導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念第一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日一、引言典型背景示例[例]自由落體在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對(duì)牛頓“無(wú)窮小量”說(shuō)法的質(zhì)疑引起的。第二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

1．危機(jī)的引發(fā)

1）牛頓的“無(wú)窮小”牛頓的微積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問(wèn)題。我們來(lái)看一個(gè)例子。微積分的一個(gè)來(lái)源，是想求運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。在牛頓之前，只能求一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，無(wú)法求某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。第三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

例如，設(shè)自由落體在時(shí)間下落的距離為，有公式，其中是固定的重力加速度。我們要求物體在的瞬時(shí)速度，先求。∴（*）第四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日第五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)變成無(wú)窮小時(shí)，右端的也變成無(wú)窮小，因而上式右端就可以認(rèn)為是，這就是物體在時(shí)的瞬時(shí)速度，它是兩個(gè)無(wú)窮小之比。牛頓的這一方法很好用，解決了大量過(guò)去無(wú)法解決的科技問(wèn)題。但是邏輯上不嚴(yán)格，遭到責(zé)難。第六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

2）貝克萊的發(fā)難英國(guó)的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。貝克萊問(wèn)道：“無(wú)窮小”作為一個(gè)量，究竟是不是0？第七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

如果是0，上式左端當(dāng)成無(wú)窮小后分母為0，就沒(méi)有意義了。如果不是0，上式右端的就不能任意去掉。

在推出上式時(shí)，假定了才能做除法，所以上式的成立是以為前提的。那么，為什么又可以讓而求得瞬時(shí)速度呢？

因此，牛頓的這一套運(yùn)算方法，就如同從出發(fā)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒謬。（*）第八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

貝克萊還諷刺挖苦說(shuō)：既然和都變成“無(wú)窮小”了，而無(wú)窮小作為一個(gè)量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。這就是著名的“貝克萊悖論”。對(duì)牛頓微積分的這一責(zé)難并不是由數(shù)學(xué)家提出的，但是第九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日貝克萊的質(zhì)問(wèn)是擊中要害的數(shù)學(xué)家在將近200年的時(shí)間里，不能徹底反駁貝克萊的責(zé)難。直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責(zé)難。直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“

”語(yǔ)言，才徹底地反駁了貝克萊的責(zé)難。第十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日3）實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，貝克萊的責(zé)難是有道理的?！盁o(wú)窮小”的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛頓和當(dāng)時(shí)的其它數(shù)學(xué)家并不能在邏輯上嚴(yán)格說(shuō)清“無(wú)窮小”的方法。數(shù)學(xué)家們相信它，只是由于它使用起來(lái)方便有效，并且得出的結(jié)果總是對(duì)的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責(zé)。這表明，在大多數(shù)人的腦海里，“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)?！钡谑豁?yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

危機(jī)的實(shí)質(zhì)

應(yīng)該說(shuō)，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說(shuō)，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。第十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

其實(shí)，在牛頓把瞬時(shí)速度說(shuō)成“物體所走的無(wú)窮小距離與所用的無(wú)窮小時(shí)間之比”的時(shí)候，這種說(shuō)法本身就是不明確的，是含糊的。當(dāng)然，牛頓也曾在他的著作中說(shuō)明，所謂“最終的比”，就是分子、分母要成為0還不是0時(shí)的比——例如（*）式中的gt，它不是“最終的量的比”，而是“比所趨近的極限”。他這里雖然提出和使用了“極限”這個(gè)詞，但并沒(méi)有明確說(shuō)清這個(gè)詞的意思。第十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

德國(guó)的萊布尼茨雖然也同時(shí)發(fā)明了微積分，但是也沒(méi)有明確給出極限的定義。正因?yàn)槿绱?，此后近二百年間的數(shù)學(xué)家，都不能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。所以，由“無(wú)窮小”引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，實(shí)質(zhì)上是缺少嚴(yán)密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)。第十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日牛頓萊布尼茨第十五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日2．危機(jī)的解決

