大一高等數(shù)學(xué)第十二章第二節(jié)一階微分方程

一、可分離變量方程可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.分離變量法例1求解微分方程解分離變量兩端積分典型例題通解為解解由題設(shè)條件衰變規(guī)律例4有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開始時容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.解由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在微小的時間間隔水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為解例5某車間體積為12000立方米,開始時空氣中含有的,為了降低車間內(nèi)空氣中的含量,用一臺風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機通入含的的新鮮空氣,同時以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出,問鼓風(fēng)機開動6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到多少?設(shè)鼓風(fēng)機開動后時刻的含量為在內(nèi),的通入量的排出量的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到二、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式可分離變量的方程1.定義例6求解微分方程微分方程的解為解例7求解微分方程解微分方程的解為例8拋物線的光學(xué)性質(zhì)實例:車燈的反射鏡面------旋轉(zhuǎn)拋物面解如圖得微分方程由夾角正切公式得分離變量積分得平方化簡得拋物線可化為齊次的方程為齊次方程.（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程.2.解法1.定義有唯一一組解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.可分離變量的微分方程.可分離變量的微分方程.可分離變量.解代入原方程得分離變量法得得原方程的通解方程變?yōu)槔米兞看鷵Q求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為一階線性微分方程的標準形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.例如線性的;非線性的.三、一階線性方程齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)2.線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實質(zhì):

未知函數(shù)的變量代換.作變換積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解解例10例11如圖所示，平行與軸的動直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程所求曲線為伯努利(Bernoulli)方程的標準形式方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.伯努利方程解法:需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.求出通解后，將代入即得代入上式解例12例13

用適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為解分離變量法得所求通解為解代入原式分離變量法得所求通解為另解四、全微分方程1.定義:則若有全微分形式例如全微分方程或恰當方程所以是全微分方程.2.解法:應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).通解為用直接湊全微分的方法.全微分方程解是全微分方程,原方程的通解為例14解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為例15積分因子法定義:問題:如何求方程的積分因子?1.公式法:求解不容易特殊地:2.觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分表達式可選用的積分因子有解例16則原方程為原方程的通解為(公式法)可積組合法解將方程左端重新組合,有例17求微分方程原方程的通解為解將方程左端重新組合,有原方程的通解為可積組合法例18求微分方程解1整理得A常數(shù)變易法:B公式法:例19解2整理得A用曲線積分法:B湊微分法:C不定積分法:原方程的通解為五、一階方程的近似解法定義1定義2等斜線的方程為在這條等斜線上的各點處方向場畫法例20畫出方程所確定的方向解方程的等斜線為畫出五條等斜線,場示意圖.定義3如圖，的三條積分曲線．經(jīng)過點根據(jù)方向場即可大致描繪出積分曲線．歐拉-柯西近似法問題:方法：近似積分法——歐拉—柯西近似法．一階微分方程初值問題的解存在及唯一的充分條件如下定理：注意如此一段接一段地作下去，得一條折線，稱歐拉折線．注意初值問題的近似解例21解列表計算如下分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分-------隱式通解.六、小結(jié)齊次方程齊次方程的解法可化為齊次方程的方程齊次方程線性非齊次方程伯努利方程思考題2求解微分方程方程是否為齊次方程?思考題1思考題1解答為所求解.思考題2解答方