山東省棗莊市2023屆高三上學期期末質量檢測(一調)(理)數學試題

2023屆高三第一學期期末質量檢測高三數學（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、選擇題：本大題共10個小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A．B．C．D．2.直線的傾斜角的大小是（）A．B．C．D．4.已知實數滿足，則的最小值為（）A．2B．3C．4D．55.設，則這三個數的大小關系是（）A．B．C．D．6.已知命題；命題，函數在上為減函數，則下列命題為真命題的是（）A．B．C．D．7.若函數的圖象向左平移個單位，得到的函數圖象的對稱中心與圖象的對稱中心重合，則的最小值是（）A．1B．2C．4D．88.已知，若對，則的形狀為（）A．必為銳角三角形B．必為直角三角形C．必為鈍角三角形D．答案不確定9.函數的零點的個數為（）A．3B．410.已知圓C：，點P在直線上，若圓C上存在兩點A，B使得，則點P的橫坐標的取值范圍為（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共100分）二、填空題（每題5分，滿分25分，將答案填在答題紙上）11.已知隨機變量，且，則.12.已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則=.13.觀察下列等式：……照此規(guī)律，第個等式為.14.某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖的外輪廓是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是.15.已知直線與拋物線交于A、B兩點，O為坐標原點，OA⊥OB，OD⊥AB于D，點D在曲線上，則.三、解答題（本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）16.（本小題滿分12分）已知直線與直線是函數的圖象的兩條相鄰的對稱軸.（1）求的值；（2）若，，求的值.17.（本小題滿分12分）已知等比數列的前n項和為，，公比，成等差數列.（1）求；（2）設，求數列的前項和.18.（本小題滿分12分）甲、乙、丙三位學生各自獨立地解同一道題，甲做對的概率為，乙、丙做對的概率分別為，且三位學生是否做對相互獨立，記為這三位學生中做對該題的人數，其分布列為：0123（1）求至少有一位學生做對該題的概率；（2）求的值；（3）求的數學期望.19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱⊥底面，，是的中點.（1）求證：//平面；（2）求銳二面角的大小.20.（本小題滿分13分）已知橢圓上一點與它的左、右兩個焦點的距離之和為，且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，點A為橢圓上一動點（非長軸端點），的延長線與橢圓交于B點，AO的延長線與橢圓交于C點.(i)當直線AB的斜率存在時，求證：直線AB與BC的斜率之積為定值；(ii)求△ABC面積的最大值，并求此時直線AB的方程.21.（本小題滿分14分）已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若當時，恒成立，求實數的取值范圍；（3）的極小值為,當時，求證：.(為自然對數的底)二○一六屆高三第一學期期末質量檢測高三數學（理科）參考答案及評分標準2023.1選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．DBDAAACCBD二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11.12.13.14.15.三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.解：(1)因為直線、是函數圖象的兩條相鄰的對稱軸，所以，即.………5分又因為，所以………6分(2)由(1)，得.由題意，.………………7分由，得.從而.…………8分…………10分………………12分17.解：(1)因為成等差數列，所以.…………1分化簡得.……………………3分所以.因為，所以.………4分故……………………6分(2)…………8分…………………10分………12分18.解：（1）至少有一位學生做對該題的概率為………………4分（2）由題意，得………………6分又，解得，………8分（3）由題意，………………9分……10分…………12分19.（1）解法一：如圖，以為坐標原點，分別以所在的方向為的正方向，建立空間直角坐標系則.…2分法一：設即解得所以又平面，所以平面.…………4分法二：取的中點，則，.所以，所以又平面，平面，所以平面.……4分法三：設為平面的一個法向量，則，即取，則于是又，所以所以.又平面，所以平面.……4分解法二：連接，設因為是正方形，所以是線段的中點.又是線段的中點，所以，是△的中位線.所以…………2分又平面，平面，所以平面.………………4分（2）解法一：由（1）中的解法一，，.設為平面的一個法向量，則，.取，則.于是………………7分因為是正方形，所以因為底面，所以又，所以平面所以是平面的一個法向量.………………10分所以.…………11分所以，銳二面角的大小為.…………………12分解法二：如圖，設在中，過作于，連接…………5分因為四邊形是正方形，所以，即…………6分因為側棱底面，平面，所以…………7分又，，所以平面所以………8分又，，所以平面所以從而就是二面角的一個平面角…9分在中，……11分在中，所以所以二面角的大小為………………12分20.解：（1）設橢圓的半焦距為因為雙曲線的離心率為，所以橢圓的離心率為，即.………………1分由題意，得.解得……………………2分于是，.故橢圓的方程為.……3分（2）（i）設，則.由于點與點關于原點對稱，所以.故直線與的斜率之積為定值.…………6分（ii）設直線的方程為，，由消去并整理，得………7分因為直線與橢圓交于兩點，所以…………8分法一：………………9分點到直線的距離.………………10分因為是線段的中點，所以點到直線的距離為.……………11分令，則.，………………12分當且僅當，即，亦即時，面積的最大值為.此時直線的方程為.…………13分法二：由題意，……………9分…………11分以下過程同方法一.21.解：(1).………………1分則.又，所以，曲線在點處的切線方程為.…………3分(2)解法1：由(1)得.①當時，因為為增函數，所以當時，，因此.當且僅當，且時等號成立.所以在上為增函數.因此，當時，.所以，滿足題意.………………6分②當時，由，得.解得.因為，所以，所以當時，，因此在上為減函數.所以當時，，不合題意.綜上所述，實數的取值范圍是.………………9分解法2：.令，則.…………4分當時，.由，得.因此，當時，，當且僅當，且時等號成立.所以在上為增函數.因此，當時，，此時.所以，滿足題意.…………………7分當時，由，得.當時，，因此在上為減函數.所以，當時，.此時，不合題意.綜上，實數的取值范圍是.……9分方法3：當時，滿足題意.時，.…………4分令，則,.上述不等式可化為.令，則在上恒成立..令，則當時，，在上為增函數.因此，當時,.所以，當時,，所以在上為增函數.……………6分令，由導數定義得.又，所以.因此，當時，恒大于.………8分所以，實數的取值范圍是.………………9分(3)由，得，