數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀第一章

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材分析第一章數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的時代背景

掌握數(shù)學(xué)的價值以及數(shù)學(xué)教育的價值；理解社會發(fā)展對數(shù)學(xué)課程的期望；了解我國數(shù)學(xué)課程的發(fā)展?fàn)顩r；掌握國際數(shù)學(xué)課程的改革經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)教育的價值

對數(shù)學(xué)價值的認(rèn)識對數(shù)學(xué)教育價值的認(rèn)識對數(shù)學(xué)價值的認(rèn)識數(shù)學(xué)為探索自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象的基本規(guī)律提供了重要的語言、工具與技術(shù)；數(shù)學(xué)為人類進(jìn)步與社會發(fā)展提供了重要的思想、方法與模式。

作為語言的數(shù)學(xué)

自然這部書是用數(shù)學(xué)的語言寫成的——伽利略在自然科學(xué)的研究中，正因?yàn)槭褂昧嗣靼锥啙嵉臄?shù)學(xué)語言，才使得理論研究有可能更加深入。數(shù)學(xué)語言：文字語言、符號語言、圖形語言

數(shù)學(xué)語言的發(fā)展

記數(shù)符號語言；代數(shù)符號語言；牛頓-萊布尼茨創(chuàng)立微積分使用的符號語言；19世紀(jì)中葉出現(xiàn)的ε-N，ε-δ語言；集合論語言以及數(shù)理邏輯語言；處理高維空間圖形所采用的同倫與同調(diào)等基本語言；以計算機(jī)程序化為特征的機(jī)器語言。數(shù)學(xué)語言的優(yōu)越性數(shù)學(xué)語言符號系統(tǒng)的優(yōu)越性在于它的精確化與簡約性。量子力學(xué)創(chuàng)始人波爾指出：“數(shù)學(xué)語言的精確化，給普通語言補(bǔ)充了適當(dāng)?shù)墓ぞ邅肀硎鲆恍╆P(guān)系，對這些關(guān)系用普通的語句是不精確的或者過于糾纏的?！睈垡蛩固拐J(rèn)為，理論物理學(xué)在描述各種關(guān)系時，要求盡可能達(dá)到最高標(biāo)準(zhǔn)的嚴(yán)格精確性，只有運(yùn)用數(shù)學(xué)語言才能做到。數(shù)學(xué)語言是科學(xué)的通用語言在今天，不僅物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等自然科學(xué)要運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，而且社會科學(xué)和人文科學(xué)也加入到運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的行列。馬克思指出，一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時,才算達(dá)到了真正完善的地步。數(shù)學(xué)語言是世界通用語言數(shù)學(xué)語言是世界各國各民族的通用語言。數(shù)學(xué)語言比任何語言都更具世界性。世界各國一般都普遍重視“母語”、“外語”和“數(shù)學(xué)”這三門主科，這三門功課實(shí)際上都是關(guān)于語言的，前兩種屬于日常用語，而數(shù)學(xué)則是科學(xué)用語。使用數(shù)學(xué)語言可以使得人們在表達(dá)思想時做到清晰、準(zhǔn)確、簡潔，在處理問題時能夠?qū)栴}中的各種因素之間的復(fù)雜關(guān)系表述得條理清楚、邏輯連貫、結(jié)構(gòu)分明。用勾股定理與外星人聯(lián)系華羅庚先生曾在他的文章中寫道：“如果我們的宇宙航船到了一個星球上，那里也有和我們一樣的高級生物，我們用什么東西作為我們之間的媒介？帶幅畫去吧，那邊風(fēng)景殊，不了解，帶一段錄音去吧，也不能溝通。我看最好帶兩個圖形去，一個‘?dāng)?shù)’，一個‘?dāng)?shù)形關(guān)系’（勾股定理），…”

作為工具的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)不僅為人們的日常生活中的各種問題的解決提供常規(guī)的數(shù)學(xué)工具，也為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展甚至是新技術(shù)領(lǐng)域的開辟提供專用的工具，更為各門學(xué)科中形形色色問題的解決以及理論基礎(chǔ)的建構(gòu)提供特有的工具。數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的工具利用數(shù)學(xué)作為工具探索自然現(xiàn)象的例子，在科學(xué)史上可以說是俯拾皆是。天文學(xué)中托勒密的地心說—哥白尼的日心說—開普勒的行星運(yùn)行三大定律—伽利略的力學(xué)和天文學(xué)研究—牛頓的萬有引力。（《周髀算經(jīng)》其實(shí)是天文學(xué)著作）數(shù)學(xué)作為人文科學(xué)的工具在眾多人文學(xué)科中，運(yùn)用數(shù)學(xué)最早、迄今最為成功、成果也最為顯著的當(dāng)推經(jīng)濟(jì)學(xué)。計量史學(xué)運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計方法，分析人類歷史上的人口、戶籍、生產(chǎn)量、進(jìn)出口貿(mào)易額等數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋，進(jìn)而作出預(yù)測；數(shù)量考古學(xué)利用碳-14斷代技術(shù)測定出土文物、古跡化石的年代，從而為最后的科學(xué)判斷提供依據(jù)。計算機(jī)使得數(shù)學(xué)工具更具威力由于計算機(jī)技術(shù)與數(shù)學(xué)的“完美聯(lián)姻”，在傳統(tǒng)的邏輯演繹與實(shí)驗(yàn)研究之間產(chǎn)生了一種新的數(shù)學(xué)認(rèn)識方法，這就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。當(dāng)代對天文學(xué)中超新星的爆炸過程，地質(zhì)學(xué)中地殼運(yùn)動以及人口控制、人身健康、戰(zhàn)爭結(jié)果等，都無法在實(shí)驗(yàn)室對其本身進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，卻可以借助計算機(jī)通過數(shù)學(xué)模型的模擬來對各種理論解釋進(jìn)行實(shí)際檢驗(yàn)。

