定量定理及守恒定律

定量定理及守恒定律第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日一沖量——力對(duì)時(shí)間的累積矢量沖量：元沖量：說明：1沖量是矢量：2獨(dú)立性：多個(gè)力對(duì)同一物體產(chǎn)生的沖量，等于每一個(gè)力單獨(dú)對(duì)物體產(chǎn)生的沖量的矢量和大小方向：沿著平均作用力方向運(yùn)算法則：矢量合成法則可投影在坐標(biāo)系中討論第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日二動(dòng)量定理理解：1沖量是動(dòng)量改變的原因和量度。2動(dòng)量定理具有矢量性。可在坐標(biāo)系中表示即：質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量**.動(dòng)量定理與狀態(tài)相聯(lián)系解題時(shí)比牛律更方便?。?適用慣性參考系1單個(gè)質(zhì)點(diǎn)第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理:對(duì)i質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)量定理：對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和可得：一對(duì)內(nèi)力的沖量能抵消嗎？？答案是肯定的！f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理:

作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日討論：A.適用條件：慣性系

B.內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)量改變量沒有貢獻(xiàn)，但對(duì)其中某一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量改變有貢獻(xiàn)。C.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理同樣具有矢量的獨(dú)立性

第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日１、成立的條件：

Ａ系統(tǒng)根本不受外力或合外力為零。Ｂ系統(tǒng)內(nèi)力很大，外力可以忽略不計(jì)。（如爆炸碰撞打擊等）C系統(tǒng)在某一方向所受合外力為零，系統(tǒng)在該方向動(dòng)量守恒（總動(dòng)量不一定守恒）。***D.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定理：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量守恒。關(guān)于系統(tǒng)動(dòng)量守恒的幾點(diǎn)說明：第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日2動(dòng)量守恒定律是關(guān)于自然界一切過程的一條最基本的定律。它適用于A宏觀粒子系統(tǒng)B電磁場(chǎng)C微觀粒子系統(tǒng)

過程、系統(tǒng)、條件

·用任何守恒定律解題，注意分析:3更普遍的動(dòng)量守恒定律并不依賴牛頓定律。4只適用于慣性系。第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日三動(dòng)量定理的應(yīng)用1.可運(yùn)用動(dòng)量定理求解的問題特征

不考慮中間過程或中間過程很繁雜，而物體系狀態(tài)量易求，或由物體系的狀態(tài)量就可以求解的問題。2.動(dòng)量定理應(yīng)用的常用近似方法

A.平均沖力：由于碰撞問題中作用力的時(shí)間一般很短暫，因而，在沒有特別注明情況下，一般將碰撞過程中隨時(shí)間變化的沖力視為平均力，即平均沖力。B.忽略較小外力。一般情況下，沖力的大小比物體的重力、摩擦力等外力大一到二個(gè)數(shù)量級(jí)，因而，它們?？杀缓雎?。第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日例1:質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，經(jīng)時(shí)間t、以不變的速率v越過一水平光滑軌道60o的彎角.求：軌道作用于質(zhì)點(diǎn)的平均沖力的大小。解：平均沖力可視為恒力,由動(dòng)量定理有

因30omv2v130oij平均沖力根據(jù)對(duì)稱性,易知平均力方向即沿j方向第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日

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特別注意動(dòng)量定理的矢量性!若無對(duì)稱性,一般的可如圖建立坐標(biāo)系，將速度投影大小:，方向：j(y軸正方向)。代入上式得30omv2v130oij第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日解:合外力:練習(xí)：一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在xoy平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為：式中a、b、是正值常數(shù)，且a>b。求：t=0到t=/(2)時(shí)間內(nèi)所受合力的沖量及質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量

∴合力的沖量為：討論:若用動(dòng)量定理來求呢?提示顯然,用定理更簡單!第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日例2如圖，用傳送帶A輸送煤粉，料斗口在A上方高h(yuǎn)=0.8m處煤粉自料斗口自由落在傳送帶A上。設(shè)料斗口連續(xù)卸煤的流量為qm=40kg/s,傳送帶A以v=3m/s勻速向右運(yùn)動(dòng)。求：卸煤的過程中，煤粉對(duì)傳送帶A的平均作用力（不計(jì)相對(duì)傳送帶靜止的煤粉質(zhì)量，取g=10m/s2）

