2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理3組合第2課時(shí)組合的應(yīng)用學(xué)案2-3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第2課時(shí)組合的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1。能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。2.能解決有限制條件的組合問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)組合應(yīng)用題的解法1．無(wú)限制條件的組合應(yīng)用題的解法步驟為：一、判斷；二、轉(zhuǎn)化；三、求值;四、作答．2．有限制條件的組合應(yīng)用題的解法常用解法有:直接法、間接法．可將條件視為特殊元素或特殊位置，一般地按從不同位置選取元素的順序分步,或按從同一位置選取的元素個(gè)數(shù)的多少分類．類型一有限制條件的組合問(wèn)題例1去年7月23日，某鐵路線發(fā)生特大交通事故，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名赴事故現(xiàn)場(chǎng)搶救傷員，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問(wèn)：（1）抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？（2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？（3）至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種?反思與感悟(1）解決有約束條件的組合問(wèn)題與解決有約束條件的排列問(wèn)題的方法一樣,都是遵循“誰(shuí)特殊誰(shuí)優(yōu)先”的原則，在此前提下，采用分類或分步法或用間接法．(2)要正確理解題中的關(guān)鍵詞，如“至少”“至多”“含"“不含"等的確切含義，正確分類，合理分步．(3)要謹(jǐn)防重復(fù)或遺漏，當(dāng)直接法中分類較復(fù)雜時(shí),可考慮用間接法處理，即“正難則反”的策略．跟蹤訓(xùn)練1男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；(3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員．類型二與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題例2如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2,…，C6，線段AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4。(1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形？其中含C1點(diǎn)的有多少個(gè)?(2）以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A，B）中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),可作出多少個(gè)四邊形？反思與感悟(1）圖形多少的問(wèn)題通常是組合問(wèn)題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法．（2）在處理幾何問(wèn)題中的組合問(wèn)題時(shí)，應(yīng)將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決．跟蹤訓(xùn)練2空間中有10個(gè)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi),其余點(diǎn)無(wú)三點(diǎn)共線,四點(diǎn)共面，則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為（)A．205B．110C．204D．200類型三分組、分配問(wèn)題命題角度1不同元素分組、分配問(wèn)題例3有6本不同的書(shū)，按下列分配方式分配，則共有多少種不同的分配方式？(1）分成三組，每組分別有1本，2本，3本；（2）分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本；(3)分成三組,每組都是2本；(4)分給甲、乙、丙三人，每人2本．反思與感悟分組、分配問(wèn)題的求解策略常見(jiàn)形式處理方法非均勻不編號(hào)分組n個(gè)不同元素分成m組，每組元素?cái)?shù)目均不相同，且不考慮各組間的順序，不管是否分盡，分法種數(shù)為：A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－（m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1）均勻不編號(hào)分組將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組,假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為eq\f（A,A\o\al(r,r）)(其中A為非均勻不編號(hào)分組中的分法數(shù))．如果再有k組均勻組應(yīng)再除以Aeq\o\al（k,k)非均勻編號(hào)分組n個(gè)不同元素分成m組,各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A·Aeq\o\al（m,m）均勻編號(hào)分組n個(gè)不同元素分成m組,其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為eq\f(A,A\o\al(r，r))·Aeq\o\al(m，m）跟蹤訓(xùn)練3某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則不同的安排方法的種數(shù)為（)A．24B．48C．96D．114命題角度2相同元素分配問(wèn)題例4將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3，4的盒子，求下列方法的種數(shù)．（1）每個(gè)盒子都不空；(2)恰有一個(gè)空盒子；(3）恰有兩個(gè)空盒子．