作為技術(shù)的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)具有技術(shù)的品質(zhì)是數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)果（如丈量土地、編制歷法）；數(shù)學(xué)具有技術(shù)的品質(zhì)是數(shù)學(xué)應(yīng)用的結(jié)果（如運(yùn)籌學(xué)、控制論、華羅庚的優(yōu)選法）

作為思想的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)思想應(yīng)包括兩個部分：論證的思想和公理化的思想。論證的思想是邏輯地論證，不是一般的歸納。（東西方古代數(shù)學(xué)的差異所在：歸納與演繹、經(jīng)驗(yàn)與理性）公理化思想是對在實(shí)踐中或理論中得到的一些零散的、不系統(tǒng)的思想和方法進(jìn)行分析，找出一些不證自明的前提（公理），從這些前提出發(fā)，進(jìn)行邏輯地論證，形成嚴(yán)密的體系。（歐幾里得幾何、牛頓力學(xué)體系、美國的獨(dú)立宣言等）歐幾里得公理化的思想受到了某種哲學(xué)思想的影響．古希臘時代，占主流的知識分子大都認(rèn)為自然界是按照數(shù)學(xué)的規(guī)律運(yùn)行的，所以非常重視數(shù)學(xué)，才由此形成對數(shù)學(xué)的整理、系統(tǒng)化，出現(xiàn)了歐幾里得幾何．后來笛卡兒的思想、希爾伯特的形式主義、羅素主義等，都受著某種哲學(xué)思想的指導(dǎo)．因此，他們不僅僅研究純粹數(shù)學(xué)，而且描述自然界．我國古代社會和文化傳統(tǒng)對于數(shù)學(xué)直至科學(xué)技術(shù)并不重視，只是作為編制歷書、工程、運(yùn)輸、管理等方面的計算方法．在這種背景下，我國古代可以提出一些很好的算法或樸素的概念和思想，如位值制、負(fù)數(shù)、無限小數(shù)、極限的思想，但沒有上升到理論體系，在文化傳統(tǒng)中不占主流地位。數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具。數(shù)學(xué)科學(xué)是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等科學(xué)的基礎(chǔ)，并在經(jīng)濟(jì)科學(xué)、社會科學(xué)、人文科學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮越來越大的作用。數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛，正在不斷地滲透到社會生活的方方面面，它與計算機(jī)技術(shù)的結(jié)合在許多方面直接為社會創(chuàng)造價值，推動著社會生產(chǎn)力的發(fā)展。數(shù)學(xué)在形成人類理性思維和促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用。數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素質(zhì)是公民所必須具備的一種基本素質(zhì)?！浴镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》

作為方法的數(shù)學(xué)

從方法論的角度看，數(shù)學(xué)作為人類認(rèn)識世界與改造世界的方法是獨(dú)特的。這種獨(dú)特性集中體現(xiàn)在兩個方面：數(shù)量分析與模式抽象。數(shù)學(xué)所反映的并不是客觀事物和現(xiàn)象的質(zhì)的內(nèi)容，而僅僅是量的屬性。從數(shù)量關(guān)系的角度反映各種不同領(lǐng)域諸多問題的本質(zhì)聯(lián)系，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)方法的普適性特點(diǎn)。從而也使得人類獲得更加深刻的洞察力，促進(jìn)人類對客觀世界的理解程度。數(shù)學(xué)方法強(qiáng)調(diào)模式抽象數(shù)學(xué)與其他學(xué)科相比，最主要的也是最基本的特點(diǎn)，就是它所研究的對象是抽象化的思維材料。數(shù)學(xué)對象，諸如點(diǎn)、線、面、體、群、環(huán)、域、方程、函數(shù)、算子、空間、向量，等等，雖然可以找到它們形成的客觀背景，但現(xiàn)實(shí)世界中并沒有這些對象的實(shí)際存在，它們是人類思維的產(chǎn)物。由于數(shù)學(xué)對象是抽象的形式化的思想材料，這就決定了數(shù)學(xué)研究活動必然是以思辨的方式，也就是數(shù)學(xué)研究活動是人類抽象的思想活動。

