第13章控制系統(tǒng)的根軌跡分析與校正

MATLAB

與控制系統(tǒng)仿真第13章控制系統(tǒng)的根軌跡分析與校正主要內(nèi)容13.1控制系統(tǒng)的根軌跡法分析13.1.1MATLAB根軌跡分析的相關(guān)函數(shù)13.1.2MATLAB根軌跡分析實(shí)例13.2控制系統(tǒng)的根軌跡法校正13.2.1根軌跡法超前校正及基于MATLAB的實(shí)例13.2.2根軌跡法滯后校正及基于MATLAB的實(shí)例主要內(nèi)容（續(xù)）13.3MATLAB圖形化根軌跡法分析與設(shè)計(jì)13.3.1MATLAB圖形化根軌跡法分析與設(shè)計(jì)工具rltool13.3.2基于圖形化工具rltool的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)實(shí)例本章小結(jié)根軌跡概念是指當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根(閉環(huán)極點(diǎn))在復(fù)平面上移動(dòng)的軌跡。通常情況下根軌跡是指增益K由零到正無(wú)窮大下的根的軌跡。

根軌跡方程閉環(huán)控制系統(tǒng)一般可用圖所示的結(jié)構(gòu)圖來(lái)描述。

根軌跡方程（續(xù)）開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為根軌跡方程（續(xù)）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為根軌跡方程（續(xù)）系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為即（式8）根軌跡方程（續(xù)）在s平面上凡是滿足上式的點(diǎn)，都是根軌跡上的點(diǎn)。式8稱為根軌跡方程。式8可以用幅值條件和相角條件來(lái)表示。

幅值條件相角條件式中,分別代表所有開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)到根軌跡上某一點(diǎn)的向量相角之和。繪制根軌跡的基本法則

根軌跡繪制法則可用來(lái)求取根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性，實(shí)軸上的根軌跡，根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)，根軌跡的漸近線，根軌跡的出射角和入射角，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)等信息，見下表。表中以“*”標(biāo)明的法則是繪制0根軌跡的法則（與繪制常規(guī)根軌跡的法則不同），其余法則不變。

繪制根軌跡的基本法則(續(xù))繪制根軌跡的基本法則(續(xù))繪制根軌跡的基本法則(續(xù))繪制根軌跡的基本法則(續(xù))繪制根軌跡的基本法則(續(xù))13.1控制系統(tǒng)的根軌跡法分析13.1.1根軌跡及根軌跡法概述以繪制根軌跡的基本規(guī)則為基礎(chǔ)的圖解法是獲得系統(tǒng)根軌跡很實(shí)用的工程方法。通過根軌跡可以清楚地反映如下的信息：臨界穩(wěn)定時(shí)的開環(huán)增益；閉環(huán)特征根進(jìn)入復(fù)平面時(shí)的臨界增益；選定開環(huán)增益后，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在根平面上的分布情況；參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在根平面上的變化趨勢(shì)等。13.1.2MATLAB根軌跡分析的

相關(guān)函數(shù)MATLAB中提供了rlocus()函數(shù)，可以直接用于系統(tǒng)的根軌跡繪制。還允許用戶交互式地選取根軌跡上的值。注：查閱并導(dǎo)讀幫助文檔

rlocus(G)rlocus(G1,G2,...)rlocus(G,k)[r,k]=rlocus(G)r=rlocus(G,k)繪制指定系統(tǒng)的根軌跡繪制指定系統(tǒng)的根軌跡。多個(gè)系統(tǒng)繪于同一圖上繪制指定系統(tǒng)的根軌跡。K為給定增益向量返回根軌跡參數(shù)。r為復(fù)根位置矩陣。r有l(wèi)ength(k)列，每列對(duì)應(yīng)增益的閉環(huán)根返回指定增益k的根軌跡參數(shù)。r為復(fù)根位置矩陣。r有l(wèi)ength(k)列，每列對(duì)應(yīng)增益的閉環(huán)根13.1.2MATLAB根軌跡分析的

相關(guān)函數(shù)[K,POLES]=rlocfind(G)[K,POLES]=rlocfind(G,P)交互式地選取根軌跡增益。產(chǎn)生一個(gè)十字光標(biāo)，用此光標(biāo)在根軌跡上單擊一極點(diǎn)，同時(shí)給出該增益所有對(duì)應(yīng)極點(diǎn)值返回P所對(duì)應(yīng)根軌跡增益K，及K所對(duì)應(yīng)的全部極點(diǎn)值sgridsgrid(z,wn)在零極點(diǎn)圖或根軌跡圖上繪制等阻尼線和等自然振蕩角頻率線。阻尼線間隔0.1，范圍從0到1，自然振蕩角頻率間隔為1rad/s，范圍從0到10在零極點(diǎn)圖或根軌跡圖上繪制等阻尼線和等自然振蕩角頻率線。用戶指定阻尼系數(shù)值和自然振蕩角頻率值13.1.2MATLAB根軌跡分析的

相關(guān)函數(shù)13.1.3MATLAB根軌跡分析實(shí)例

注：演示例2已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)的根軌跡，并據(jù)根軌跡判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。13.1.3MATLAB根軌跡分析實(shí)例

13.1.3MATLAB根軌跡分析實(shí)例注：演示例3若單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

繪制系統(tǒng)的根軌跡，確定當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，參數(shù)的取值范圍。注：演示例4若單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

繪制系統(tǒng)的根軌跡，并觀察當(dāng)時(shí)的值。繪制時(shí)的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線。13.1.3MATLAB根軌跡分析實(shí)例注：演示例5系統(tǒng)方框圖如圖所示。繪制系統(tǒng)以k為參量的根軌跡。