解：煤粉下落h時(shí)的速度

取在時(shí)間dt內(nèi)落下的煤粉dm=qmdt為研究對(duì)象應(yīng)用動(dòng)量理，有：hAvv0yx變質(zhì)量問題第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日平均沖力：大小:|F|=200N，方向與x軸正方向成53.1o.煤粉對(duì)傳送帶A的平均作用力與此力大小相等而方向相反。

此類題型:(質(zhì)量變化且無窮),其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)易知關(guān)鍵是選取質(zhì)量微元為研究對(duì)象寫出常規(guī)的動(dòng)量定理形式．第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日m練習(xí)：一質(zhì)量均勻分布的柔軟的細(xì)繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上。如果把繩的上端放開，繩將落向桌面。試證明：在繩下落的過程中，任意時(shí)刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。

證:設(shè)繩的線密度為,下落長度為h時(shí),繩的速度為取時(shí)間t~t+dt內(nèi)落下的繩dm=.dt為研究對(duì)象Fdmdmg由作用力與反作用關(guān)系，得繩子對(duì)地面的沖力為最后得:N=mg+=3mg即:作用于桌面的壓力是重量的三倍。第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日例3：一柔軟鏈條長為l，單位長度的質(zhì)量為，鏈條放在有一小孔的桌上，鏈條一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周圍．由于某種擾動(dòng),鏈條因自身重量開始下落.m1m2Oyy求：鏈條下落速度v與y之間的關(guān)系．設(shè)各處摩擦均不計(jì)，且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開．仍是變質(zhì)量問題但總質(zhì)量有限,若運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不易知道，則選取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象寫出動(dòng)量定理的微分形式．第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日解

以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統(tǒng)，建立坐標(biāo)系由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分式得則m1m2Oyy兩邊同乘以則第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日練習(xí):一長為l,密度均勻的柔軟鏈條,其單位長度的質(zhì)量為,將其卷成一堆放在地面上,如圖所示.若用手握住鏈條的一端,以加速度a從靜止勻加速上提.當(dāng)鏈條端點(diǎn)離地面的高度為x時(shí),求手提力的大小.解：以鏈條為系統(tǒng),向上為X正向,地面為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系t時(shí)刻,系統(tǒng)總動(dòng)量OX系統(tǒng)受合外力第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日動(dòng)量守恒定律例4：如圖，質(zhì)量為M的物體有一個(gè)四分之一滑槽，靜止在光滑水平面上，質(zhì)量為m的滑塊自其頂部由靜止開始下滑。求：當(dāng)m滑至滑槽底部時(shí)，M移動(dòng)的距離。解：選擇M、m為物體系，由于物體系在水平方向不受外力作用，因而動(dòng)量守恒兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間積分：令于是：注意，vx、s是相對(duì)于地面的水平速度和位移，相對(duì)于滑槽的水平位移為：第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日而討論：A.對(duì)中間過程是變力的運(yùn)動(dòng)過程，用牛頓定律求解，往往很繁雜，此時(shí)，應(yīng)考慮用動(dòng)量定理或動(dòng)量守恒求解。B.求解過程中，并沒有考慮m與M之間是否存在摩擦力，因而，即便存在摩擦力，上述結(jié)果同樣成立。C.此題一個(gè)重要技巧用到(1)式，即兩物體水平位移成比例。這在許多問題中經(jīng)常用到。類似的還有速度、加速度成比例。第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日練習(xí)（高中題目）如圖所示，一輛質(zhì)量為M的平頂小車靜止在光滑的水平軌道上，今有一質(zhì)量為m的小物體以水平速度o滑向車頂。設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為，求:(1)從物體滑上車頂?shù)较鄬?duì)車頂靜止需多少時(shí)間？(2)要物體不滑下車頂，車長至少應(yīng)為多少？

M0m解(M+m):水平方向不受外力，故動(dòng)量守恒：mo=(M+m)

式中是相對(duì)靜止時(shí)的速度。(1)對(duì)物體m應(yīng)用動(dòng)量定理，有-mg.t=m-mo解得第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日(2)要物體不滑下車頂，車長至少應(yīng)為多少？M0mm相對(duì)地面的加速度：a=-gm相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的距離：S1=(2-02)/2a

M相對(duì)地面的加速度：a0=mg/MM相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的距離：S2=2/2a0=mo/=(M+m)故車的最小長度為第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日另解：由于一對(duì)內(nèi)力(摩擦力)的功與參考系無關(guān),可取車為參考系來計(jì)算摩擦力的功,由系統(tǒng)動(dòng)能定理得要物體不滑下車頂,車的最小