無(wú)限期界與世代交疊模型

如果沒(méi)有個(gè)人的進(jìn)步，就不可能有社會(huì)的進(jìn)步，而如果沒(méi)有自由，就不可能有個(gè)人的進(jìn)步?！薈H4無(wú)限期界與世代交疊模型1本章概要與索洛模型相似：本章的這兩個(gè)模型依舊把勞動(dòng)與知識(shí)當(dāng)作外生的。與索洛模型不同：模型從競(jìng)爭(zhēng)性市場(chǎng)的最大化家庭與廠商的相互作用中引出資本存量的演化，因而，儲(chǔ)蓄不再是外生的。在這兩個(gè)模型中，經(jīng)濟(jì)總量的動(dòng)態(tài)學(xué)由微觀層次的決策決定。2/dx//dx/150710/4654031.html/dx/150710/4654032.html/dx/150710/4654036.html/dx/150710/4654039.html/dx/150710/4654072.html/dx/150710/4654077.html/dx/150711/4654617.html/dx/150711/4654618.html/dx/150711/4654619.html/dx/150712/4654757.html/dx/150712/4654758.html/dx/150712/4654759.html/dx/150712/4654760.html/dx/150712/4654761.html/dx/150712/4654762.html/dx/150712/4654776.html/dx/150713/4655289.html/dx/150713/4655302.html/dx/150713/4655314.html/dx/150713/4655320.html永久生存且數(shù)目固定的家庭供給勞動(dòng)、持有資本并進(jìn)行消費(fèi)和儲(chǔ)蓄。又稱(chēng)無(wú)限期界模型。拉姆齊－凱斯－庫(kù)普曼斯模型3一、假設(shè)1、廠商存在大量的廠商，生產(chǎn)函數(shù)：Y=F(K,AL)A以g的速率外生地增長(zhǎng)家庭擁有企業(yè)，因此，企業(yè)產(chǎn)生的利潤(rùn)歸于家庭。42、家庭存在大量相同的家庭（H），家庭的規(guī)模以n的速率增長(zhǎng)。家庭擁有K（0）/H的初始資本。假設(shè)沒(méi)有折舊。在每個(gè)時(shí)點(diǎn)上，家庭將其收入在消費(fèi)與儲(chǔ)蓄之間進(jìn)行分配，以便最大化其終身效用。家庭的效用函數(shù)為：

式中，C(t)表示t時(shí)刻家庭每個(gè)成員的消費(fèi)。u()是瞬時(shí)效用函數(shù)。L(t)是經(jīng)濟(jì)中的總?cè)丝?，因此，L/H等于每個(gè)家庭的人口。u(C(t))L(t)/H是t時(shí)刻家庭的總瞬時(shí)效用。ρ是時(shí)間偏好率，表示獲得效用越晚價(jià)值越低。

