同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同步設(shè)計

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式【教學(xué)重點】理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)和簡單應(yīng)用會利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式進(jìn)行求角的三角函數(shù)值、化簡、證明【教學(xué)重點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)、利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式進(jìn)行求值、化簡、證明【教學(xué)難點】求值過程中角度范圍問題，恒等式證明的不同角度、化簡，恒等式的變形【教學(xué)過程】引入：我們已經(jīng)知道，如果是終邊上不同于坐標(biāo)原點的點，記，則：由此可以看出：以上兩個關(guān)系式叫做同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。思考1：對于平方關(guān)系可作哪些變形？（1）（2）（3）思考2：對于商數(shù)關(guān)系可作哪些變形？思考3：結(jié)合平方關(guān)系和上述關(guān)系，可以得到哪些恒等式？【對點快練】1．已知sinα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則tanα的值是()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(4,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)答案：B因為sinα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3).2．下列四個命題中可能成立的一個是()A．sinα＝eq\f(1,2)且cosα＝eq\f(1,2)B．sinα＝0且cosα＝－1C．tanα＝1且cosα＝－1D．tanα＝eq\f(－sinα,cosα)(α為第二象限角)答案：B選項A不符合sin2α＋cos2α＝1，B符合sin2α＋cos2α＝1，又由tanα＝eq\f(sinα,cosα)知D不正確，C也不可能正確．例1.已知，且是第二象限角，求角的余弦和正切。解：由，得，所以因為是第二象限角，，所以。例2.已知，且是第二象限角，求角的正弦和余弦。解：由題意和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，有由（2）得，代入（1）整理得，因為是第二象限角，所以，代入（2）式得例3.已知，求的值。解：由題意和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，有消去，得，解得或當(dāng)時，可得，此時當(dāng)，可得，此時【變式練習(xí)】(1)已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值；(2)已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，a∈(0，π)，求tanα的值．(3)已知tanα＝eq\f(2,3)，且α是第三象限的角，求sinα，cosα的值．解(1)當(dāng)α是第二象限角時，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).當(dāng)α是第三象限角時，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).綜上所述：當(dāng)α是第二象限角時，sinα＝eq\f(15,17)，tanα＝－eq\f(15,8).當(dāng)α是第三象限角時，sinα＝－eq\f(15,17)tanα＝eq\f(15,8).(2)因為sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(49,169).即2sinαcosα＝－eq\f(120,169).因為α∈(0，π)，所以sinα>0，cosα<0.所以sinα－cosα＝eq\r(sinα－cosα2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(17,13).②由①②解得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13).所以tanα＝－eq\f(12,5).(3)解因為tanα＝eq\f(2,3)，所以eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(2,3)，即sinα＝eq\f(2,3)cosα.因為sin2α＋cos2α＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)cosα))2＋cos2α＝1，則cos2α＝eq\f(9,13)，又因為α是第三象限的角，所以cosα＝－eq\f(3\r(13),13)，則sinα＝－eq\f(2\r(13),13).所以sinα＝－eq\f(2\r(13),13)，cosα＝－eq\f(3\r(13),13).例4.化簡解：原式【變式練習(xí)】(1)化簡：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝____________.(2)若0<θ<eq\f(π,2)，化簡eq\f(sinθ,1－cosθ)·eq\r(\f(tanθ－sinθ,tanθ＋sinθ)).(3)若角α是第二象限角，化簡：tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1).解：(1)1原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝1.(2)原式＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·eq\r(\f(tanθ－tanθ·cosθ,tanθ＋tanθ·cosθ))＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·eq\r(\f(1－cosθ,1＋cosθ))＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·eq\r(\f(1－cosθ2,1－cos2θ))又0<θ<eq\f(π,2)，∴sinθ>0,0<cosθ<1，故原式＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·eq\f(1－cosθ,\r(sin2θ))＝eq\f(sinθ,sinθ)＝1.（3）原式＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))，因為α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以原式＝eq\f(sinα,cosα)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1.例5.求證（1）（2）（2）證明：（1）原式左邊=右邊因此：（2）原式右邊左邊因此（3）（方法一）因為所以（方法二）由題知，因而，即，從而原式左邊右邊因此注：從例5可以看出，證明一個三角恒等式，可以從它的任意一邊開始，推出它等于另一邊；也可以用作差法，證明等式兩邊之差等于零；還可以先證得另一個等式成立，并由此推出需要證明的等式成立?！咀兪骄毩?xí)】求證：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.證明左邊＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝2(1＋cosα－sinα－sinαcosα)，右邊＝(1－sinα＋cosα)2＝(1－sinα)2＋2(1－sinα)cosα＋cos2α＝1－2sinα＋sin2α＋2cosα－2sinαcosα＋cos2α＝2(1＋cosα－sinα－sinαcosα)，因為左邊＝右邊，所以原等式成立．例6.已知eq\f(sinα－3cosα,3sinα＋5cosα)＝－eq\f(1,11)，求下列各式的值：(1)tanα；(2)eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；(3)sin2α－2cos2α.解(1)顯然cosα≠0，eq\f(sinα－3cosα,3sinα＋5cosα)＝eq\f(tanα－3,3tanα＋5)，即eq\f(tanα－3,3tanα＋5)＝－eq\f(1,11)，解得tanα＝2.(2)∵tanα＝2，cosα≠0，∴eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×2－1,2×2＋3)＝eq\f(5,7).(3)∵tanα＝2，cosα≠0，∴原式＝eq\f(sin2α－2cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－2,tan2α＋1)＝eq\f(22－2,22＋1)＝eq\f(2,5).【變式練習(xí)】(1)已知tanα＝－eq\f(1,2)，則eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)的值是()A．eq\f(1,3) B．3C．－eq\f(1,3) D．－3答案：Ceq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα2,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(－\f(1,2)＋1,－\f(1,2)－1)＝－eq\f(1,3).(2)若eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，則tanα的值為()A．－2 B．2C．eq\f(23,16) D．－eq\f(23,16)答案：D由eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝eq\f(tanα－2,3tanα＋5)＝－5，所以tanα－2＝－15tanα－25，得tanα＝－eq\f(23,16).課堂總結(jié)：1．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可以由一個角的一個三角函數(shù)值，求出