熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)6.1-6.8

設(shè)粒子的自由度為3.微觀態(tài)的經(jīng)典描述，相空間（也稱μ空間）相空間：以描述粒子運動狀態(tài)的廣義坐標(biāo)和廣義動量為軸構(gòu)成的一個2r維的正交坐標(biāo)空間。經(jīng)典粒子在任意時刻的運動狀態(tài)可用相空間的一個點來表示（因而相空間有時也稱為態(tài)空間），稱為粒子運動狀態(tài)代表點，隨著時間的推移，粒子運動狀態(tài)的改變體現(xiàn)為相空間中的粒子運動狀態(tài)的代表點的移動。設(shè)自由粒子的自由度為3,其任一時刻的位置由坐標(biāo)x,y,z確定.能量：二.實例1.自由粒子:不受力的作用,而做自由運動的粒子.空間維數(shù)：6(例:當(dāng)不存在外場時,理想氣體的分子或金屬的自由電子等).對于一維運動,自由度r=1，故在相空間為2維。若粒子以一定的動量px在長為L的容器中運動.粒子運動狀態(tài)代表點在相空間的軌跡為平行于x軸的直線.pxLoxpx能量：自由度:1能量橢圓:xp2.線性諧振子:質(zhì)量為m的粒子在彈性力作用下,

將在原點附近做簡諧振動.空間維數(shù)：2(例:一定條件下分子內(nèi)原子晶體中的原子或離子在平衡位置附近的振動都可看作簡諧振動).3.轉(zhuǎn)子:質(zhì)量為m的質(zhì)點A被具有一定長度的輕桿系于原點O

所作的運動.自由度：2空間維數(shù)：4位置坐標(biāo)：動量：oxyzA能量：動能：§6.2粒子運動的量子描述1.微觀粒子普遍具有粒子和波動二象性2.德布羅意關(guān)系：3.測不準(zhǔn)關(guān)系:微觀粒子不可能同時有確定的動量和坐標(biāo)4.量子態(tài):量子力學(xué)中，微觀粒子的運動狀態(tài)由波函數(shù)來描述，由一組量子數(shù)來表征，量子數(shù)的數(shù)目即粒子的自由度數(shù)。一.量子描述基礎(chǔ)

h相對而言是小量的情形，波動性不顯著，軌道概念近似成立。1.自旋（Uhlenbeck-Goudsmit)二.實例

電子、質(zhì)子、中子等粒子自旋角動量的量子數(shù)為若外磁場沿z軸方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，則粒子自旋磁矩在外磁場方向上的投影只能取兩個值：粒子在外場中的勢能為：粒子除了軌道運動，還有自旋運動，具有自旋角動量S。自旋磁矩自旋角動量2.線性諧振子只有一個量子數(shù)n特點:能級等間距3.轉(zhuǎn)子簡并度：由氫原子問題的求解可知:轉(zhuǎn)子的角動量:所以,在量子力學(xué)中,轉(zhuǎn)子的能量是分立的:4.自由粒子a.一維自由粒子因此，一維自由粒子的量子數(shù)：b.三維自由粒子量子數(shù)：簡并度：6量子狀態(tài)數(shù)與態(tài)密度求V=L3內(nèi)在Px-Px+dPx，Py-Py+dPy，Pz-Pz+dPz間的自由粒子的量子態(tài)數(shù)與態(tài)密度。在能級密集的假設(shè)下，令n連續(xù)在V=L3內(nèi)，符合上式的量子態(tài)數(shù)：采用球極坐標(biāo)，用代替§6.3系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述一.全同粒子與近獨立粒子１.經(jīng)典描述1）可分辨（可跟蹤的經(jīng)典軌道運動）2）描述方式：相空間中N個點。1）全同粒子:2）近獨立粒子二.對全同粒子系統(tǒng)的描述玻耳茲曼系統(tǒng)：由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。具有完全相同的屬性(相同的質(zhì)量,電荷,自旋等)的同類粒子;例:氦氣,自由電子氣體.交換兩個粒子的運動狀態(tài),則系統(tǒng)的運動狀態(tài)也不同.確定系統(tǒng)微觀狀態(tài)必須確定每個粒子的運動狀態(tài)。3）玻色子與費米子b)玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的基本粒子或復(fù)合粒子。如：光子等。不滿足泡利不相容原理a)費米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的基本粒子或復(fù)合粒子。

如：電子、質(zhì)子等。滿足泡利不相容原理泡利不相容原理：對于含有多個全同近獨立的費米子的系統(tǒng)中，一個個體量子態(tài)最多能容納一個費米子。２.量子描述1）不可分辨（物質(zhì)波的非軌道幾率運動）2）描述方式：確定每一個量子態(tài)上的粒子數(shù)量子全同粒子不可分辨，任意交換一對粒子，不改變系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)。——全同性原理自然界中基本粒子的分類按粒子的自旋玻色子—自旋量子數(shù)為整數(shù).

