2022-2023學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊 向量數(shù)量積的坐標表示 課件

向量數(shù)量積的坐標表示新知探究平面向量數(shù)量積的坐標表示

數(shù)字化是當前社會的最大特色，任何一件事物都被數(shù)字化了，當然這里的數(shù)字化強調的是數(shù)碼，向量的數(shù)量積的幾何運算為我們展示的是一幅美麗的畫卷，它解決了幾何中與度量相關的角度、長度（距離）等問題，向量的坐標運算又是如何展示這些問題的呢？本節(jié)我們來探索這個問題．新知探究問題1

前面我們已經學習了向量的線性運算的坐標表示、數(shù)量積，已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），請你寫出a±b的坐標運算以及數(shù)量積的定義．（1）a＋b＝（x1，y1）＋（x2，y2）＝（x1＋x2，y1＋y2）；（3）a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．（2）a－b＝（x1，y1）－（x2，y2）＝（x1－x2，y1－y2）；新知探究問題2

已知兩個向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎樣用a與b的坐標表示a·b呢？設i，j分別是x軸、y軸方向上的單位向量，則a·b＝（x1i＋y1j）·（x2i＋y2j）．＝x1x2i2＋（x1y2＋x2y1）i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2．新知探究追問1：若a⊥b，a與b的夾角為θ，你又能得出什么結論？（1）若a⊥b，則x1x2＋y1y2＝0；（2）若a與b的夾角為θ，則cosθ＝

．

新知探究問題3

若a＝（x，y），試將向量的模｜a｜用坐標表示．∵a＝xi＋yj，x，y∈R，∴a2＝（xi＋yj）2＝（xi）2＋2xy

i·j＋（yj）2＝x2i2＋2xy

i·j＋y2j2．又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴｜a｜2＝x2＋y2，

新知探究

＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1），

新知探究問題4

已知a＝（2，－1），b＝（2，3），求（1）a·b；（2）｜a＋b｜；

（3）求a與b夾角θ的余弦值．（1）a·b＝2×2＋（－1）×3＝1；

（3）cosθ＝

初步應用例1

已知向量a和b同向，b＝（1，2），a·b＝10，求：解答：（1）設a＝λb＝（λ，2λ）（λ＞0）．

∴a＝（2，4）．（2）（a·c）·b＝［2×2＋4×（－1）］·b＝0·b＝0．（1）向量a的坐標；（2）若c＝（2，－1），求（a·c）·b．初步應用

（1）點P到直線AB的距離為

；

（詳解參考教材P104例4的解析．）（2）點P（3，5）到直線l的距離

．

初步應用

即1×（m－3）＋2×2＝0，解得m＝－1．

課堂練習練習：教科書第105頁練習1，2，3，4．歸納小結（1）這節(jié)課我們發(fā)現(xiàn)了什么新知識？我們是如何研究它的？（2）利用向量數(shù)量積運算有哪幾種途徑？問題3

本節(jié)課收獲了哪些知識，請你從以下幾方面總結：（1）我們發(fā)現(xiàn)了向量數(shù)量積的坐標表示，利用向量數(shù)量積公式進行推導、研究；（2）進行向量的數(shù)量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質．解題時通常有兩條途徑：

一是先將各向量用坐標表示，直接進行數(shù)量積的坐標運算；

二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開（3）困惑是：……（3）你有什么困惑嗎？，再依據已知計算．作業(yè)布置作業(yè)：教科書第107頁，A組1，2，6；B組2．1目標檢測D已知向量a＝（1，k），b＝（2，2），且a＋b與a共線，則a·b的值為（）A．1C．3D．4B．2解析：a＋b＝（3，k＋2），由a＋b與a共線，可得3k－（k＋2）＝0，解得k＝1，則a＝（1，1），從而a·b＝1×2＋1×2＝4．2目標檢測CA．（－3，0）C．（3，0）D．（4，0）B．（2，0）

3目標檢測

解析：∵b＝（－2，－4）＝－2（1，2）＝－2a，

∵0≤θ≤π，∴θ＝

，

∴a＋b＝－a，∴（a＋b）·c＝－a·c＝

．

設a與c的夾角為θ，則cosθ＝

．

即a與c的夾角為

．

4目標檢測已知a＝（4，3），b＝（－1，2）．（1）求a與b的夾角的余弦值；（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求實數(shù)λ的值．

解答：（1）∵a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，（2）∵a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a