高二物理競賽自由電子論課件

第五章

自由電子論一、

Sommerfeld自由電子模型二、

Born－Karmen周期性邊界條件y

k

r

y

k

r

Na

aa

k的取值不連續(xù)三維二維一維4p

2

L

2pr(k)＝8p

3SVN

E

E1/2

三維N

E

二維N

E

E

1/2

一維2rk

4p

k2

dk2rk2pkdk

2r

k

2dkE

k

N

E

dE

（等能面為球面）自由電子能量：三、

能態(tài)密度四、Fermi

－Dirac統(tǒng)計vT=0時

f

E

{

費米球、費米面、

費米能EF0

、費米半徑kF

、費米速度VF和費米溫度TF等概念。自由電子總數(shù)：

N

0

f

E

N

E

dE

T=0

0

N

E

dE

C

E

E

3

/2EEEEEEEEEEEE3/23/23/2EF0F0F0

0F0F費米能：

E3p2

3p2n

金屬：n

：

1022

~

1023cm－3

，EF0~幾個eV

，TF

:

104~105K。自由電子系統(tǒng)總能量：U0

0

Ef

E

N

E

dE

T=0

0

EN

E

dE

C

E

3

0FEEEEEEEEEEEE5/25/25/2EF0F0

2/32/32/32/32/32/32/32/32/32/32/3F0

NE5vT

>

0時f

E

Fermi

－Dirac分布函數(shù)E

=

m時

f

m

當(dāng)E-m>幾個kBT時

f

E

exp

0當(dāng)m-E>幾個kBT時

f

E

1強簡并情況：

m?EFvEF

：由自由電子的總數(shù)N求得N

0

f

E

N

E

dE

0

N

E

dE

kB

T

N

EF

E2FE

0

f

E

Q

E

dE

Q

EF

kB

T

Q

EF

22

EF

E

1

22F0四、Sommerfeld展開式（證明過程不要求）及其應(yīng)用對金屬，由于EF0>>kBT或TF>>T

，所以，

EF

?EF0。v

電子熱容量：由自由電子系統(tǒng)的總能量U求出U

0

Ef

E

N

E

dE

0

EN

E

dE

kB

T

EN

E

22FEEF

Ce

NkB

E

EF對金屬，EF0>>kBT

或TF>>T

，所以，常溫下Ce<<CL

，可以不必考慮電子熱容量的貢獻(xiàn)，與實驗結(jié)果符合。而在很低溫度下，電子熱容量與晶格熱容量同數(shù)量級，這時電子熱容量的貢獻(xiàn)不可忽略。vPauli順磁磁化率：c

1

c0

1

同樣，對金屬，

EF0>>kBT

或TF>>T

，所以c?c0

，即金屬的順磁磁化率基本上不隨溫度變化而變化。22

不同的金屬有不同的功函數(shù)，對金屬：

W

~

幾個eV不同金屬間的接觸電勢來自不同的金屬具有不同的費米能。五、熱電子發(fā)射與接觸電勢

W

熱電子發(fā)射：

j

AT

exp

k

T

W

：功函數(shù)222222222BB2六、

自由電子的輸運問題（推導(dǎo)過程不要求）導(dǎo)電率：

s

ne

t

FmWiegrmann－Franz定律：

T2222許多金屬的實驗結(jié)果證實了Wiedemann－Franz定律的正確性。Hall效應(yīng)：

RH

Lorenz數(shù)：

L

const.22對金屬，由于其費米能很高，EF0>>kBT（

TF>>T），

所以，盡管金屬中有大量的自由電子，

但對金屬性質(zhì)有貢獻(xiàn)的僅是費米面附近的一小部分電子，

而能量比費米能低得較多的電子不能吸收外界的能量而躍遷到高能態(tài)，而仍保持原來T＝0時的狀態(tài)，

對金屬的性質(zhì)沒有貢獻(xiàn)。七、

自由電子論的成功與局限性v成功：電子熱容量；

Pauli順磁；熱電子發(fā)射與接觸電勢；Wiedemann－Franz定律等。v困難：一價金屬的導(dǎo)電率比二價、三價金屬高；

有些金屬的Hall系數(shù)大于零；電子的平均自由程遠(yuǎn)大于原子間距；固體材料分為導(dǎo)體、

半導(dǎo)體和絕緣體；

實際金屬的費米面基本上都不是球面。p

h2L

2m

1/2

E

1/2p

hV

2m

3/2

E1/22p

2h3mSN

E

F0N

E

dE

三維二維常用公式：（三維）一維f

E

exp

kB

T

1

0

f

E

Q

E

dE

Q

EF

kB

T

2

Q

EF

N

0

f

E

N

E

dEU

0

Ef

E

N

E

dEEF

E

1

22F0

FF本章要求：v自由電子模型，

自由電子能量和波函數(shù)；v自由電子的能態(tài)密度（一維、二維、三維）；vT＝0時電子的分布，費米能、

費米面、

費米半徑、費米速度和費米溫度等概念；vSommerfeld展開式及其應(yīng)用（求EF和Ce等）；v熱電子發(fā)射和接觸電勢；v金屬的導(dǎo)電率、Wiedemann-Franz定律、Hall效應(yīng)；v自由電子論的成功與局限性。v基本公式和基本物理量的數(shù)量級（n、EF0

、TF和W等）。第六章

能帶論基礎(chǔ)一、

能帶論的基本假設(shè)：Born－Oppenheimer絕熱近似Hatree－Fock平均場近似二、周期場模型三、

Bloch定理Bloch函數(shù)：

y

k

r

eik

r

uk

r

eik

r

描述電子的共有化運動，反映電子在運動過程中其位相隨位置的變化。

波矢量k是對應(yīng)于平移算符本征值的量子數(shù)。uk

r

描述電子的原子內(nèi)運動，反映電子與晶格相互作用的強弱，表現(xiàn)為電子的振幅隨位置的周期性變化。四、近自由電子近似（微擾計算不要求）1.

近自由電子模型2.

主要結(jié)果：在離布里淵區(qū)邊界面較遠(yuǎn)處，周期場的影響很小，電子的運動與自由電子非常接近；周期場的影響主要表現(xiàn)在布里淵區(qū)邊界附近，

電子的能量會偏離自由電子能量，而在布里淵區(qū)邊界處電子的能量發(fā)生突變：

DE＝2êUnê注意三維情況與一維情況的差別，能帶重疊的條件。3.

近自由電子近似主要適用于處理金屬價電子所形成的能。帶J

Rs

(Rs

＝近鄰格矢)為近鄰原子間電子波函數(shù)的重疊積分，其大小決定所形成能帶的寬度。3.

適用范圍：原子的內(nèi)層電子所形成的能帶；過渡金屬的d電子能帶；絕緣體、

化合物和某些半導(dǎo)體的價帶。五、緊束縛近似（微擾計算不要求）1.

緊束縛模型2.

結(jié)果：

y

r

e

j

r

R

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk1ljlR

ikik1kE

k

ej

J0

J

Rs

e