定量定理及守恒定律

定量定理及守恒定律第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日一沖量——力對時間的累積矢量沖量：元沖量：說明：1沖量是矢量：2獨立性：多個力對同一物體產(chǎn)生的沖量，等于每一個力單獨對物體產(chǎn)生的沖量的矢量和大小方向：沿著平均作用力方向運算法則：矢量合成法則可投影在坐標系中討論第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日二動量定理理解：1沖量是動量改變的原因和量度。2動量定理具有矢量性。可在坐標系中表示即：質(zhì)點所受合外力的沖量等于質(zhì)點動量的改變量**.動量定理與狀態(tài)相聯(lián)系解題時比牛律更方便??！3適用慣性參考系1單個質(zhì)點第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日2質(zhì)點系的動量定理:對i質(zhì)點運用動量定理：對所有質(zhì)點求和可得：一對內(nèi)力的沖量能抵消嗎？？答案是肯定的！f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin質(zhì)點系動量定理:

作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日討論：A.適用條件：慣性系

B.內(nèi)力對質(zhì)點組總動量改變量沒有貢獻，但對其中某一質(zhì)點的動量改變有貢獻。C.質(zhì)點系的動量定理同樣具有矢量的獨立性

第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日１、成立的條件：

Ａ系統(tǒng)根本不受外力或合外力為零。Ｂ系統(tǒng)內(nèi)力很大，外力可以忽略不計。（如爆炸碰撞打擊等）C系統(tǒng)在某一方向所受合外力為零，系統(tǒng)在該方向動量守恒（總動量不一定守恒）。***D.質(zhì)點系的動量守恒定理：當質(zhì)點系所受合外力為零時，質(zhì)點系的總動量守恒。關(guān)于系統(tǒng)動量守恒的幾點說明：第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日2動量守恒定律是關(guān)于自然界一切過程的一條最基本的定律。它適用于A宏觀粒子系統(tǒng)B電磁場C微觀粒子系統(tǒng)

過程、系統(tǒng)、條件

·用任何守恒定律解題，注意分析:3更普遍的動量守恒定律并不依賴牛頓定律。4只適用于慣性系。第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日三動量定理的應(yīng)用1.可運用動量定理求解的問題特征

不考慮中間過程或中間過程很繁雜，而物體系狀態(tài)量易求，或由物體系的狀態(tài)量就可以求解的問題。2.動量定理應(yīng)用的常用近似方法

A.平均沖力：由于碰撞問題中作用力的時間一般很短暫，因而，在沒有特別注明情況下，一般將碰撞過程中隨時間變化的沖力視為平均力，即平均沖力。B.忽略較小外力。一般情況下，沖力的大小比物體的重力、摩擦力等外力大一到二個數(shù)量級，因而，它們常可被忽略。第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日例1:質(zhì)量為m的質(zhì)點，經(jīng)時間t、以不變的速率v越過一水平光滑軌道60o的彎角.求：軌道作用于質(zhì)點的平均沖力的大小。解：平均沖力可視為恒力,由動量定理有

因30omv2v130oij平均沖力根據(jù)對稱性,易知平均力方向即沿j方向第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日

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特別注意動量定理的矢量性!若無對稱性,一般的可如圖建立坐標系，將速度投影大小:，方向：j(y軸正方向)。代入上式得30omv2v130oij第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日解:合外力:練習(xí)：一質(zhì)量為m的質(zhì)點在xoy平面上運動，其位置矢量為：式中a、b、是正值常數(shù)，且a>b。求：t=0到t=/(2)時間內(nèi)所受合力的沖量及質(zhì)點動量的改變量

∴合力的沖量為：討論:若用動量定理來求呢?提示顯然,用定理更簡單!第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日例2如圖，用傳送帶A輸送煤粉，料斗口在A上方高h=0.8m處煤粉自料斗口自由落在傳送帶A上。設(shè)料斗口連續(xù)卸煤的流量為qm=40kg/s,傳送帶A以v=3m/s勻速向右運動。求：卸煤的過程中，煤粉對傳送帶A的平均作用力（不計相對傳送帶靜止的煤粉質(zhì)量，取g=10m/s2）

