微弱信號(hào)檢測(cè)1

微弱信號(hào)檢測(cè)1微弱信號(hào)檢測(cè)與隨機(jī)噪聲1.1微弱信號(hào)檢測(cè)概述1.1.1微系統(tǒng)（1）MEMS（Micro-electroMechanicalSystems）微機(jī)電系統(tǒng)（2）Microsystem微系統(tǒng)（3）Micromachine微機(jī)器微系統(tǒng)的發(fā)展和應(yīng)用監(jiān)視系統(tǒng)、電子對(duì)抗系統(tǒng)、電子戰(zhàn)無(wú)人機(jī)（UAV）、納米機(jī)器人、隱形技術(shù)、武器慣性測(cè)量、武器保險(xiǎn)/解保和引爆、平臺(tái)穩(wěn)定、個(gè)人/運(yùn)載工具導(dǎo)航、條件基維護(hù)（CBM）、環(huán)境感知、大量數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、顯示等。1.1.2微系統(tǒng)和外部作用1.1.3微弱信號(hào)不僅意味著信號(hào)幅度很小，主要指被噪聲淹沒的信號(hào)。1.1.4微弱信號(hào)檢測(cè)從強(qiáng)噪聲中提取有用信號(hào)，或用新技術(shù)、新方法提高檢測(cè)系統(tǒng)輸出信號(hào)的信噪比。1.1.5信噪比SNR和信噪改善比SNIR1.1.6檢測(cè)分辨率與靈敏度檢測(cè)方法檢測(cè)量電壓/nV電流/nA溫度/K電容/pF微量分析/克分子SNIR常規(guī)檢測(cè)方法微弱信號(hào)檢測(cè)吉時(shí)利公司1030.110-30.110-510-810-45×10-710-60.110-510-510-8101051.2常見噪聲類型1.2.1噪聲特性噪聲是存在于電路內(nèi)部的固有的擾動(dòng)信號(hào)，是一種隨機(jī)信號(hào)，不能預(yù)知其精確大小。1.2.2噪聲測(cè)量測(cè)量噪聲電壓時(shí)，測(cè)量設(shè)備的動(dòng)態(tài)范圍必須大于3倍的被測(cè)噪聲的有效值。用電壓表（交流毫伏表）測(cè)噪聲時(shí)，必須使表針指示不大于1/3倍，實(shí)際測(cè)量時(shí)使表針指示小于一半量程即可。普通電壓表測(cè)噪聲均方根值應(yīng)×1.13修正。1.2.3隨機(jī)噪聲分類（1）白噪聲（2）限帶白噪聲

（3）窄帶噪聲

1.3隨機(jī)噪聲的統(tǒng)計(jì)特征常用的概率統(tǒng)計(jì)描述方法包括概率密度函數(shù)、數(shù)學(xué)期望值、方差、均方值、相關(guān)函數(shù)等。1.3.1概率密度函數(shù)（PDF）對(duì)于連續(xù)取值的隨機(jī)噪聲，p(x)表示噪聲電壓x(t)在t時(shí)刻取值為x的概率。對(duì)于所有x都有p(x)>0。t時(shí)刻噪聲電壓取值在a和b之間的概率為：上式說(shuō)明：在概率密度函數(shù)曲線下覆蓋的面積為1。（1）正態(tài)分布概率密度函數(shù)對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)噪聲，在普通示波器上觀測(cè)到的將是雜亂無(wú)章的亮帶，可以用亮帶的峰峰值除以6.6來(lái)粗略估計(jì)其標(biāo)準(zhǔn)差σx。對(duì)于零均值噪聲，σx可以看作其有效值。測(cè)量隨機(jī)噪聲的放大器的動(dòng)態(tài)范圍應(yīng)大于6.6倍的被測(cè)噪聲的有效值，否則噪聲峰值可能被限幅，加大測(cè)量誤差。隨機(jī)噪聲波形x(t)與概率密度函數(shù)p(x)之間的關(guān)系（2）均勻分布概率密度函數(shù)均勻分布的噪聲電壓x(t)在其取值范圍內(nèi)各點(diǎn)的概率相同。數(shù)字信號(hào)處理中，A/D轉(zhuǎn)換過(guò)程中的信號(hào)量化誤差，可以認(rèn)為是均勻分布噪聲，計(jì)算機(jī)內(nèi)部運(yùn)算過(guò)程中由運(yùn)算精度導(dǎo)致的舍入誤差也可看作均勻分布噪聲。1.3.2均值、方差和均方值（1）均值（數(shù)學(xué)期望值）電路中的噪聲（具有各態(tài)遍歷性質(zhì)），其統(tǒng)計(jì)平均可用時(shí)間平均來(lái)計(jì)算。對(duì)電壓或電流型隨機(jī)噪聲，均值表示其直流分量。（2）方差方差反映隨機(jī)噪聲的起伏程度，是隨機(jī)噪聲瞬時(shí)取值與其均值之差的平方的數(shù)學(xué)期望值。（3）均方值均方值反映隨機(jī)噪聲的功率，是隨機(jī)噪聲瞬時(shí)取值的平方的數(shù)學(xué)期望值。均值、方差和均方值之間的關(guān)系：對(duì)于零均值噪聲，σx為其有效值，即均方值。電路處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，噪聲的方差和數(shù)學(xué)期望一般不再隨時(shí)間變化，噪聲電壓稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。1.3.3隨機(jī)噪聲的相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)Rx(τ)表示隨機(jī)過(guò)程兩個(gè)時(shí)間上的相關(guān)性。定義為：

