D5-1對(duì)坐標(biāo)曲線積分

第一節(jié)一、第二型曲線積分的概念與性質(zhì)三、第二型曲線積分的計(jì)算二、兩種曲線積分之間的關(guān)系

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二型曲線積分一、第二型曲線積分的概念與性質(zhì)1.

引例:變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xoy平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”常力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過(guò)程中變力所作的功W.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F沿則用有向線段上任取一點(diǎn)在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)“近似和”4)“取極限”(其中為n個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.定義.設(shè)L為xoy平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對(duì)L的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,則稱(chēng)此極限為函數(shù)或第二類(lèi)曲線積分.其中,L稱(chēng)為積分弧段或積分曲線.稱(chēng)為被積函數(shù),在L上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若為空間曲線弧,記稱(chēng)為對(duì)x的曲線積分;稱(chēng)為對(duì)y的曲線積分.若記,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫(xiě)作類(lèi)似地,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.性質(zhì)(1)若L可分成k條有向光滑曲線弧(2)用-L表示L的反向弧,則則

定積分是第二類(lèi)曲線積分的特例.說(shuō)明:

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、兩類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系設(shè)有向光滑弧L以弧長(zhǎng)為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類(lèi)曲線積分有如下關(guān)系機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類(lèi)似地,在空間曲線

上的兩類(lèi)曲線積分的關(guān)系是令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明:下面先證存在,且有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義由于對(duì)應(yīng)參數(shù)因?yàn)長(zhǎng)為光滑弧,同理可證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別是,如果L的方程為則對(duì)空間光滑曲線弧:類(lèi)似有定理目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在第二型曲線積分定理目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束中，如果積分曲線弧Γ垂直于y軸或z軸，則對(duì)y或z坐標(biāo)的曲線積分為0，即中，如果積分曲線弧Γ垂直于x軸，則對(duì)x坐標(biāo)的曲線積分為0，即對(duì)平面曲線L上的第二型曲線積分也有類(lèi)似地結(jié)果.例1.1

計(jì)算其中L為(1)圓

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上從點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)B(1,1)的一段弧;(2)從點(diǎn)O(0,0)經(jīng)點(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)B(1,1)的有向折線OAB.解：(1)圓的參數(shù)方程為

例1.1

計(jì)算其中L為(1)圓

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上從點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)B(1,1)的一段弧;(2)從點(diǎn)O(0,0)經(jīng)點(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)B(1,1)的有向折線OAB.解：(2)在OA上，x=0,dx=0.在AB上，由于AB垂直于y軸，所以例1.2

計(jì)算其中L為(1)拋物線

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)沿立方拋物線解：(1)沿拋物線(2)立方拋物線上由點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)A(1,1)的一段.例1.3

計(jì)算其中L為從點(diǎn)A(2,0,0)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束到點(diǎn)B(3,4,5)在到點(diǎn)C(3,4,0)的一條定向折線.解：定向線段AB的方程為參數(shù)方程為又BC垂直于Oxy面，例1.4

設(shè)某質(zhì)點(diǎn)在M(x,y)處受到力F的作用，F(xiàn)的大小與M到原點(diǎn)O的距離成正比，F(xiàn)的方向恒指向原點(diǎn).該質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a,0)沿橢圓機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解：按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)到點(diǎn)B(0,b),求力F所作的功W.橢圓的參數(shù)方程為1.求其中從z軸正向看為順時(shí)針?lè)较?解:取的參數(shù)方程機(jī)動(dòng)