解：煤粉下落h時的速度

取在時間dt內(nèi)落下的煤粉dm=qmdt為研究對象應(yīng)用動量理，有：hAvv0yx變質(zhì)量問題第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日平均沖力：大小:|F|=200N，方向與x軸正方向成53.1o.煤粉對傳送帶A的平均作用力與此力大小相等而方向相反。

此類題型:(質(zhì)量變化且無窮),其運動狀態(tài)易知關(guān)鍵是選取質(zhì)量微元為研究對象寫出常規(guī)的動量定理形式．第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日m練習(xí)：一質(zhì)量均勻分布的柔軟的細繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上。如果把繩的上端放開，繩將落向桌面。試證明：在繩下落的過程中，任意時刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。

證:設(shè)繩的線密度為,下落長度為h時,繩的速度為取時間t~t+dt內(nèi)落下的繩dm=.dt為研究對象Fdmdmg由作用力與反作用關(guān)系，得繩子對地面的沖力為最后得:N=mg+=3mg即:作用于桌面的壓力是重量的三倍。第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日例3：一柔軟鏈條長為l，單位長度的質(zhì)量為，鏈條放在有一小孔的桌上，鏈條一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周圍．由于某種擾動,鏈條因自身重量開始下落.m1m2Oyy求：鏈條下落速度v與y之間的關(guān)系．設(shè)各處摩擦均不計，且認為鏈條軟得可以自由伸開．仍是變質(zhì)量問題但總質(zhì)量有限,若運動狀態(tài)不易知道，則選取整個系統(tǒng)為研究對象寫出動量定理的微分形式．第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日解

以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統(tǒng)，建立坐標系由質(zhì)點系動量定理的微分式得則m1m2Oyy兩邊同乘以則第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日練習(xí):一長為l,密度均勻的柔軟鏈條,其單位長度的質(zhì)量為,將其卷成一堆放在地面上,如圖所示.若用手握住鏈條的一端,以加速度a從靜止勻加速上提.當鏈條端點離地面的高度為x時,求手提力的大小.解：以鏈條為系統(tǒng),向上為X正向,地面為原點建立坐標系t時刻,系統(tǒng)總動量OX系統(tǒng)受合外力第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日動量守恒定律例4：如圖，質(zhì)量為M的物體有一個四分之一滑槽，靜止在光滑水平面上，質(zhì)量為m的滑塊自其頂部由靜止開始下滑。求：當m滑至滑槽底部時，M移動的距離。解：選擇M、m為物體系，由于物體系在水平方向不受外力作用，因而動量守恒兩邊同時對時間積分：令于是：注意，vx、s是相對于地面的水平速度和位移，相對于滑槽的水平位移為：第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日而討論：A.對中間過程是變力的運動過程，用牛頓定律求解，往往很繁雜，此時，應(yīng)考慮用動量定理或動量守恒求解。B.求解過程中，并沒有考慮m與M之間是否存在摩擦力，因而，即便存在摩擦力，上述結(jié)果同樣成立。C.此題一個重要技巧用到(1)式，即兩物體水平位移成比例。這在許多問題中經(jīng)常用到。類似的還有速度、加速度成比例。第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日練習(xí)（高中題目）如圖所示，一輛質(zhì)量為M的平頂小車靜止在光滑的水平軌道上，今有一質(zhì)量為m的小物體以水平速度o滑向車頂。設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為，求:(1)從物體滑上車頂?shù)较鄬図旍o止需多少時間？(2)要物體不滑下車頂，車長至少應(yīng)為多少？

M0m解(M+m):水平方向不受外力，故動量守恒：mo=(M+m)

式中是相對靜止時的速度。(1)對物體m應(yīng)用動量定理，有-mg.t=m-mo解得第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日(2)要物體不滑下車頂，車長至少應(yīng)為多少？M0mm相對地面的加速度：a=-gm相對地面運動的距離：S1=(2-02)/2a

M相對地面的加速度：a0=mg/MM相對地面運動的距離：S2=2/2a0=mo/=(M+m)故車的最小長度為第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日另解：由于一對內(nèi)力(摩擦力)的功與參考系無關(guān),可取車為參考系來計算摩擦力的功,由系統(tǒng)動能定理得要物體不滑下車頂,車的最小