專業(yè)課考試-i2013期末答案

20132014學(xué)年第1學(xué)高等代數(shù)2014年1月2 （3010 t已知A= .當(dāng)t 時(shí) tr（ATA）=12 10當(dāng)t t 值時(shí) AX=0解空間的維數(shù)等于A的秩設(shè)A,B,C,D為n階矩陣,且A可逆.若有可逆的分塊矩陣P,Q,使P

BQ

0 0,其中E是n階矩陣,則P CD0 CD0 In

E EA

CA-

InQ

In

(寫出一種取法 此時(shí)E=D–CAB將矩陣A

15

2寫成UDU-1的形式U為可逆矩陣D為對(duì)角矩陣3則U=

1 ,D=

0 (寫出一種取法);當(dāng)k趨于正無窮時(shí) 趨1趨1

12231

當(dāng)a (-1,1 值時(shí),三元二次型f=x2+2x2+x2+2axx–2x 1 2 1a 1a1a1a 正定;此時(shí)作變量替換X=CY,C=

0,可將f化為范型在實(shí)數(shù)域上，以下諸矩陣的相抵分類是{BACD},相似分類{AC}{B}{D合同分類 A 1,B

(t取任意實(shí)數(shù)

在三維歐氏空間中取定一個(gè)中心在原點(diǎn)的正六面體C,則恰有48_個(gè)3階正交矩陣A,使得線性變換XAX保持C整體不變(頂點(diǎn)映成頂點(diǎn)),這些正交矩陣中又恰有_16_個(gè)矩陣跡等于0二.（12分）已知A

22

010,且AXIATX,求矩陣X10解 移項(xiàng),得(A－I)X=AT－I,對(duì)[A－I|AT－I]作行變1 1 210 0 1101121011

2

011

100 10 0

2 于是X

32

1111

231151三.（18分）設(shè)α1α2,α3α4是矩陣A1

0 069

的列向量求子空間Vα1,α2,α3,α4>的一組基底當(dāng)a,b取何值時(shí) 列向量β=[ 1+a]TV此時(shí)β在(1)中基的坐標(biāo)是什么解1)對(duì)矩陣AT作行變換,得到簡(jiǎn)化階梯20AT 0

131 3 09 9

0010121010

0 00 00

001 0 10 0簡(jiǎn)化階梯形矩陣的非零行構(gòu)成AT行空間的基底,10

01

00 β1

2

,β2

1 β3

00

0

1 構(gòu)成V的`一組基

(2)若β=[ 1+a]TV,則必有β=β1+aβ2+bβ3比較第3,第5個(gè)分量,有2–a=2 3+3b=1+a由此解得a0,b2/3此時(shí)β在基底β1β2,β3下的坐標(biāo)是(1,02/3四.（16分）判斷對(duì)錯(cuò),正確的請(qǐng)給出證明,錯(cuò)誤的舉出反例 若A是一個(gè)n階矩陣n1),則一定存在一個(gè)n階矩陣B,使得BA是對(duì)角矩陣,且BA的秩等于A的秩.解:錯(cuò)誤0反例:取A=0

10.若有矩陣B,使得BA是非零的對(duì)角矩陣,01B

0.但這是不可能的,

A1

01 1 若A是m階正定矩陣 B是n階正定矩陣,則對(duì)任意mn實(shí)矩陣A都

C|A||B|.解:錯(cuò)誤反例:取AI2BI2,C2I2,則10201020 0102010201020 0102010202

00 0

90

|A||B|1五.（24分）設(shè)α1,α2,α3是矩陣A

0101

00的列向量 20 0 1求ATA的特征值與特征向量求正交矩陣P及對(duì)角矩陣D,使得ATAPDPT在歐氏空間R4的所有2維子空間里,求一個(gè)子空間V寫出V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基),使得α1,α2,α3的頂點(diǎn)到V的距離平方和為最小.確定這個(gè)最小2解: ATA 2

2 4的特征多項(xiàng)式|xIATA|

x2

x4

52 x

x02

2x1

2x1x

x02

2x1

40x=(x－1)(x2－11x+10 (x－1)2(x－10)故ATA的特征值為1代數(shù)2重)與10解齊次方程組ATA－IX0 2 1

2ATAI 40

0 x12x2+2x3 x2x3為自由變

4

0x1 2x22x3

2 2 x x1x0223 223

2 2于是特征值1的特征子空間的一組基為β1

,β2

0 對(duì)β1,β2作 idt正交化

2

2

2β1, β1 β2

(β2,β1

β1

041

14(β1,β1

5

5

再單位化,得到特征值1特征子空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交2 251=5

1

2

143 3 解齊次方程組ATA－10IX0,對(duì)ATA－10I作行變

2

1 0

9 201ATA10I

54

542

40

1

5

99

1

9

002 容易看出,特征值10的特征子空間的一組基為β3=2

,單位化1得到特征值10特征子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基3

12.3 .由于123構(gòu)成3維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基P=[

55115 3]=5

13333 23 33 33

為正交矩陣.令D

00

00 00則有ATAPDPT設(shè)列向量組1,2是所求2維子空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,記B=[1 2].則αi到V的正交投影可表示為(αi,1)1+(αi,2)2 11Tαi 22Tαi=BBTα由勾股定理αi到V距離的平方||αi－BBTαi||2=||αi||2－||BBTαi|| =αT －αT(BBT)T( =αT －αT 這里用到12是單位正交向量組,故有BTBI2于是α1,α2,α3到V距離的平方和 Tr(ATA)－Tr(ATBBTA)欲使以上距離平方和最小,只需取單位正交向量組12,使TrATBBTATr(BBTAAT)最大由直接計(jì)算或利用(2)的結(jié)果(見注),可得AATQEQT,這

1 3

3 10

2

1

055 55Q=[

2

4]=

3 3

10是正交矩陣E= 010 0

001000 00 0333

210注意到TrATBBTATrBBTQEQTTr(QTBBTQE令C=QTB 設(shè)c1,c2,c3,c4是CCT的對(duì)角元,c1+c2+c3+c4=Tr(CCT)=Tr(QTBBTQ)=Tr(BTB)=2又因?yàn)镃=QTB的列向量組是單位正交向量組,可擴(kuò)充成歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基.C*是此標(biāo)準(zhǔn)正交基排成的正交矩陣,則0ciCi個(gè)行向量長(zhǎng)度的平方C*i個(gè)行向量長(zhǎng)度的平方1于 Tr(ATBBTA)=Tr(CCTE)=c1+c2+10c3010 0等號(hào)可 c3= c1+c2=1,c4=0取到,例如取C= 100 00 B=QC=[ 1],即V=<3,1>時(shí) α1,α2,α3到V的距平方和為最小,這個(gè)最小值為TrATA－TrATBBTA12－111注 利用(2)的分解ATA=PDPT,我們推AATAPAP 且APTAPPTATAPD容易看出AP的列向量A1A2A3是實(shí)對(duì)稱矩陣AAT的特征向量,特征值分別為11,10的特征向量;且A1A2A3兩兩正交,長(zhǎng)度的平方分別為1,1,1