作為模式的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)作為一門抽象性學(xué)科，主要是研究理想化的“量化模式”。一般說來，數(shù)學(xué)模式是指按照某種理想化的要求(或?qū)嶋H可應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn))來反映(或概括地表現(xiàn))一類或一種事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)形式。例如，自然數(shù)是數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生最早的模式，三角形、圓、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等都是一些常見的數(shù)學(xué)模式。數(shù)學(xué)模式具有一定的特性，具體表現(xiàn)在如下兩個方面：第一，就模式這個概念而言，數(shù)學(xué)模式都必須具有精確性、一定條件下的普適性與邏輯上的演繹性；第二，就模式的研究活動而言，數(shù)學(xué)模式的研究必須遵循：真理性，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)性；形式化，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的抽象性；層次性和多樣性，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。直線分平面、平面分空間、圓分平面的區(qū)域數(shù)。數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)1988年，美國著名數(shù)學(xué)家、美國數(shù)學(xué)聯(lián)合會前主席斯蒂恩，在《科學(xué)》雜志上發(fā)表論文，提出“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)”，并闡述了模式對于數(shù)學(xué)的重要作用——數(shù)學(xué)家在數(shù)中、在空間中、在科學(xué)中、在計算機(jī)中以及在想象中尋找模式，數(shù)學(xué)理論解釋模式間的關(guān)系;函數(shù)和映射、算子和映射將一類模式與另一類模式聯(lián)系起來，產(chǎn)生持久的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)應(yīng)用則是利用這些模式“解釋”和預(yù)測符合它們的自然現(xiàn)象。模式可以啟發(fā)新的模式，常常產(chǎn)生模式的模式。通過這種方式，數(shù)學(xué)按照其自身的邏輯，從科學(xué)的模式開始，通過添加由此派生的所有模式而結(jié)束。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識和方法解決實(shí)際問題的過程，增強(qiáng)應(yīng)用意識；有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)際情境—提出問題—數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)結(jié)果—檢驗(yàn)、修改—可用結(jié)果

對數(shù)學(xué)教育價值的認(rèn)識

數(shù)學(xué)教育應(yīng)該向被教育者提供進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及終身發(fā)展所需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識；數(shù)學(xué)教育應(yīng)該向被教育者提供必要的思維訓(xùn)練過程，掌握數(shù)學(xué)思維的基本技能，逐步提高思維的水平；數(shù)學(xué)教育應(yīng)該向被教育者提供發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的各種機(jī)會，以積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)；數(shù)學(xué)教育應(yīng)該向被教育者展示數(shù)學(xué)的不同側(cè)面以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、與實(shí)際生活之間的聯(lián)系，領(lǐng)會、掌握并理解蘊(yùn)藏其中的基本數(shù)學(xué)思想。學(xué)校數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，特別是那些經(jīng)過精心挑選與組織的數(shù)學(xué)知識，例如初等數(shù)學(xué)的基本事實(shí)、概念、定義、定理、公式、法則與性質(zhì)等，是數(shù)學(xué)幾千年發(fā)展所積淀的寶貴的精神財富，它們不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展的“原始胚胎”，也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)高級數(shù)學(xué)的基石與階梯，它們所承載的基礎(chǔ)性與發(fā)展性，對于現(xiàn)代社會公民的數(shù)學(xué)素養(yǎng)而言都是有價值的、必要的、必需的。基礎(chǔ)知識的與時俱進(jìn)（數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計推斷、可能性分析）數(shù)學(xué)的基本技能是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過訓(xùn)練而形成的一種動作或心智的活動方式。如測量、查表、實(shí)驗(yàn)、尺規(guī)作圖、使用計算工具（計算器、計算機(jī)等）、畫統(tǒng)計圖表等動作技能；數(shù)與式的計算與運(yùn)算、代數(shù)式的恒等變形、估算、猜想、歸納、論證、反駁、推理等心智技能。數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)總要經(jīng)過一個從示范模仿到自動化的熟練階段，要經(jīng)歷一個從“會”到“熟”以致于“巧”的過程。要使得學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)的基本技能，這需要操練，需要有目的、有意識、有針對性的“變式訓(xùn)練”（而不是機(jī)械地、低認(rèn)知水平的重復(fù)）。在變化中進(jìn)行重復(fù)，在重復(fù)中獲取變化，最終能夠“以不變應(yīng)萬變”?；炯寄艿呐c時俱進(jìn)（從計算尺到計算機(jī)）基本活動經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生親自或間接經(jīng)歷了活動過程而獲得的經(jīng)驗(yàn)。從培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的角度說，教學(xué)不僅要教給學(xué)生知識，更要幫助學(xué)生形成智慧。知識的主要載體是書本，智慧則形成于經(jīng)驗(yàn)的過程中，形成于經(jīng)歷的活動中，如教師為學(xué)生創(chuàng)造的思考的過程、探究的過程、抽象的過程、預(yù)測的過程、推理的過程、反思的過程等。過程性教學(xué)（二次方程求根公式，虛數(shù)概念）分析問題與解決問題涉及的是已知，而發(fā)現(xiàn)問題與提出問題涉及的是未知。因此，發(fā)現(xiàn)問題與提出問題比分析問題與解決問題更重要，難度也更高。對中小學(xué)生來說，發(fā)現(xiàn)問題更多地是指發(fā)現(xiàn)了書本上不曾教過的新方法、新觀點(diǎn)、新途徑以及知道了以前不曾知道的新東西。這種發(fā)現(xiàn)對教師可能是微不足道的，但是對于學(xué)生卻是難得的。因?yàn)檫@是一種自我超越，可以獲得成功的體驗(yàn)，可以積累創(chuàng)造的經(jīng)驗(yàn)，可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣，可以樹立進(jìn)步的信心。發(fā)現(xiàn)法教學(xué)、再創(chuàng)造理論學(xué)好數(shù)學(xué)的有效途徑是“做數(shù)學(xué)”。因此，數(shù)學(xué)教育要給被教育者提供各種各樣的機(jī)會去做數(shù)學(xué)，讓被教育者在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的各種過程中，不斷積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。問題應(yīng)是“好”的問題，而不是那些造作的偏題、怪題與難題。杜威的“教育即生活”，陶行知的“從做中學(xué)”。

