】sign為反饋的極性，sign=1為正反饋，sign=-1為負(fù)反饋（缺省值）。sys1為前向通道的數(shù)學(xué)模型，sys2為反饋通道的數(shù)學(xué)模型。對于MIMO系統(tǒng)，sysl和sys2反饋連接時，feedin指定了sys1中接受反饋的輸入端口號，feedout指定了sys1中用于反饋的輸出端口號，最終實現(xiàn)的反饋系統(tǒng)與sys1具有相同的輸入、輸入端。8.4系統(tǒng)模型的運(yùn)算例8.4.1已知前向環(huán)節(jié)和反饋環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間表達(dá)式的系數(shù)陣分別為試將前向環(huán)節(jié)的輸入1和輸出2與反饋環(huán)節(jié)構(gòu)成負(fù)反饋系統(tǒng)。例8.4.2典型反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示其中求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。8.4系統(tǒng)模型的運(yùn)算【調(diào)用格式】sys=append(sys1,sys2,...,sysN)5．系統(tǒng)模型的擴(kuò)展【說明】將子系統(tǒng)sys1，sys2，...，sysN的所有輸入作為系統(tǒng)的輸入，所有輸出作為系統(tǒng)輸出，且各子系統(tǒng)間沒有信號連接，從而擴(kuò)展為一個系統(tǒng)。傳遞函數(shù)模型擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)空間子系統(tǒng)的擴(kuò)展8.4系統(tǒng)模型的運(yùn)算【調(diào)用格式】

sysc=connect(sys,Q,inputs,outputs)

【說明】connect函數(shù)的功能是將多個子系統(tǒng)按照一定的連接方式構(gòu)成一個系統(tǒng)。sys是待連接的子系統(tǒng)被append函數(shù)擴(kuò)展后的系統(tǒng)。Q矩陣聲明了子系統(tǒng)的連接方式。Q矩陣的行向量聲明了sys輸入信號的連接方式，每個行向量的第1個元素為sys系統(tǒng)的輸入端口號，其他元素為與該輸入信號相連接的sys端口號。Inputs聲明了整個系統(tǒng)的輸入信號是由sys系統(tǒng)的哪些輸入端口號構(gòu)成。Outputs聲明了整個系統(tǒng)的輸出信號是由sys系統(tǒng)的哪些輸出端口號構(gòu)成。6．系統(tǒng)模型的結(jié)構(gòu)圖連接8.4系統(tǒng)模型的運(yùn)算例8.4.3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試求取整個系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。其中，子系統(tǒng)sys2的狀態(tài)空間模型數(shù)據(jù)為8.5數(shù)學(xué)模型的分析函數(shù)模型分析函數(shù)模型的特征分析函數(shù)名函數(shù)功能class返回模型的類型名稱，'tf'，'zpk'，'ss'或者'frd'hasdelay如果LTI模型有任何類型的滯后時間，則返回1isa判斷LTI模型是否是指定的類型isct判斷模型是否為連續(xù)系統(tǒng)模型isdt判斷模型是否為離散系統(tǒng)模型isempty判斷LTI模型是否為空isproper判斷