ρ越大，則相對(duì)于現(xiàn)期消費(fèi)，家庭對(duì)未來(lái)的消費(fèi)估價(jià)越小。5瞬時(shí)效用函數(shù)采取如下形式：由于該函數(shù)的消費(fèi)替代彈性為1/θ，因此被稱(chēng)為不變跨期替代彈性效用函數(shù)。邊際效用彈性：消費(fèi)每增加1％，邊際效用下降的百分比。θ越高，隨著消費(fèi)的增加，邊際效用就下降的越快，家庭就越不愿意消費(fèi)的波動(dòng)。6二、家庭與廠商的行為1、廠商競(jìng)爭(zhēng)性廠商獲得零經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)。在競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，且假設(shè)沒(méi)有折舊，因此資本報(bào)酬率等于其邊際產(chǎn)品：勞動(dòng)的真實(shí)工資等于其邊際產(chǎn)品：每單位有效勞動(dòng)的真實(shí)工資：72、家庭的預(yù)算約束家庭的預(yù)算約束是其終生消費(fèi)的貼現(xiàn)值不能超過(guò)其初始的財(cái)富與其終身勞動(dòng)收入的現(xiàn)值之和。連續(xù)計(jì)息的終值的貼現(xiàn)（貼現(xiàn)率為常數(shù)）：當(dāng)貼現(xiàn)率隨時(shí)間變化時(shí)的貼現(xiàn)值：家庭的預(yù)算約束可以表示為：8非蓬齊博弈：將任意時(shí)刻s的財(cái)富貼現(xiàn)到當(dāng)前，應(yīng)為非負(fù)。93、家庭最優(yōu)化家庭在預(yù)算約束限制下，選擇消費(fèi)的路徑來(lái)最大化其終身效用(通過(guò)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)計(jì)算)。每單位有效勞動(dòng)消費(fèi)的最優(yōu)增長(zhǎng)率：每個(gè)工人的消費(fèi)C(t)等于A(t)c(t)，其增長(zhǎng)率為：歐拉方程該式意味著，如果實(shí)際報(bào)酬超過(guò)了家庭用于貼現(xiàn)未來(lái)消費(fèi)的速率，每個(gè)工人的消費(fèi)將上升。10三、經(jīng)濟(jì)的動(dòng)態(tài)學(xué)消費(fèi)的動(dòng)態(tài)學(xué)資本的動(dòng)態(tài)學(xué)kck*c與k的動(dòng)態(tài)學(xué)：系統(tǒng)是鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定k*小于資本的黃金律水平：由ρ-n-(1-θ)g>0得到：ρ+θg>n+g穩(wěn)定臂練習(xí)：推導(dǎo)相位圖和上述結(jié)論。非穩(wěn)定臂穩(wěn)態(tài)kGc*11四、平衡增長(zhǎng)路徑經(jīng)濟(jì)行為一旦收斂于穩(wěn)態(tài)點(diǎn)，它就等同于處于平衡增長(zhǎng)路徑上的索洛經(jīng)濟(jì)的行為。每單位有效勞動(dòng)的資本、產(chǎn)出與消費(fèi)不變；總量以n+g的速率增長(zhǎng)；每工人產(chǎn)出、資本與消費(fèi)以g的速率增長(zhǎng)。索洛模型與拉姆齊－凱斯－庫(kù)普曼斯模型的平衡增長(zhǎng)路徑之間的惟一顯著的差異是，在后者不可能出現(xiàn)動(dòng)態(tài)無(wú)效率。12五、貼現(xiàn)率下降ρ表示家庭對(duì)現(xiàn)期與未來(lái)消費(fèi)之間的偏好。ρ下降意味著k*上升。kcEE’ρ下降與索洛模型中的儲(chǔ)蓄率上升相似。

c在沖擊時(shí)刻發(fā)生向下跳躍，然后與k一起逐漸上升到其初始水平之上。與索洛模型不同的是，在該模型中，儲(chǔ)蓄在調(diào)整過(guò)程中將發(fā)生變化。k*13六、調(diào)整速度在平衡增長(zhǎng)路徑（c*,k*）附近進(jìn)行線性近似：系數(shù)矩陣的特征根為

根號(hào)內(nèi)的表達(dá)式為正，因此得到兩個(gè)不等實(shí)根，系統(tǒng)為鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定。其中的負(fù)根即為變量c、k向穩(wěn)態(tài)收斂的速率。模型的動(dòng)態(tài)方程：14

代蒙德模型與拉姆齊－凱斯－庫(kù)普曼斯模型的核心差異是存在人口的新老交替，而非一個(gè)數(shù)量固定的永久性生存的家庭。代蒙德世代交疊模型15一、假設(shè)由于存在新老交替，因此，假設(shè)時(shí)間是間斷的而非連續(xù)的。該模型假設(shè)每個(gè)人只活兩個(gè)時(shí)期。Lt表示t時(shí)期出生的個(gè)人。人口增長(zhǎng)率為n，因此，Lt=Lt-1（1＋n）。由于人均生活兩個(gè)時(shí)期，因此，在t時(shí)期，存在Lt個(gè)處于他們生命第一時(shí)期的個(gè)人，并且存在Lt-1個(gè)處于他們生命第二時(shí)期的個(gè)人。每個(gè)人在年輕的時(shí)候供給1單位的勞動(dòng)，并且將勞動(dòng)收入在第一期的消費(fèi)和儲(chǔ)蓄之間進(jìn)行分配；在第二時(shí)期，個(gè)人只是消費(fèi)其儲(chǔ)蓄和利息。16在t時(shí)期出生的一個(gè)人的效用取決于兩時(shí)期的消費(fèi)。效用函數(shù)為不變相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)：該假設(shè)確保第二個(gè)時(shí)期的消費(fèi)權(quán)數(shù)為正。