在工作中真正需要用到的具體數(shù)學(xué)知識，其實(shí)并不很多，但所受的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，所領(lǐng)會的數(shù)學(xué)思想，卻無時無刻不在發(fā)揮著積極的作用，成為取得成功的最重要的因素．如果僅僅將數(shù)學(xué)作為知識來學(xué)習(xí)，而忽略了數(shù)學(xué)思想對學(xué)生的熏陶以及學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，就失去了（至少是部分地）開設(shè)數(shù)學(xué)課程的意義．要使得被教育者真正領(lǐng)會數(shù)學(xué)的基本思想，就應(yīng)該充分揭示數(shù)學(xué)既有邏輯演繹的一面，也有實(shí)驗(yàn)歸納的一面，充分揭示數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、與實(shí)際生活的廣泛聯(lián)系。

基礎(chǔ)知識，基本技能，基本思想，基本活動經(jīng)驗(yàn)，這“四維一體”的教育價值追求，是“雙基”教育價值追求適應(yīng)素質(zhì)教育的必要發(fā)展。堅持“四基”，不可偏廢。社會調(diào)查中的數(shù)學(xué)應(yīng)用?！敖堑姆诸悺迸c“奇數(shù)偶數(shù)”?！昂唵巍钡牟痦?xiàng)求和。

第二節(jié)社會發(fā)展對數(shù)學(xué)課程的期望

數(shù)學(xué)課程應(yīng)該滿足公民基本的數(shù)學(xué)需求。數(shù)學(xué)課程應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學(xué)與社會生活的廣泛聯(lián)系。有用的數(shù)學(xué)與有價值的數(shù)學(xué)。弗賴登塔爾“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”。數(shù)學(xué)社會化與生活數(shù)學(xué)化。推動課程改革的力量：社會發(fā)展、學(xué)科發(fā)展、教育發(fā)展第三節(jié)國際數(shù)學(xué)課程的改革經(jīng)驗(yàn)

