2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.2數(shù)列的函數(shù)特性學(xué)案5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1。2數(shù)列的函數(shù)特性學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解數(shù)列的幾種表示方法.2.能從函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的表示方法思考以數(shù)列2，4，6,8，10,12，…為例，你能用幾種方法表示這個(gè)數(shù)列？梳理數(shù)列的表示方法有____________法、________法、列表法、遞推公式法．知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的增減性思考觀察知識(shí)點(diǎn)一中數(shù)列2，4,6，8，…的圖像，隨著n的增大，an有什么特點(diǎn)?梳理一般地，按項(xiàng)的增減趨勢(shì)分類，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，即an＋1____an，那么這個(gè)數(shù)列叫作____________；從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，即an＋1____an，那么這個(gè)數(shù)列叫作____________；各項(xiàng)相等的數(shù)列叫作____________；從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫作____________．類型一數(shù)列的表示方法例1圖中的三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在4個(gè)三角形圖案中,著色的小三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖像．反思與感悟由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納其通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是觀察、歸納各項(xiàng)與序號(hào)之間的聯(lián)系，善于利用我們熟知的一些基本數(shù)列，通過(guò)合理的聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．跟蹤訓(xùn)練1傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)．比如，他們將石子擺成如圖所示的三角形狀，就將其所對(duì)應(yīng)石子個(gè)數(shù)稱為三角形數(shù)，則第10個(gè)三角形數(shù)是________．類型二數(shù)列的增減性命題角度1判斷數(shù)列的增減性例2判斷數(shù)列{eq\f（n,n＋1）}的增減性．反思與感悟?qū)τ跓o(wú)窮數(shù)列，不可能從第2項(xiàng)起逐項(xiàng)驗(yàn)證是否大于前一項(xiàng)．故需考察an＋1－an的正負(fù)來(lái)研究數(shù)列的增減性．跟蹤訓(xùn)練2若數(shù)列｛n2＋λn}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．命題角度2求數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)例3在數(shù)列{an}中，an＝(n＋1)（eq\f(10,11))n(n∈N＋）．(1）求證：數(shù)列{an}先遞增，后遞減;（2）求數(shù)列{an｝的最大項(xiàng)．反思與感悟數(shù)列中最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的兩種求法(1)若求最大項(xiàng)an，則an應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（an≥an＋1,,an≥an－1，）)若求最小項(xiàng)an，則an應(yīng)滿足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1,,an≤an－1.）)(2)將數(shù)列看作一個(gè)特殊的函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的最值來(lái)解決數(shù)列的最值問(wèn)題，但此時(shí)應(yīng)注意n∈N＋這一條件．跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(4n－12,2n－7)，求數(shù)列{an｝的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)．1．已知數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(n＋2,n＋1)，則這個(gè)數(shù)列是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2,an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，則此數(shù)列是（)A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列3．用火柴棒按下圖的方法搭三角形：按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)an與所搭三角形的個(gè)數(shù)n之間的關(guān)系式可以是______________．1．{an}與an是不同的兩種表示，｛an}表示數(shù)列a1，a2，…，an，…，是數(shù)列的一種簡(jiǎn)記形式．而an只表示數(shù)列{an｝的第n項(xiàng)，an與｛an｝是“個(gè)體”與“整體"的從屬關(guān)系．2．?dāng)?shù)列的表示方法：(1)圖像法；（2)列表法；(3)通項(xiàng)公式法；（4)遞推公式法．3．判斷數(shù)列增減性的辦法一般是作差：an＋1－an,通過(guò)判斷差的正負(fù)來(lái)判斷數(shù)列{an}的增減性．當(dāng)an>0,也可用作商法與1比較大小判斷數(shù)列的增減性．通過(guò)判斷數(shù)列在各區(qū)間上的增減性，可求出數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考對(duì)數(shù)列2,4，6,8，10,12，…可用以下幾種方法表示：①通項(xiàng)公式法：an＝2n.②遞推公式法:eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＝2，，an＋1＝an＋2，n∈N＋.)）③列表法：n123…k…an246…2k…④圖像法:梳理通項(xiàng)公式圖像知識(shí)點(diǎn)二思考圖像上升，an隨n增大而增大．梳理〉遞增數(shù)列〈遞減數(shù)列常數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列題型探究例1解這四個(gè)三角形圖案中著色的小三角形的個(gè)數(shù)依次為1，3，9,27。則所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪,指數(shù)為序號(hào)減1.所以，這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝3n－1.在直角坐標(biāo)系中的圖像為一些孤立的點(diǎn)（如圖所示)．跟蹤訓(xùn)練155例2解設(shè)an＝eq\f(n，n＋1），則an＋1－an＝eq\f（n＋1,n＋2)－eq\f(n，n＋1）＝eq\f(1，n＋2n＋1)>0，∴{eq\f(n，n＋1）}是遞增數(shù)列．跟蹤訓(xùn)練2(－3,＋∞)解析設(shè)an＝n2＋λn，則an＋1－an＝(n＋1）2＋λ(n＋1）－n2－λn＝2n＋1＋λ〉0對(duì)任意n∈N＋恒成立．∴(2n＋1＋λ)min＝3＋λ>0,∴λ〉－3.例3（1)證明令eq\f(an，an－1)>1(n≥2），即eq\f（n＋1·\f（10，11)n，n·\f(10，11)n－1）〉1，整理得eq\f（n＋1,n）>eq\f（11，10），解得n<10.令eq\f(an，an＋1）>1，即eq\f（n＋1·\f（10,11）n,n＋2·\f(10,11）n＋1)〉1.整理得eq\f（n＋1，n＋2）〉eq\f(10，11)，解得n>9。所以數(shù)列{an｝從第1項(xiàng)到第9項(xiàng)遞增，從第10項(xiàng)起遞減，即數(shù)列{an}先增后減．（2)解由(1）知a9＝a10＝eq\f（1010,119）最大．跟蹤訓(xùn)練3解因?yàn)閍n＋1－an＝eq\f(4n－8,2n－5）－eq\f（4n－12,2n－7)＝eq\f（4n－82n－7－4n－122n－5，2n－52n－7)＝eq\f（8n2－44n＋56－8n2－44n＋60,2n－52n－7)＝－eq\f(4，2n－52n－7)＝－eq\f(1,n－\f（5，2)n－\f(7，2))當(dāng)n≤2時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1〈an；當(dāng)n＝3時(shí)，an＋1－an>0，即an＋1>an；當(dāng)n≥4時(shí)，an＋1－an〈0，即an＋1<an.又當(dāng)n≤3時(shí)，an〈2；當(dāng)n≥4時(shí)，an〉2.所以a4〉a5〉…〉a