Rx(τ)的重要性質(zhì)：

Rx(τ)僅與時(shí)間差（即時(shí)延τ）有關(guān)，與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)；由于絕大多數(shù)噪聲相互獨(dú)立，故Rx(τ)隨τ增加而衰減；

τ＝0時(shí)，時(shí)間τ產(chǎn)生的噪聲與其自身相關(guān)，此時(shí)Rx

(τ)具有最大值，代表噪聲的均方值。（1）自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)噪聲x(t)的自相關(guān)函數(shù)Rx(t1,t2)是其時(shí)域特性的平均度量，反映同一隨機(jī)噪聲x(t)在不同時(shí)刻t1和t2取值的相關(guān)程度。定義為：自相關(guān)函數(shù)的重要特點(diǎn)

對(duì)于實(shí)信號(hào)，自相關(guān)函數(shù)是τ的偶函數(shù)。當(dāng)τ＝0時(shí)，Rx(τ)具有最大值。

Rx(0)

反映隨機(jī)噪聲的功率。

如果x(t)包含某種周期性分量，則Rx(τ)包含同樣周期的周期性分量。

互不相關(guān)的隨機(jī)噪聲之和的自相關(guān)函數(shù)等于隨機(jī)噪聲的自相關(guān)函數(shù)之和。對(duì)于平穩(wěn)的隨機(jī)噪聲，Rx(τ)僅與時(shí)間差τ有關(guān)，與計(jì)算時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。當(dāng)τ→∞時(shí)，自相關(guān)函數(shù)反映隨機(jī)噪聲直流分量的功率。自相關(guān)函數(shù)可以應(yīng)用于隨機(jī)噪聲，也可以應(yīng)用于確定性信號(hào)。例1.利用采樣保持器對(duì)零均值連續(xù)隨機(jī)電壓波形進(jìn)行不斷的采樣保持，保持的時(shí)間間隔為1s。設(shè)各采樣之間互不相關(guān)，采樣值在-1~+1之間均勻分布。t=0之后第一次采樣時(shí)間t1在0~1s之間均勻分布。采樣保持器的輸出波形x(t)如圖，試求x(t)的功率Px和自相關(guān)函數(shù)Rx(t)的圖形。（2）互相關(guān)函數(shù)與互協(xié)方差函數(shù)

互相關(guān)函數(shù)反映兩個(gè)不通的隨機(jī)噪聲x(t)和y(t)在不通時(shí)刻t1和t2取值的相關(guān)程度，定義為：平穩(wěn)隨機(jī)噪聲的統(tǒng)計(jì)特征量與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。令t1=t-τ，t2=t，則：用時(shí)間平均計(jì)算上式的統(tǒng)計(jì)平均，互相關(guān)函數(shù)可表示為：互相關(guān)函數(shù)的重要特點(diǎn)：互相關(guān)函數(shù)不再是偶函數(shù)，即Rxy(τ)≠