注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合：隨著計算機(jī)輔助教學(xué)系統(tǒng)的不斷完善與快速發(fā)展，課堂教學(xué)的空間結(jié)構(gòu)正在由傳統(tǒng)的三維結(jié)構(gòu)“教師——知識——學(xué)生”逐步轉(zhuǎn)變?yōu)樾滦偷乃木S結(jié)構(gòu)“教師——技術(shù)——知識——學(xué)生”。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程的應(yīng)用品質(zhì)：20世紀(jì)90年代以來，世界各國各地區(qū)的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)都發(fā)生了很大的變化。雖然這些變化發(fā)生在不同的文化背景下，不同國家和地區(qū)的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)有各自的價值取向，在促進(jìn)社會進(jìn)步、適應(yīng)學(xué)生發(fā)展以及反映數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)展等方面也各有側(cè)重，但是，普遍重視數(shù)學(xué)應(yīng)用是各國各地區(qū)數(shù)學(xué)課程的一個突出特點(diǎn)?？茖W(xué)技術(shù)在數(shù)學(xué)教育中起著至關(guān)重要的作用。它不僅影響所教的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)。計算器和計算機(jī)這樣的電子技術(shù)是教師的教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)問題解決中必備的工具。它們能夠提供數(shù)學(xué)觀念的直觀圖像，有助于組織和分析數(shù)據(jù)，能夠用于準(zhǔn)確快速的計算。計算器和計算機(jī)能夠幫助學(xué)生在幾何、統(tǒng)計、代數(shù)、度量和數(shù)等每一分支進(jìn)行數(shù)學(xué)探索?，F(xiàn)代科技的應(yīng)用，使學(xué)生把注意力集中在決策過程、反思、推理和問題解決上。通過恰當(dāng)?shù)乩矛F(xiàn)代科技，學(xué)生能較深入地學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)。當(dāng)然，現(xiàn)代科技并不能替代學(xué)生對數(shù)學(xué)的基本理解和感受，而應(yīng)是促進(jìn)學(xué)生的理解和感受。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，現(xiàn)代科技應(yīng)在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提下，廣泛并合理的應(yīng)用?！浴睹绹鴮W(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則與標(biāo)準(zhǔn)》（NCTM，2000）數(shù)學(xué)教育近代化運(yùn)動20世紀(jì)20-30年代，德國數(shù)學(xué)家克萊因和英國數(shù)學(xué)教育家貝利發(fā)起并領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)教改運(yùn)動。貝利是英國皇家學(xué)院的教授，從1901年開始發(fā)表了一系列關(guān)于數(shù)學(xué)教育的講演。提出許多主張：（1）要從《幾何原本》的束縛中完全解放出來；（2）要充分重視實(shí)驗(yàn)幾何學(xué)；（3）重視各種實(shí)際測量和近似計算；（4）要充分利用坐標(biāo)紙；（5）應(yīng)多教一些立體幾何（含畫法幾何）；（6）應(yīng)更多地利用幾何學(xué)知識；（7）應(yīng)盡早地教授微積分概念。克萊因強(qiáng)調(diào)（1）實(shí)用，（2）滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想。1908年編寫的《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》影響廣泛。數(shù)學(xué)教育近代化運(yùn)動改革的基本方向（1）改變教科書中應(yīng)用題的性質(zhì)與解法，（2）滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、加強(qiáng)初等高等數(shù)學(xué)聯(lián)系，（3）主導(dǎo)思想：函數(shù)、運(yùn)動，（4）提倡探索法。改革的成果：初等函數(shù)知識成為中學(xué)的固定內(nèi)容；“微積分初步”受到重視，在一些國家成為固定教學(xué)內(nèi)容；解析幾何在中學(xué)占主導(dǎo)地位；幾何變換的方法得以使用；強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)教材的實(shí)踐性。數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化運(yùn)動（新數(shù)運(yùn)動）改革的原因：社會需要大量的科技人員、數(shù)學(xué)的發(fā)展（計算機(jī)的出現(xiàn)，不僅要有數(shù)理邏輯、算法語言的知識，而且大大增加了“離散”數(shù)學(xué)的比重，如組合數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計等。一方面是更廣泛的應(yīng)用性，一方面是更高度的抽象性。）

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的缺點(diǎn)

