第五章 大數(shù)定律與中心極限定理

第五章大數(shù)定律與中心極限定理第一節(jié)大數(shù)定律一、復(fù)習(xí)切比雪夫不等式

定理1(切比雪夫不等式)設(shè)是一隨機(jī)變量,數(shù)學(xué)期望E(X)與方差D(X)都存在,對(duì)任給常數(shù),有等價(jià)地二、大數(shù)定律

討論“概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義例1擲一枚均勻分幣，出現(xiàn)正面的概率為1/2.例2測(cè)量一個(gè)長(zhǎng)度為a的物體,算術(shù)平均數(shù)逐漸穩(wěn)定到a.大數(shù)定理:就是以確切的數(shù)學(xué)形式表達(dá)大量重復(fù)出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.定義5.1.1設(shè){Xn}是一隨機(jī)變量序列，若對(duì)任意有成立，則稱依概率收斂于X.記為定理5.1.2設(shè){Xn}是一隨機(jī)變量序列，若成立，則稱隨機(jī)變量序列服從大數(shù)定律.二、大數(shù)定律定理1（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)X1,X2,…,Xn是一列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，若存在常數(shù)C，使得則對(duì)任意的有

證明

則令由切比雪夫不等式，有證畢

定理2(切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況)相互獨(dú)立且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:則對(duì)于任意的有此時(shí)稱依概率收斂于記為設(shè)

定理3(伯努利大數(shù)定律)設(shè)nA是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為,則對(duì)于任意的有即頻率依概率收斂于概率即證明令由于故由定理2,知有并且定理4（Markov大數(shù)定律）設(shè)是一隨機(jī)變量序列，若則對(duì)于任意的有證由切貝曉夫不等式得例5.1設(shè){Xn}是一獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若則稱服從大數(shù)定律.證由Markov大數(shù)定律得證.從而定理5（辛欽大數(shù)定律）設(shè)獨(dú)立同分布，數(shù)學(xué)期望均為,則對(duì)于任意的有或第二節(jié)中心極限定理中心極限定理揭示了正態(tài)分布的普遍性。

定理1(林德伯格-列維中心極限定理)設(shè)獨(dú)立同分布,且則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,有由該定理,當(dāng)n很大時(shí),就可以認(rèn)為近似服從正態(tài)分布.定理2(棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理)設(shè)nA是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,有證明令由于并且故由定理1，得證.根據(jù)該定理，若則當(dāng)很大時(shí)，有

例1將一枚硬幣連續(xù)的拋擲1000次,分別計(jì)算出現(xiàn)正面的次數(shù)大于530,550的概率.解設(shè)X為出現(xiàn)正面的次數(shù),則有由棣莫弗-拉普拉斯定理,有同理

例2某車間有同型號(hào)的機(jī)床200部,每部機(jī)器開(kāi)動(dòng)的概率為0.7,假定各機(jī)床開(kāi)關(guān)是相互獨(dú)立的,開(kāi)動(dòng)時(shí)每部機(jī)器要耗電能15個(gè)單位,問(wèn)電廠最少要供應(yīng)該車間多少單位電能,才能以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)?解設(shè)表示某一時(shí)刻機(jī)器開(kāi)動(dòng)的臺(tái)數(shù),則設(shè)電廠至少要供應(yīng)個(gè)單位的電能,則由題意,有由棣莫弗-拉普拉斯定理,有查表得,應(yīng)有故至少須向該車間供應(yīng)2261個(gè)單位的電能,才能以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).

例4一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱的平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.997.解設(shè)是裝運(yùn)的第箱的重量,是所求得箱數(shù),有條件可知,可以把看作是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,而總重量是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和.由林德伯格-列維定理,由題意知并且要求滿足所以必須滿足即最多可以裝98箱。概率論中的關(guān)鍵詞隨機(jī)試驗(yàn),樣本空間,事件,頻率,概率,等可能概型,條件概率,全概率公式,貝葉斯公式,獨(dú)立性,伯努利概型;