Rxy(-τ)，但Rxy(τ)＝Ryx(-τ)。

互相關(guān)函數(shù)的下界由下式確定：τ值很大時(shí)，互相關(guān)函數(shù)反映x(t)和y(t)均值的乘積，即：

對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)噪聲，Rxy(τ)僅與時(shí)間差τ有關(guān)，與計(jì)算時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)?；f(xié)方差函數(shù)定義為：如果對(duì)于任意的t1和t2都滿足Cxy(t1,t2)=0，則稱x(t)與y(t)互不相關(guān)。

對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)噪聲，上式可化簡(jiǎn)為：對(duì)于零均值平穩(wěn)隨機(jī)噪聲x(t)與y(t)，有則：若對(duì)所有τ都滿足，則x(t)與y(t)互不相關(guān)。相關(guān)函數(shù)的上述特性對(duì)于從噪聲中檢測(cè)微弱信號(hào)非常有用。一般情況下，被檢測(cè)的有用信號(hào)和淹沒信號(hào)的噪聲之間不存在相關(guān)性，因此，采用相關(guān)方法可能將有用信號(hào)從隨機(jī)噪聲中提取出來(lái)。相互獨(dú)立

描述兩路隨機(jī)噪聲之間的相互關(guān)系的另一術(shù)語(yǔ)。當(dāng)隨機(jī)噪聲x和y相互獨(dú)立時(shí)，其聯(lián)合概率密度p(x,y)可以分解為：p(x,y)=p(x)p(y)上式成立時(shí)，x和y必定相互獨(dú)立，且E[xy]=E[x]E[y]。相互獨(dú)立的兩路隨機(jī)噪聲一定互不相關(guān)，當(dāng)互不相關(guān)不一定相互獨(dú)立。例2.隨機(jī)相位正弦波，φ在0~2π之間均勻分布，幅度A為常數(shù)；隨機(jī)幅度正弦波，B是與φ相互獨(dú)立的隨機(jī)量，B的概率密度函數(shù)為：，試求x(t)和y(t)的統(tǒng)計(jì)特征量。解：①x(t)的均值μx：

②x(t)的方差：③x(t)的自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)：④y(t)的均值μy：∵y(t)的幅值B是高斯分布，其均值為0，方差為1?！啖莼ハ嚓P(guān)函數(shù)Rxy(τ):∵B和φ相互獨(dú)立∴⑥互協(xié)方差函數(shù)Cxy(τ):（3）歸一化相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)不但反映隨機(jī)噪聲在不同時(shí)刻取值的相關(guān)程度，而且反映隨機(jī)噪聲的幅度和功率，而幅度和功率受系統(tǒng)增益的影響。歸一化相關(guān)函數(shù)消除了幅度和功率影響，能準(zhǔn)確表現(xiàn)噪聲在不同時(shí)刻取值的相關(guān)程度。①歸一化自相關(guān)函數(shù)ρx(τ)②歸一化互相關(guān)函數(shù)ρxy(τ)1.3.4隨機(jī)噪聲的功率譜密度函數(shù)研究周期信號(hào)或非周期信號(hào)時(shí)，信號(hào)的特征常用頻譜描述，反映信號(hào)各頻率分量的幅度和相位隨頻率變化的情況，也可用能譜或功率譜描述。隨機(jī)信號(hào)既不能用確定的時(shí)間函數(shù)表示，也無(wú)法用幅度譜表示，只能用功率譜描述其頻率特性。電噪聲測(cè)量及計(jì)算主要關(guān)心噪聲功率。（1）功率譜密度函數(shù)Sx(ω)設(shè)噪聲電壓x(t)的功率為Px，則噪聲的功率譜密度函數(shù)定義為：自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)滿足傅里葉變換關(guān)系：①∵Rx(τ)是τ實(shí)偶函數(shù)，不包含相位信息，