（1）觀點(diǎn)落后，缺乏近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想；（2）內(nèi)容陳舊，基本上停留在16世紀(jì)前后，尤其是幾何，基本上2000年前的《幾何原本》的翻版；（3）強(qiáng)調(diào)煩瑣的計算、死記公式、模仿例題（教學(xué)目標(biāo)）；（4）體系零碎，分為算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角幾互不相通的部分，數(shù)學(xué)本身應(yīng)該是中學(xué)課程中最富有系統(tǒng)性和內(nèi)部聯(lián)系的科目。正如希爾伯特說的：“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正是在于各部分之間的聯(lián)系。”而實(shí)際的數(shù)學(xué)課程卻變成了最煩瑣的、有各片段拼湊成的科目。（5）教學(xué)方法單調(diào)，偏重演繹法、忽視歸納法；（6）大、中學(xué)脫節(jié)，大學(xué)與近代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展聯(lián)系較為密切，大學(xué)數(shù)學(xué)課程提高很快，而中學(xué)則長期停滯不前，兩者差距越來越大。改革的發(fā)展情況1959年美國“全國科學(xué)院”在伍茲霍爾召開會議，討論如何改進(jìn)中小學(xué)數(shù)理學(xué)科的教育，以培養(yǎng)大批科技人才。布魯納擔(dān)任大會主席。會后作了總結(jié)報告《教育過程》提出課程改革的四個新思想：（1）學(xué)科的結(jié)構(gòu)化思想；（2）早期教育思想；（3）過去教學(xué)只重視培養(yǎng)邏輯思維能力，今后應(yīng)重視發(fā)現(xiàn)的能力，即直覺思維的能力，提倡發(fā)現(xiàn)法教學(xué)；（4）學(xué)習(xí)動機(jī)主要來自興趣。1959年11月，歐洲經(jīng)濟(jì)共同體市場在法國羅瓦奧蒙（Royaumont）召開了關(guān)于數(shù)學(xué)教育改革的討論會，美國和加拿大也參加了這次會議。會上，法國的迪厄多內(nèi)（J。Dieudonne）提出了“歐幾里得滾蛋”的口號（Euclidｍustgo?。皻W幾里得幾何是以落后于時代的方法和思維方式所堆砌的一堆遺物?！睍霞杏懻摿巳齻€問題：新的數(shù)學(xué)思想；新的數(shù)學(xué)教育手段；教學(xué)方法的改革。這次會議肯定了中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的必要性，并提出了許多改革的方案。這次會議后，這場由美國發(fā)起的教改運(yùn)動迅速波及全球，世界各國紛紛組織專門研究機(jī)構(gòu)，并編寫新的教材。較為著名的有美國的《統(tǒng)一的現(xiàn)代數(shù)學(xué)》（向量空間、群環(huán)域的理論），英國劍橋大學(xué)組織大、中學(xué)教師聯(lián)合編寫的教材《SMP》（SchoolMathematicsProject：學(xué)校數(shù)學(xué)設(shè)計）新編的數(shù)學(xué)課程被稱為“新數(shù)”，傳統(tǒng)的則稱為“舊數(shù)”。在“新數(shù)”中許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)的問題被納入教學(xué)大綱。比如集合論初步、數(shù)理邏輯基礎(chǔ)、近世代數(shù)、概率統(tǒng)計、微積分等都進(jìn)入了新的教材。強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)化、公理化、幾何代數(shù)化等。而且，許多國家把原來的大學(xué)內(nèi)容下放到中學(xué)，并不是單純地增設(shè)、組合一下，而是將現(xiàn)代內(nèi)容與傳統(tǒng)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來，特別強(qiáng)調(diào)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來處理傳統(tǒng)內(nèi)容。總結(jié)、評價階段（1970—1980年代初）在這一階段，新數(shù)運(yùn)動受到嚴(yán)重挫折，名聲一落千丈，許多人提出了“回到基礎(chǔ)”的口號。經(jīng)過十幾年的試驗(yàn)，“新數(shù)”所培養(yǎng)的學(xué)生已進(jìn)入大學(xué)或就業(yè)，但學(xué)生的數(shù)學(xué)成績明顯下降，因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)只強(qiáng)調(diào)現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，而忽視了一些基本運(yùn)算能力的培養(yǎng)。新數(shù)運(yùn)動的成果1980年8月在美國召開第四界國際數(shù)學(xué)教育會議（ICME4）總結(jié)了新數(shù)運(yùn)動的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。會議總結(jié)報告認(rèn)為，這次改革運(yùn)動獲得的有益成果是：新數(shù)學(xué)運(yùn)動實(shí)現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的深刻變革，主要表現(xiàn)在三個方面：（1）增加了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的內(nèi)容，縮小了中學(xué)數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)之間的距離；（2）精簡和改造了中學(xué)數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，特別是歐幾里得幾何；（3）用結(jié)構(gòu)主義觀點(diǎn)處理中學(xué)數(shù)學(xué)的體系，把代數(shù)、幾何、三角等組成統(tǒng)一的數(shù)學(xué)課程。強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)和原理，克服了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)只強(qiáng)調(diào)機(jī)械計算的不足。