例:光子（1）,π介子（0）費米子—自旋量子數(shù)為半整數(shù).

例:質(zhì)子,中子玻色子—由玻色子組成或由偶數(shù)個費米子組成例:1H2分子,4He原子對復(fù)合粒子費米子—由奇數(shù)個費米子組成例:3H核*玻耳茲曼系統(tǒng):系統(tǒng)中的粒子可分辨,每個量子態(tài)可容納的粒子數(shù)不受限制;*玻色系統(tǒng):由玻色子組成的系統(tǒng),粒子不可分辨,每個量子態(tài)可容納的粒子數(shù)不受限制;*費米系統(tǒng):由費米子組成的系統(tǒng),粒子不可分辨,滿足泡利不相容原理.粒子類別量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)3玻耳茲曼系統(tǒng)ABABABABBAABBAABBA玻色系統(tǒng)000000000000費米系統(tǒng)000000例.討論2個粒子占據(jù)3個單體量子態(tài)的微觀狀態(tài)數(shù)一.宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的區(qū)別：二.宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的聯(lián)系：宏觀狀態(tài)量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計平均值統(tǒng)計物理的根本問題：確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率。三.等概率原理：對于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。§6.4等概率原理熱力學(xué)討論的狀態(tài)是宏觀態(tài)，由宏觀參量表征。確定的宏觀狀態(tài)下，可能的微觀狀態(tài)是大量的。§6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一.分布對于確定的宏觀狀態(tài)下，粒子數(shù)按能級的排列方式

能級：簡并度：粒子數(shù)：確定的宏觀狀態(tài)：多個微觀狀態(tài)對應(yīng)一種分布?！?.玻耳茲曼系統(tǒng)2.玻色系統(tǒng)3.費米系統(tǒng)4.經(jīng)典系統(tǒng)二.微觀狀態(tài)數(shù)若在玻色系統(tǒng)或費米系統(tǒng)中,任一能級上的粒子數(shù)遠(yuǎn)小于該能級的量子態(tài)數(shù),即則玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)近似為:----經(jīng)典極限條件(非簡并性條件)§6.6玻耳茲曼分布

一.最概然分布:微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布.當(dāng)條件給定時，系統(tǒng)所能取的微觀狀態(tài)數(shù)是十分巨大的。這些系統(tǒng)的可能微觀狀態(tài)數(shù)以什么樣的幾率出現(xiàn)，這是統(tǒng)計物理的根本問題，1870年玻爾茲曼給出了回答,即等概率原理。等概率原理：對于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。從能級的分布來說，能夠使微觀態(tài)數(shù)目取最大值的那一組分布出現(xiàn)的幾率也最大，因為它對應(yīng)于最多的微觀代表態(tài)。使得系統(tǒng)微觀態(tài)數(shù)目取極大值的分布稱為系統(tǒng)的最概然分布。當(dāng)然，這個極值是在一定約束條件下的極值。具體的說，當(dāng)體系具有固定的粒子數(shù)、能量，即二.麥克斯韋—玻耳茲曼分布引進(jìn)拉格朗日未定乘子與,得根據(jù)拉氏乘子法原理有若按態(tài)描述:-----麥克斯韋—玻耳茲曼分布意義：最概然分布時,在能量為εl能級上的粒子數(shù)。討論：1.玻耳茲曼分布與平衡態(tài)的關(guān)系.分布與宏觀態(tài)對應(yīng)故該分布是使為極大的分布---最概然分布2.玻耳茲曼分布的微觀狀態(tài)數(shù)非常接近于全部可能的微觀狀態(tài)數(shù).4.該理論可以推廣到多個組元的情形.這說明最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)非常接近于全部可能的微觀狀態(tài)數(shù)。3.實際上的條件往往不能滿足.這是推導(dǎo)過程中的一個嚴(yán)重缺點，但它的結(jié)果是正確的，與以后用別法的結(jié)果相同。三