反思與感悟相同元素分配問(wèn)題的處理策略（1）隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒"．每一種插入隔板的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門(mén)解決相同元素的分配問(wèn)題．（2)將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的對(duì)象(n≥m），有Ceq\o\al(m－1,n－1）種方法．可描述為n－1個(gè)空中插入m－1塊板．跟蹤訓(xùn)練4有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給班號(hào)分別為1，2，3的3個(gè)班．（1）每班至少有1個(gè)名額,有多少種分配方案？（2）每班至少有2個(gè)名額，有多少種分配方案?(3)每班的名額不能少于其班號(hào)數(shù)，有多少種分配方案？(4)可以允許某些班級(jí)沒(méi)有名額,有多少種分配方案？1．從5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有,則不同的組隊(duì)方案共有()A．70種 B．80種C．100種 D．140種2．某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；（2）任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天不同午餐的搭配方法共有（）A．210種 B．420種C．56種 D．22種3．甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程，從4門(mén)課程中,甲選修2門(mén),乙、丙各選修3門(mén)，則不同的選修方案共有（）A．36種 B．48種C．96種 D．192種4．直角坐標(biāo)平面xOy上,平行直線x＝n(n＝0,1,2,…，5)與平行直線y＝n（n＝0，1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有（)A．25個(gè) B．36個(gè)C．100個(gè) D．225個(gè)5．要從12人中選出5人參加一次活動(dòng),其中A，B，C三人至多兩人入選，則有________種不同選法．1．無(wú)限制條件的組合應(yīng)用題的解題步驟(1)判斷．（2)轉(zhuǎn)化．（3）求值．(4)作答．2．有限制條件的組合應(yīng)用題的分類（1）“含"與“不含”問(wèn)題：這類問(wèn)題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來(lái)講,特殊要先滿足，其余則“一視同仁”．若正面入手不易,則從反面入手，尋找問(wèn)題的突破口,即采用排除法．解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語(yǔ)的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn)．（2)幾何中的計(jì)算問(wèn)題：在處理幾何問(wèn)題中的組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí),應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系,將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決．（3）分組、分配問(wèn)題:分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同,是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個(gè)數(shù)相同，但因元素不同,仍然是可區(qū)分的．

答案精析題型探究例1解(1）分兩步：首先從4名外科專家中任選2名,有Ceq\o\al（2,4）種選法，再?gòu)某饪茖＜业?人中選取4人,有Ceq\o\al(4,6)種選法，所以共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al（4,6）＝90(種）抽調(diào)方法．（2）“至少"的含義是不低于，有兩種解答方法，方法一(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類：①選2名外科專家,共有Ceq\o\al（2，4)Ceq\o\al(4,6)種選法；②選3名外科專家，共有Ceq\o\al（3,4)Ceq\o\al（3,6）種選法；③選4名外科專家，共有Ceq\o\al（4,4)Ceq\o\al(2,6）種選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4）Ceq\o\al(4，6）＋Ceq\o\al(3,4）Ceq\o\al(3，6）＋Ceq\o\al（4,4）Ceq\o\al(2,6）＝185(種)抽調(diào)方法．方法二(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有Ceq\o\al（6，10）種選法，若選取1名外科專家參加，有Ceq\o\al（1,4）Ceq\o\al(5,6)種選法;沒(méi)有外科專家參加，有Ceq\o\al（6,6）種選法，所以共有Ceq\o\al（6，10）－Ceq\o\al(1，4）Ceq\o\al（5，6)－Ceq\o\al（6,6）＝185（種）抽調(diào)方法．(3)“至多2名”包括“沒(méi)有”、“有1名”和“有2名"三種情況，分類解答．①?zèng)]有外科專家參加，有Ceq\o\al(6,6)種選法；②有1名外科專家參加，有Ceq\o\al（1，4）Ceq\o\al（5，6）種選法；③有2名外科專家參加，有Ceq\o\al(2，4）Ceq\o\al（4，6)種選法．所以共有Ceq\o\al(6，6)＋Ceq\o\al（1,4)Ceq\o\al（5，6)＋Ceq\o\al(2，4)Ceq\o\al（4,6）＝115（種）抽調(diào)方法．跟蹤訓(xùn)練1解(1)第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有Ceq\o\al（3，6)種選法；第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有Ceq\o\al（2,4)種選法，故共有Ceq\o\al（3，6)·Ceq\o\al(2，4）＝120（種）選法．(2）方法一(直接法）：“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員"包括以下幾種情況,1女4男,2女3男，3女2男，4女1男．