∴Sx(ω)是ω的實(shí)偶函數(shù)，不含信號(hào)各頻率分量的相位信息。②Sx(ω)區(qū)縣下覆蓋的面積表示噪聲的功率Px。Rx(τ)和Sx(ω)的形狀都與隨機(jī)噪聲x(t)隨時(shí)間變化的速度有關(guān)，x(t)變化越快，說(shuō)明其占據(jù)頻帶越寬，Sx(ω)也越寬；同時(shí)，對(duì)于變化較快的時(shí)域噪聲，其不同時(shí)刻取值的相關(guān)性較差，Rx(τ)的峰區(qū)就較窄。寬帶噪聲和窄帶噪聲的時(shí)間函數(shù)x(t)、Rx(τ)、Sx(ω)之間的關(guān)系例3.隨機(jī)噪聲x(t)的自相關(guān)函數(shù)為：，其形狀如圖所示，求其功率譜密度函數(shù)和功率。解：①x(t)的Sx(ω)：

②x(t)的功率Px：將Sx(ω)代入Px的計(jì)算公式，可得：也可利用Px=Rx(0)直接由Rx(τ)求得Px=σ2。（2）互譜密度函數(shù)Sxy(ω)平穩(wěn)隨機(jī)噪聲x(t)和y(t)的互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)的傅里葉變換，稱為互譜密度函數(shù)Sxy(ω)。

Sxy(ω)性質(zhì)：①對(duì)稱性：Sxy(ω)實(shí)部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)，其傅里葉變換共軛對(duì)稱，即：②互譜不等式：對(duì)于任何頻率ω，下列不等式都成立。互不相關(guān)的兩路零均值隨機(jī)噪聲之和的功率譜密度函數(shù)等于各自的功率譜密度函數(shù)之和。1.3.5噪聲源的相關(guān)性研究放大器輸出時(shí)，常遇到幾個(gè)噪聲源同時(shí)干擾的情況。分析過(guò)程中要求比較兩個(gè)噪聲源是否相似，分別用u(t1)、u(t2)表示噪聲函數(shù)，引入相關(guān)系數(shù)C，作為兩個(gè)噪聲相似性（線性相關(guān)性）的度量，定義為：如果兩個(gè)噪聲源部相關(guān)，則C=0；如果噪聲源之間存在相關(guān)性，則C≠0。

C在－1到1之間取值，C=1時(shí)，兩相關(guān)噪聲線性相加；C＝－1時(shí)，兩相關(guān)噪聲相減。對(duì)于兩個(gè)互不相關(guān)的噪聲源，等效噪聲的均方值等于各噪聲源均方值之和；即：當(dāng)兩個(gè)噪聲源相關(guān)時(shí)，則：上式中后一項(xiàng)為：因此，等效噪聲的均方值為：在放大器噪聲中，C值不易確定，常忽略不計(jì)。可能帶來(lái)一定的誤差。當(dāng)大量的噪聲互不相關(guān)。1.4隨機(jī)噪聲通過(guò)電路的響應(yīng)任何信號(hào)檢測(cè)裝置中，被測(cè)信號(hào)及噪聲均要通過(guò)各種電路進(jìn)行處理，才能檢測(cè)到所需信號(hào)。由于通過(guò)電路時(shí)信號(hào)和噪聲都要產(chǎn)生一定的變化，從而時(shí)信噪比有所改變。本節(jié)主要研究噪聲通過(guò)電路的計(jì)算方法及其響應(yīng)。1.4.1隨機(jī)噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)的響應(yīng)右圖線性電路的動(dòng)態(tài)特性可以用脈沖相應(yīng)函數(shù)h(t)或頻率響應(yīng)函數(shù)H(jω)描述，它們構(gòu)成一對(duì)傅里葉變換對(duì)。對(duì)于給定的輸入信號(hào)x(t)，其輸出為：如果x(t)為確定信號(hào)，則輸出y(t)也是確定信號(hào)，滿足Y(jω)=X(jω)H(jω)