1）必要性微積分雖然在發(fā)展，但微積分邏輯基礎(chǔ)上存在的問(wèn)題是那樣明顯，這畢竟是數(shù)學(xué)家的一塊心病。第十六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

而且，隨著時(shí)間的推移，研究范圍的擴(kuò)大，類似的悖論日益增多。數(shù)學(xué)家在研究無(wú)窮級(jí)數(shù)的時(shí)候，做出許多錯(cuò)誤的證明，并由此得到許多錯(cuò)誤的結(jié)論。由于沒(méi)有嚴(yán)格的極限理論作為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)家們?cè)谟邢夼c無(wú)限之間任意通行（不考慮無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的問(wèn)題）。

第十七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

因此，進(jìn)入19世紀(jì)時(shí)，一方面微積分取得的成就超出人們的預(yù)料，另一方面，大量的數(shù)學(xué)理論沒(méi)有正確、牢固的邏輯基礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)結(jié)論是正確無(wú)誤的。

歷史要求為微積分學(xué)說(shuō)奠基。第十八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日2）嚴(yán)格的極限理論的建立到19世紀(jì)，一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴(yán)格的極限理論，并把它作為微積分的基礎(chǔ)。應(yīng)該指出，嚴(yán)格的極限理論的建立是逐步的、漫長(zhǎng)的。第十九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日①在18世紀(jì)時(shí)，人們已經(jīng)建立了極限理論，但那是初步的、粗糙的。②達(dá)朗貝爾（法）在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。③19世紀(jì)初，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾開(kāi)始將嚴(yán)格的論證引入數(shù)學(xué)分析，他寫的《無(wú)窮的悖論》一書中包含許多真知灼見(jiàn)。第二十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日④而做出決定性工作、可稱為分析學(xué)的奠基人的是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（A.L.Cauchy,1789—1857）。他在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無(wú)窮小計(jì)算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。他對(duì)極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書上的差不太多了。第二十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日柯西波爾查諾第二十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日3）嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論的建立

①對(duì)以往理論的再認(rèn)識(shí)后來(lái)的一些發(fā)現(xiàn)，使人們認(rèn)識(shí)到，極限理論的進(jìn)一步嚴(yán)格化，需要實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格化。微積分或者說(shuō)數(shù)學(xué)分析，是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的。但是，下邊兩件事，表明極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依賴比人們想象的要深?yuàn)W得多。第二十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

一件事是，1874年德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（，1815—1897）構(gòu)造了一個(gè)“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”。

“連續(xù)函數(shù)”在直觀上是“函數(shù)曲線沒(méi)有間斷，連在一起”，而“函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)”直觀上是“函數(shù)曲線在該點(diǎn)有切線”。所以，在直觀上“連續(xù)”與“可導(dǎo)”有密切的聯(lián)系。這之前甚至有人還證明過(guò)：函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)上都可導(dǎo)（當(dāng)然是錯(cuò)誤的）。因此根本不可想象，還會(huì)有“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”。

第二十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

魏爾斯特拉斯(1815～1897)

德意志帝國(guó)數(shù)學(xué)家。1815年10月31日生于威斯特法倫州的奧斯滕費(fèi)爾德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律和財(cái)政。1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)。1842～1856年，先后在幾所中學(xué)任教。1854年3月31日獲得柯尼斯堡大學(xué)名譽(yù)博士學(xué)位。1856年10月受聘為柏林大學(xué)助理教授，同年成為柏林科學(xué)院成員，1864年升為教授。第二十五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

魏爾斯特拉斯關(guān)于

“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”的例子是

其中是奇數(shù)，，。第二十六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

另一件事是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（B.Riemann，1826—1866）發(fā)現(xiàn)，柯西把定積分限制于連續(xù)函數(shù)是沒(méi)有必要的。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。黎曼還造出一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量取無(wú)理數(shù)時(shí)它是連續(xù)的，當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)它是不連續(xù)的。（x為無(wú)理數(shù)時(shí)y=0；x=q/p既約時(shí)y=1/p