新數(shù)運(yùn)動的不足這次改革運(yùn)動的主要缺點(diǎn)是：（1）增加的內(nèi)容份量過重，學(xué)生難以接受；（2）過多削減傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的內(nèi)容特別是幾何學(xué)的內(nèi)容，重演繹推理輕直覺和歸納等似真推理。（3）只面向成績好的學(xué)生，忽視其他學(xué)生；（4）強(qiáng)調(diào)理解但忽視基本技能訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)抽象理論但忽視實(shí)際應(yīng)用；（5）教師培訓(xùn)未能跟上。20世紀(jì)八九十年代的數(shù)學(xué)教育改革一些新觀點(diǎn)：問題解決、大眾數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)地思維一些新特點(diǎn)：注重區(qū)別化、注重學(xué)生、注重活動、注重應(yīng)用、注重模式建構(gòu)、注重計算機(jī)的使用。從英國數(shù)學(xué)課程看數(shù)學(xué)應(yīng)用在英國的數(shù)學(xué)課程中，數(shù)學(xué)應(yīng)用被確定為單獨(dú)的教學(xué)目標(biāo)，并且是首要和基本的目標(biāo)，這一目標(biāo)延伸與滲透到其余教學(xué)目標(biāo)中，構(gòu)成數(shù)學(xué)教學(xué)的基本框架。關(guān)于使用和應(yīng)用數(shù)學(xué)，有三個方面的要求：1）在實(shí)踐工作處理問題以及使用物質(zhì)材料的過程中，獲取知識和技能，增進(jìn)理解;2）運(yùn)用數(shù)學(xué)解決一系列現(xiàn)實(shí)生活問題，處理由課程其它領(lǐng)域、其它學(xué)科提出的問題;3）對數(shù)學(xué)內(nèi)部的規(guī)律和原理進(jìn)行探索研究。關(guān)于使用和應(yīng)用數(shù)學(xué)，包括三類數(shù)學(xué)活動第一、處理實(shí)際問題。執(zhí)行一項(xiàng)任務(wù),選取合適的材料和數(shù)學(xué)內(nèi)容;講究方法地作出計劃和進(jìn)行工作;檢查所得到的信息是否充分;在合適的階段回顧所取得的進(jìn)展;檢查結(jié)果的合理性;運(yùn)用嘗試與改進(jìn)的方法;完成任務(wù);提出替換的解法。第二、進(jìn)行數(shù)學(xué)交流。正確認(rèn)識任務(wù);說明數(shù)學(xué)信息;在解決問題過程中談?wù)摴ぷ骱吞岢鰡栴};系統(tǒng)的探索和記錄工作;以較敏捷的辦法向別人提出結(jié)果。第三、發(fā)展論證觀念。提出諸如“如果…,則…”的問題;作出,并檢查預(yù)言;提出,并檢查命題;進(jìn)行概括,作出并檢查假設(shè);.理解爭論及其論據(jù),對有效性作檢查;猜想,定義,證明和反駁。英國國家課程委員會要求，英格蘭和威爾士所有學(xué)校，都要重視數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，共同發(fā)展一種教與學(xué)的途徑，使運(yùn)用與應(yīng)用數(shù)學(xué)能滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)的所有方面，保證從5歲到16歲的少年兒童都能接受有關(guān)訓(xùn)練。這應(yīng)該成為學(xué)校教學(xué)的重要任務(wù)。教師在制定計劃時，不但要保證學(xué)生有充分時間從事數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，即使在基礎(chǔ)知識教學(xué)和基本技能訓(xùn)練中，也要貫徹數(shù)學(xué)應(yīng)用的思想。在英國數(shù)學(xué)課程文件和實(shí)踐中，課程交叉被提到突出地位,從而使數(shù)學(xué)在貫徹國家課程總體目標(biāo)中發(fā)揮重要作用。英國數(shù)學(xué)教學(xué)中的課程交叉工作主要體現(xiàn)在三個方面：1）從現(xiàn)實(shí)生活題材中引入數(shù)學(xué)；2）加強(qiáng)數(shù)學(xué)和其他科目的聯(lián)系；3）打破傳統(tǒng)格局和學(xué)科限制，允許在數(shù)學(xué)課中研究與數(shù)學(xué)有關(guān)的其他問題。從日本數(shù)學(xué)課程看數(shù)學(xué)應(yīng)用和中國一樣，日本的數(shù)學(xué)教育具有東亞文化的傳統(tǒng)?？荚囄幕仍跀?shù)學(xué)教育中具有重要作用。日本文部省于1998年頒布并于2002年開始實(shí)施《中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》，揭開了日本新一輪數(shù)學(xué)課程改革的序幕。從日本數(shù)學(xué)課程看數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)之一：“通過與數(shù)量和圖形有關(guān)的數(shù)學(xué)活動，掌握基礎(chǔ)知識和技能，在培養(yǎng)學(xué)生全面地、有條理地思考日常生活事物的能力的同時，體會數(shù)學(xué)活動有愉快性和處理數(shù)據(jù)的優(yōu)越性，培養(yǎng)學(xué)生在生活中有效運(yùn)用數(shù)學(xué)的態(tài)度?！斌w現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)容是課題學(xué)習(xí)為配合“課題學(xué)習(xí)”的實(shí)施，2001年日本出版的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書都有課題學(xué)習(xí)的內(nèi)容，選擇的課題分布在中學(xué)數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之中。課題的設(shè)置既考慮到數(shù)學(xué)的需要，又考慮到教育的需要。有的與現(xiàn)代信息技術(shù)有關(guān)，有的和數(shù)學(xué)應(yīng)用有關(guān)，有的和數(shù)學(xué)的模型化、一般化有關(guān)，有的和數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)的優(yōu)越性、趣味性有關(guān)。例如，由教育出版株式會社2001年出版的中學(xué)《數(shù)學(xué)》教材中，共設(shè)置了18個課題，這些課題可分為四種類型：應(yīng)用性課題、綜合性課題、發(fā)展性課題、與數(shù)學(xué)史有關(guān)的課題。每個課題學(xué)習(xí)不但給出了要解決的問題，還處處注意啟發(fā)學(xué)生思考，由淺人深地給出了思考問題的方法。