。若x(t)為隨機(jī)噪聲，則輸出y(t)也是隨機(jī)噪聲，不再滿足傳遞函數(shù)關(guān)系，只能用統(tǒng)計(jì)特性分析方法確定輸入和輸出的關(guān)系。自相關(guān)函數(shù)：功率譜密度函數(shù)：互譜密度函數(shù)：互相關(guān)函數(shù)：例4.白噪聲x(t)輸入到一階RC低通濾波器電路，如圖，x(t)的功率譜密度為：求濾波器輸出y(t)的功率譜密度Sy(t)和功率Py。解：①求Sy(ω)：電路頻率響應(yīng)函數(shù)：則幅頻響應(yīng)函數(shù)為：代入Sy(t)公式得：②求功率Px：

結(jié)論：電路的時(shí)間常數(shù)RC越大，輸出的功率越小。1.4.2非平穩(wěn)隨機(jī)噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)的相應(yīng)實(shí)際應(yīng)用中，線性電路中可能包含一些電子開關(guān)，在開關(guān)剛閉合的一段時(shí)間內(nèi)，電路處于過(guò)渡狀態(tài)，輸出噪聲是非平穩(wěn)的。此時(shí)不能用前述公式計(jì)算功率譜密度函數(shù)，只能用線性電路的卷積作用計(jì)算非平穩(wěn)輸出噪聲的統(tǒng)計(jì)特性。右圖電路中，t=0時(shí)開關(guān)閉合，隨機(jī)噪聲x(t)送入RC濾波器。電路處于過(guò)渡狀態(tài)，輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)與計(jì)算的時(shí)間起點(diǎn)有關(guān)，只能求Ry(t1,t2)?？紤]x(t)在t=0時(shí)加入，計(jì)算可得:例：若上圖中x(t)為白噪聲，其功率譜密度為：，則其自相關(guān)函數(shù)為開關(guān)在t=0時(shí)閉合，可得時(shí)刻t輸出噪聲的功率為：RC積分電路的頻率響應(yīng)函數(shù)和沖擊響應(yīng)函數(shù)分別為：∴1.4.3隨機(jī)噪聲通過(guò)非線性系統(tǒng)的相應(yīng)如果系統(tǒng)的輸入量之和不能產(chǎn)生相應(yīng)的輸出量之和，則為非線性系統(tǒng)。非線性電路在信號(hào)檢測(cè)裝置中十分重要，是信號(hào)處理的重要手段。如二極管檢波器、鑒頻器、混頻電路都是非線性電路。（1）平方律檢波器輸出信號(hào)y(t)與輸入信號(hào)x(t)的關(guān)系為：設(shè)輸入與輸出信號(hào)的概率密度函數(shù)分別為Px(x)和Py(y)，則：

輸出y(t)的功率譜密度函數(shù)Sy(ω)為：信號(hào)和噪聲經(jīng)過(guò)平方律檢波器后，將出現(xiàn)信號(hào)和噪聲相互作用形成的相關(guān)函數(shù)項(xiàng)，這是非線性電路相應(yīng)中的固有特性。隨機(jī)過(guò)程通過(guò)非線性電路后，其功率密度函數(shù)將有很大變化，最主要的是產(chǎn)生了很多新的功率譜密度分量，是線性電路所不具有的，這些分量會(huì)對(duì)噪聲中提取微弱信號(hào)帶來(lái)很大的影響。（2）過(guò)零檢測(cè)器過(guò)零檢測(cè)器用于提取所及噪聲的符號(hào)函數(shù)，應(yīng)用于機(jī)型相關(guān)器，其輸出信號(hào)y(t)與輸入信號(hào)x(t)的關(guān)系為：經(jīng)過(guò)過(guò)零檢測(cè)器后，隨機(jī)噪聲的幅度信息丟失了，只用二值函數(shù)＋1和－1表示符號(hào)，即隨機(jī)噪聲被量化成了1bit。（3）全波檢波器全波檢波器輸出信號(hào)y(t)與輸入信號(hào)x(t)的關(guān)系為：對(duì)于零均值高斯噪聲，全波檢波器輸出均值正比于輸入噪聲的有效值。全波檢波器輸出功率等于輸入功率。1.5等效噪聲帶寬1.5.1定義應(yīng)用于確定性信號(hào)的線性電路，帶寬的典型定義是半功率點(diǎn)之間的頻率間隔，即常說(shuō)的線性電路的-3dB帶寬。隨機(jī)噪聲的電壓幅度不確定，主要考慮系統(tǒng)輸