202X高考人A通用（理）數(shù)學一輪復(fù)習講義：第4章 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運算

PAGEPAGE10第四章平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入[深研高考·備考導航]為教師授課、學生學習提供豐富備考資源[五年考情]考點2016年2015年2014年2013年2012年平面向量的線性運算全國卷Ⅰ·T7全國卷Ⅱ·T13全國卷Ⅰ·T10平面向量基本定理及坐標運算全國卷Ⅰ·T7平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用全國卷Ⅰ·T13全國卷Ⅱ·T3全國卷Ⅲ·T3全國卷Ⅰ·T5全國卷Ⅰ·T15全國卷Ⅱ·T3全國卷Ⅰ·T13全國卷Ⅱ·T13全國卷·T13復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及其運算全國卷Ⅰ·T2全國卷Ⅱ·T1全國卷Ⅲ·T2全國卷Ⅰ·T1全國卷Ⅱ·T2全國卷Ⅰ·T2全國卷Ⅱ·T2全國卷Ⅰ·T2全國卷Ⅱ·T2全國卷·T3[重點關(guān)注]1．從近五年全國卷高考試題來看，平面向量與復(fù)數(shù)是每年的必考內(nèi)容，主要考查平面向量的線性運算，平面向量共線與垂直的充要條件，平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度較?。?．平面向量雖然有時也與其他知識滲透交匯命題，但平面向量僅起到穿針引線的載體作用．3．本章內(nèi)容要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，向量具有“形”與“數(shù)”的兩個特點，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁．[導學心語]1．透徹理解平面向量的有關(guān)概念及相應(yīng)的運算法則是學好本章的基礎(chǔ)．(1)向量的幾何運算側(cè)重于“形”，坐標運算側(cè)重于“數(shù)”，要善于將二者有機結(jié)合和轉(zhuǎn)化．(2)平面向量的數(shù)量積是高考的重點，要熟練掌握和運用．2．平面向量與其他知識的綜合滲透充分體現(xiàn)了平面向量的載體作用．平面向量的復(fù)習應(yīng)做到：立足基礎(chǔ)知識和基本技能，強化應(yīng)用．3．復(fù)數(shù)內(nèi)容獨立性較強，一般會以選擇題形式單獨命題，重點是代數(shù)運算，屬容易題，因此切忌盲目拔高要求；重視“化虛為實”的思想方法．第一節(jié)平面向量的概念及線性運算[考綱傳真]1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義．1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．()(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.()(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要條件．()(4)△ABC中，D是BC的中點，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(2015·全國卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))A[eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.]3．(2017·銀川質(zhì)檢)設(shè)點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，則eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝________.0[因為eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，由平行四邊形法則知，點P為AC的中點，故eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0.]4．(教材改編)已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________(用a，b表示)．b－a－a－b[如圖，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b.]5．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ－eq\f(1,3)[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,3k＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3)，,k＝\f(1,3).))]平面向量的有關(guān)概念給出下列六個命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD為平行四邊形；③若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；④λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線；⑤λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零；⑥a，b為非零向量，a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命題的序號為________．①②③④⑤⑥[①不正確．|a|＝|b|.但a，b的方向不確定，故a，b不一定是相等或相反向量；②不正確．因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形．③不正確．兩向量不能比較大?。懿徽_．當λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．⑤不正確．當λ＝1，a＝0時，λa＝0.⑥不正確．對于非零向量a，b，a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a，b同向．][規(guī)律方法]1.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認為④是正確的；(2)充分利用反例進行否定是對向量的有關(guān)概念題進行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性．(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點無關(guān)．3．若a為非零向量，則eq\f(a,|a|)是與a同向的單位向量，－eq\f(a,|a|)是與a反向的單位向量．[變式訓練1]設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()【導學號：01772141】A．0 B.1D[向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.]平面向量的線性運算(1)(2014·全國卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))(2)(2016·廣東廣州模擬)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))＋neq\o(BC,\s\up6(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)＝()A．－3 B.－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)(1)C(2)A[(1)如圖，eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)·2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)如圖，過D作DE∥AB，eq\o(CD,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))＋neq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，所以n＝－eq\f(1,3)，m＝1，所以eq\f(m,n)＝－3.故選A.][規(guī)律方法]向量的線性運算的求解方法(1)進行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．[變式訓練2](1)設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→)) B.2eq\o(OM,\s\up6(→))eq\o(OM,\s\up6(→))eq\o(OM,\s\up6(→))(2)已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為________．(1)D(2)－2[(1)因為M是AC和BD的中點，由平行四邊形法則，得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).故選D.(2)因為D是BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→)).由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，得eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→)).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，所以點P是以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))＝－2eq\o(PD,\s\up6(→))，所以λ＝－2.]共線向量定理的應(yīng)用設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．[解](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，2分∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又∵它們有公共點B，∴A，B，D(2)∵ka＋b和a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.9分∵a，b是兩個不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k[規(guī)律方法]共線向量定理的應(yīng)用(1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線．(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則A，B，C三點共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．易錯警示：證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點．[變式訓練3](1)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，則()A．A，B，C三點共線B．A，B，D三點共線C．A，C，D三點共線D．B，C，D三點共線(2)(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________.(1)B(2)e