由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(4，6)＋Ceq\o\al（2,4)·Ceq\o\al（3,6)＋Ceq\o\al（3，4）·Ceq\o\al(2，6)＋Ceq\o\al(4,4）·Ceq\o\al（1,6)＝246（種)選法．方法二(間接法）：不考慮條件，從10人中任選5人，有Ceq\o\al（5，10)種選法,其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有Ceq\o\al（5，6)種，故“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有Ceq\o\al(5，10)－Ceq\o\al（5，6)＝246（種)．(3）當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選法任意,共有Ceq\o\al(4,9）種選法；不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有Ceq\o\al（4，8）種選法，其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有Ceq\o\al(4，5）種，故不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有Ceq\o\al(4，8)－Ceq\o\al(4，5）種選法．所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有Ceq\o\al（4，9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5）＝191(種）．例2解(1)方法一可作出三角形Ceq\o\al（3,6）＋Ceq\o\al（1,6）·Ceq\o\al（2，4）＋Ceq\o\al（2,6)·Ceq\o\al（1,4）＝116（個(gè)）．方法二可作三角形Ceq\o\al(3,10）－Ceq\o\al（3,4)＝116(個(gè))，其中以C1為頂點(diǎn)的三角形有Ceq\o\al（2，5）＋Ceq\o\al（1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al（2,4)＝36(個(gè)）．（2)可作出四邊形Ceq\o\al（4,6)＋Ceq\o\al(3,6）·Ceq\o\al（1,6）＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al（2,6）＝360（個(gè)）．跟蹤訓(xùn)練2A例3解(1)分三步：先選一本有Ceq\o\al（1,6)種選法,再?gòu)挠嘞碌?本中選兩本有Ceq\o\al（2，5）種選法，最后余下的三本全選有Ceq\o\al（3,3）種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，分配方式共有Ceq\o\al(1,6）·Ceq\o\al(2，5）·Ceq\o\al(3,3）＝60（種)．(2）由于甲、乙、丙是不同的三個(gè)人，在(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配問(wèn)題．因此，分配方式共有Ceq\o\al（1，6）·Ceq\o\al(2，5)·Ceq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3）＝360（種)．（3)先分三組，有Ceq\o\al(2,6）Ceq\o\al(2,4）Ceq\o\al(2,2）種分法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書(shū)為A，B，C,D，E，F(xiàn)，若第一組取了A,B,第二組取了C，D,第三組取了E，F(xiàn)，則該種方法記為(AB，CD，EF)，但Ceq\o\al(2，6）Ceq\o\al（2，4)Ceq\o\al(2，2）種分法中還有（AB，EF，CD),(CD，AB，EF)，(CD,EF，AB)，（EF，CD，AB)，（EF，AB，CD）,共Aeq\o\al（3,3）種情況,而這Aeq\o\al（3,3）種情況只能作為一種分法,故分配方式有eq\f（C\o\al(2，6）·C\o\al(2,4)·C\o\al(2，2），A\o\al(3，3）)＝15(種）．（4）在(3）的基礎(chǔ)上再分配即可,共有分配方式eq\f（C\o\al(2,6)·C\o\al（2,4)·C\o\al（2，2)，A\o\al(3,3))·Aeq\o\al（3，3)＝90（種）．跟蹤訓(xùn)練3D例4解（1)先把6個(gè)相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個(gè)空隙中任選3個(gè)空隙各插一塊隔板，有Ceq\o\al（3,5)＝10(種)．（2)恰有一個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行．先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，如｜0｜000｜00｜，有Ceq\o\al（2,5）種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒,如｜0｜000｜|00｜,有Ceq\o\al（1，4)種插法，故共有Ceq\o\al(2，5)·Ceq\o\al（1,4）＝40（種)．(3）恰有兩個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行．先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板,并在5個(gè)空隙中任選1個(gè)空隙各插一塊隔板,有Ceq\o\al(1，5）種插法,如｜00|0000｜，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒．①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個(gè)盒子，如｜|00｜｜0000|,有Ceq\o\al（2,3)種插法．②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|｜|0000｜，有Ceq\o\al（1，3）種插法．故共有Ceq\o\al（1,5)·(Ceq\o\al(2，3）＋Ceq\o\al(1，3））＝30(種)．跟蹤訓(xùn)練4解(1）因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別,把它們排成一排,相鄰名額之間形成9個(gè)空隙，在9個(gè)空隙中選2個(gè)位置插入隔板，可把名額分成