在t時(shí)期，由老年人擁有的資本與由年輕人供給的勞動(dòng)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行生產(chǎn)。老年人消費(fèi)其資本收入與現(xiàn)存財(cái)富。年輕人將勞動(dòng)收入wtAt分配在消費(fèi)和儲(chǔ)蓄上。他們把儲(chǔ)蓄帶入下一個(gè)時(shí)期，因此在t+1時(shí)期內(nèi)的資本存量Kt+1等于t時(shí)期的年輕人的數(shù)量Lt乘以他們的儲(chǔ)蓄wtAt-C1t。該資本量與下一代年輕人的勞動(dòng)供給相結(jié)合，生產(chǎn)持續(xù)進(jìn)行。17二、家庭行為在t時(shí)期出生的一個(gè)個(gè)人的第二時(shí)期的消費(fèi)為：變化得到個(gè)人的預(yù)算約束：終生消費(fèi)的現(xiàn)值等于其初始財(cái)富（等于零）加上終生勞動(dòng)收入的現(xiàn)值。個(gè)人的最大化問(wèn)題：在預(yù)算約束條件下分配兩個(gè)時(shí)期的消費(fèi)和儲(chǔ)蓄以使個(gè)人的效用達(dá)到最大化。18個(gè)人效用最大化：邊際收益等于邊際成本個(gè)人效用函數(shù)：各時(shí)期消費(fèi)變化對(duì)效用的影響（即邊際效用）：在第一時(shí)期減少消費(fèi)△C，則第二時(shí)期消費(fèi)增加（1+rt+1）△C。最優(yōu)化的個(gè)人會(huì)調(diào)整消費(fèi)變動(dòng)使增加的效用等于減少的效用。最優(yōu)的個(gè)人消費(fèi)變化：19個(gè)人效用最大化：拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，并根據(jù)一階條件可以得到最優(yōu)化條件。儲(chǔ)蓄率為當(dāng)且僅當(dāng)（1＋r)(1-θ)/θ關(guān)于r是遞增的，儲(chǔ)蓄率關(guān)于r是遞增的。當(dāng)θ＞1時(shí)，s關(guān)于r是遞減的；當(dāng)θ＜1時(shí)，s關(guān)于r是遞增的；θ＝1時(shí)，s與r不相關(guān)，稱(chēng)為對(duì)數(shù)效用。20三、經(jīng)濟(jì)的動(dòng)態(tài)學(xué)t+1時(shí)期的資本存量等于t時(shí)刻年輕人的儲(chǔ)蓄量?jī)蛇呁瑫r(shí)除以At+1Lt+1代換rt+1和wt得到單位有效勞動(dòng)資本的動(dòng)態(tài)方程（差分方程）當(dāng)kt+1=kt=k*時(shí)，k達(dá)到均衡值（穩(wěn)態(tài)）。21對(duì)數(shù)效用與柯布－道格拉斯生產(chǎn)柯布－道格拉斯函數(shù)緊湊形式ktkt+1kt+1=ktk*k0k1k1k2k2k*是全局穩(wěn)定的：給定k的任何初始值，都會(huì)收斂于穩(wěn)態(tài)值。在穩(wěn)態(tài)，代蒙德模型的性質(zhì)與索洛和拉姆齊模型關(guān)于平衡增長(zhǎng)路徑的性質(zhì)相同：儲(chǔ)蓄率不變，人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率為g，資本－產(chǎn)出比率不變。kt+1=f(kt)穩(wěn)態(tài)：k*=f(k*)k*22收斂速度k的動(dòng)態(tài)方程為：達(dá)到均衡時(shí)：在平衡路徑附近線性化：由于α