第四節(jié)我國數(shù)學(xué)課程的發(fā)展?fàn)顩r

據(jù)《周禮》記載，周代的學(xué)校教學(xué)科目有“六藝”——“禮、樂、射、御、書、數(shù)”，數(shù)即指數(shù)學(xué)。春秋戰(zhàn)國時期，諸子百家大多帶徒講學(xué)，其中或多或少包含著數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容。如墨家經(jīng)典《墨經(jīng)》一書，其中就涉及到一些幾何學(xué)的定義、定理；《莊子》篇中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，樸素地體現(xiàn)了早期的極限思想。秦漢時期，相繼出現(xiàn)了《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》等數(shù)學(xué)著作。其中，《九章算術(shù)》標(biāo)志著我國的古代數(shù)學(xué)已開始形成體系，這部書成為其后一千多年中我國傳授數(shù)學(xué)知識的主要教科書。以《九章算術(shù)》為代表，我國古代數(shù)學(xué)課程表現(xiàn)出明顯的技術(shù)實(shí)用性，強(qiáng)調(diào)實(shí)用，注重結(jié)果，注重統(tǒng)一的算法形式。直至宋、元時期，我國的數(shù)學(xué)課程仍然表現(xiàn)出以程序化算法為核心的數(shù)學(xué)體系。到了明代，西方的傳教士不斷來到中國，他們在傳教的同時，也把西方的數(shù)學(xué)帶進(jìn)我國。明萬歷十年(公元1582年)，意大利傳教士利馬竇來到中國，1607年他和徐光啟合譯了歐幾里得的《幾何原本》前六卷，這是我國翻譯西方數(shù)學(xué)書籍的開始。徐光啟對《幾何原本》的評價。1840年鴉片戰(zhàn)爭以后，從清政府“廢科舉、興學(xué)堂”開始，在“中學(xué)為體，西學(xué)為用”的思想指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容、目的、方法等方面，與古代數(shù)學(xué)課程相比，都有了很大的差異。數(shù)學(xué)教科書中涉及了代數(shù)、幾何、三角、數(shù)學(xué)分析等內(nèi)容。李善蘭與偉烈亞力翻譯的《代微積拾級》。1904年頒布實(shí)施了第一個學(xué)制（癸卯學(xué)制），相應(yīng)地制定數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；1912年公布的《中學(xué)校令施行細(xì)則》以及1916年的《國民學(xué)校令施行細(xì)則》中都有數(shù)學(xué)的要目；1940年公布《中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》。其積極意義是使得我國的數(shù)學(xué)課程跳出了強(qiáng)調(diào)實(shí)用的狹隘性，趨向于更合理的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容。解放后我國數(shù)學(xué)課程發(fā)展的歷程全面學(xué)習(xí)蘇聯(lián)時期：1950年頒布了《數(shù)學(xué)教材精簡綱要》，出版了一套全國使用的教材。1952年，在全面學(xué)習(xí)蘇聯(lián)的方針下，制定了《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(草案)》，并在1954年、1956年分別作了修訂。與此同時，人民教育出版社以蘇聯(lián)十年制學(xué)校的數(shù)學(xué)課本為藍(lán)本，按照先搬后化的方針，編譯出版了我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教材。這一時期，我國的數(shù)學(xué)教學(xué)明確了為社會主義建設(shè)服務(wù)的方向，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能的教學(xué)和思想品德教育。但是，由于片面強(qiáng)調(diào)向蘇聯(lián)學(xué)習(xí)，盲目照搬蘇聯(lián)經(jīng)驗(yàn)，不適當(dāng)?shù)匕烟K聯(lián)十年制學(xué)校的教學(xué)內(nèi)容安排在我國十二年學(xué)制來學(xué)習(xí)，延長了學(xué)習(xí)時間，而且取消了解析幾何課，在一定程度上降低了數(shù)學(xué)教學(xué)的水平。教育大革命時期在我國“大躍進(jìn)”和國際數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化運(yùn)動的背景下，興起了1958年的教育大革命。指出了中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容貧乏、陳舊落后、脫離政治、脫離實(shí)際、煩瑣重復(fù)等問題，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該符合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和認(rèn)識能力，概念教學(xué)應(yīng)該從實(shí)際引入由具體到抽象，由淺入深等。但是，由于對傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容否定太多(尤其是幾何)，又增加了許多內(nèi)容，如微積分初步、概率統(tǒng)計初步、解析幾何、數(shù)理邏輯初步、向量、矩陣等，使得學(xué)生負(fù)擔(dān)太重，學(xué)得不牢固，基本訓(xùn)練不夠，而且?guī)熧Y培訓(xùn)也跟不上，造成教學(xué)質(zhì)量也有所下降?！罢{(diào)整、鞏固、充實(shí)、提高”時期1961年10月制訂的《全日制中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(草案)》，提出了確定教學(xué)內(nèi)容的原則：必須選擇算術(shù)、代數(shù)、幾何、平面三角、平面解析幾何等主要知識；適當(dāng)增加近似計算、概率、視圖等知識；注意與高等數(shù)學(xué)銜接；注意反映我國數(shù)學(xué)上的優(yōu)良傳統(tǒng)和成就，如勾股定理、祖暅原理、祖沖之圓周率、楊輝三角等?！罢{(diào)整、鞏固、充實(shí)、提高”時期1963年5月“61”大綱的基礎(chǔ)上又編制了12年制的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(草案)》，第一次明確提出要“培養(yǎng)學(xué)生正確而且迅速的計算能力，邏輯推理能力和空間想象能力”的要求。根據(jù)這個大綱，人民教育出版社編寫了12年制中小學(xué)數(shù)學(xué)課本，即人們所說的“63課本”。它吸收了國外一些教材的優(yōu)點(diǎn)，總結(jié)了我國編寫教材的經(jīng)驗(yàn)，刪去了一些繁瑣陳舊的內(nèi)容，注意了基礎(chǔ)知識和基本技能。當(dāng)時普遍認(rèn)為這是我國建國以來編寫得最好的一套教材，增加的內(nèi)容比較適合我國的國情，使我國的中學(xué)數(shù)學(xué)教育質(zhì)量得到了穩(wěn)步的提高。十年動亂時期1966年到1976年這“十年動亂”中，數(shù)學(xué)教育遭到嚴(yán)重破壞，數(shù)學(xué)課程發(fā)展陷入