）第二十七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

黎曼

1826年9月17日，黎曼生于德國(guó)北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個(gè)鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開(kāi)始上學(xué)，14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)，19歲按其父親的意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)，1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為高斯晚年的學(xué)生。

第二十八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

這些例子使數(shù)學(xué)家們?cè)絹?lái)越明白，在為分析建立一個(gè)完善的基礎(chǔ)方面，還需要再前進(jìn)一步：即需要理解和闡明實(shí)數(shù)系的更深刻的性質(zhì)。第二十九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

②魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)

德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（KarlWeierstrass，1815—1897）的努力，終于使分析學(xué)從完全依靠運(yùn)動(dòng)學(xué)、直觀理解和幾何概念中解放出來(lái)。他的成功產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，主要表現(xiàn)在兩方面，一方面是建立了實(shí)數(shù)系，另一方面是創(chuàng)造了精確的“”語(yǔ)言。第三十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

“

”語(yǔ)言的成功，表現(xiàn)在：這一語(yǔ)言給出極限的準(zhǔn)確描述，消除了歷史上各種模糊的用語(yǔ)，諸如“最終比”、“無(wú)限地趨近于”，等等。這樣一來(lái)，分析中的所有基本概念都可以通過(guò)實(shí)數(shù)和它們的基本運(yùn)算和關(guān)系精確地表述出來(lái)。第三十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日4）極限的“

”定義及“貝克萊悖論”的消除

①極限的“

”定義第三十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

危機(jī)的消解“

”語(yǔ)言的成功，表現(xiàn)在：這一語(yǔ)言給出極限的準(zhǔn)確描述，消除了歷史上各種模糊的用語(yǔ)，諸如“最終比”、“無(wú)限地趨近于”，等等。這樣一來(lái)，分析中的所有基本概念都可以通過(guò)實(shí)數(shù)和它們的基本運(yùn)算和關(guān)系精確地表述出來(lái)。第三十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

定義：設(shè)函數(shù)在的附近都有定義，如果有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)都，使當(dāng)時(shí)，有我們就說(shuō)“函數(shù)在趨近于時(shí)，有極限”。

記為。

第三十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

由極限的這個(gè)“”定義，可以求出一些基本的極限，并嚴(yán)格地建立一整套豐富的極限理論。簡(jiǎn)單說(shuō)，例如有

兩個(gè)相等的函數(shù)，取極限后仍相等；兩個(gè)函數(shù)，和的極限等于極限的和。等等。第三十五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

②“貝克萊悖論”的消除

回到牛頓的（*）式上：（*）這是在（即）條件下，得到的等式；它表明時(shí)間內(nèi)物體的平均速度為。（*）式等號(hào)兩邊都是的函數(shù)。然后，我們把物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度定義為：上述平均速度當(dāng)趨于0時(shí)的極限，即物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度=。第三十六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

下邊我們對(duì)（*）式的等號(hào)兩邊同時(shí)取極限，根據(jù)“兩個(gè)相等的函數(shù)取極限后仍相等”，得瞬時(shí)速度=再根據(jù)“兩個(gè)函數(shù)和的極限等于極限的和”，得然后再求極限得

瞬時(shí)速度第三十七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

上述過(guò)程所得結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論是一樣的，但每一步都有了嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)?！柏惪巳R悖論”的焦點(diǎn)“無(wú)窮小量是不是0？”，在這里給出了明確的回答：。這里也沒(méi)有“最終比”或“無(wú)限趨近于”那樣含糊不清的說(shuō)法。第三十八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

總之，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的核心是微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固?？挛鞯呢暙I(xiàn)在于，將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)。魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)在于，邏輯地構(gòu)造了實(shí)數(shù)系，建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，使之成為極限理論的基礎(chǔ)。所以，建立微積分基礎(chǔ)的“邏輯順序”是：實(shí)數(shù)理論—極限理論—微積分。

而“歷史順序”則正好相反。第三十九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日知識(shí)的邏輯順序與歷史順序有時(shí)是不同的.第四十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)、導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)定義：第四十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日