13.1.3MATLAB根軌跡分析實(shí)例例5求解例5求解繪制系統(tǒng)等效根軌跡。仍然可以利用MATLAB繪制其根軌跡。

13.2控制系統(tǒng)的根軌跡法校正13.2控制系統(tǒng)的根軌跡法校正如果性能指標(biāo)以單位階躍響應(yīng)的峰值時(shí)間、調(diào)整時(shí)間、超調(diào)量、阻尼系統(tǒng)、穩(wěn)態(tài)誤差等時(shí)域特征量給出時(shí)，一般采用根軌跡法校正。根軌跡法校正的基本思路為借助根軌跡曲線進(jìn)行校正。相位超前校正：如果系統(tǒng)的期望主導(dǎo)極點(diǎn)往往不在系統(tǒng)的根軌跡上。由根軌跡的理論，添加上開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)可以使根軌跡曲線形狀改變。若期望主導(dǎo)極點(diǎn)在原根軌跡的左側(cè)，則只要加上一對(duì)零、極點(diǎn)，使零點(diǎn)位置位于極點(diǎn)右側(cè)。如果適當(dāng)選擇零、極點(diǎn)的位置，就能夠使系統(tǒng)根軌跡通過期望主導(dǎo)極點(diǎn)s1，并且使主導(dǎo)極點(diǎn)在s1點(diǎn)位置時(shí)的穩(wěn)態(tài)增益滿足要求。13.2控制系統(tǒng)的根軌跡法校正相位滯后校正：系統(tǒng)的期望主導(dǎo)極點(diǎn)若在系統(tǒng)的根軌跡上，但是在該點(diǎn)的靜態(tài)特性不滿足要求，即對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)增益K太小。單純?cè)龃驥值將會(huì)使系統(tǒng)阻尼比變小，甚至于使閉環(huán)特征根跑到復(fù)平面S的右半平面。為了使閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)在原位置不動(dòng)，并滿足靜態(tài)指標(biāo)要求，則可以添加上一對(duì)偶極子，其極點(diǎn)在其零點(diǎn)的右側(cè)。從而使系統(tǒng)原根軌跡形狀基本不變，而在期望主導(dǎo)極點(diǎn)處的穩(wěn)態(tài)增益得到加大。13.2控制系統(tǒng)的根軌跡法校正13.2.1根軌跡法超前校正

及基于MATLAB的實(shí)例根軌跡超前校正的主要步驟據(jù)要求的系統(tǒng)性能指標(biāo)，求出主導(dǎo)極點(diǎn)期望位置。觀察期望主導(dǎo)極點(diǎn)是否位于校正前的系統(tǒng)根軌跡。如果需要設(shè)計(jì)校正網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計(jì)校正網(wǎng)絡(luò)。校正網(wǎng)絡(luò)零點(diǎn)的確定。可直接在期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置下方（或在頭兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)的左側(cè)）增加一個(gè)相位超前網(wǎng)絡(luò)的實(shí)零點(diǎn)。校正網(wǎng)絡(luò)零點(diǎn)的確定?？芍苯釉谄谕拈]環(huán)極點(diǎn)位置下方（或在頭兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)的左側(cè)）增加一個(gè)相位超前網(wǎng)絡(luò)的實(shí)零點(diǎn)。校正網(wǎng)絡(luò)極點(diǎn)的確定。確定校正網(wǎng)絡(luò)極點(diǎn)的位置，使期望的主導(dǎo)極點(diǎn)位于校正后的根軌跡上。利用校正網(wǎng)絡(luò)極點(diǎn)的相角，使得系統(tǒng)在期望主導(dǎo)極點(diǎn)上滿足根軌跡的相角條件。估計(jì)在期望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)處的總的系統(tǒng)開環(huán)增益。計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。如果穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)不滿足要求，重復(fù)不述步驟。13.2.1根軌跡法超前校正

及基于MATLAB的實(shí)例13.2.1根軌跡法超前校正

及基于MATLAB的實(shí)例注：演示例10對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，使系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量不超過40%，調(diào)整時(shí)間不超過4s（對(duì)于2%誤差范圍）。13.2.1根軌跡法超前校正

及基于MATLAB的實(shí)例13.2.2根軌跡法滯后校正

及基于MATLAB的實(shí)例滯后校正采用增加開環(huán)偶極子來(lái)增大系統(tǒng)增益。滯后校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為根軌跡滯后校正的基本步驟

確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。在校正前的根軌跡上，確定滿足這些性能指標(biāo)的主導(dǎo)極點(diǎn)的位置。計(jì)算在期望主導(dǎo)極點(diǎn)上的開環(huán)增益及系統(tǒng)的誤差系數(shù)。將校正前的系統(tǒng)的誤差系數(shù)和期望誤差系數(shù)進(jìn)行比較。計(jì)算需由校正網(wǎng)絡(luò)偶極子提供的補(bǔ)償。確定偶極子的位置。需能提供補(bǔ)償，又基本不改變期望主導(dǎo)極點(diǎn)處的根軌跡。根軌跡法滯后校正實(shí)例注：演示例7設(shè)單位反饋系統(tǒng)有一個(gè)受控對(duì)象為設(shè)計(jì)滯后補(bǔ)償使系統(tǒng)滿足以下指標(biāo)：

階躍響應(yīng)調(diào)整時(shí)間小于5s超調(diào)量小于17%速度誤差系數(shù)為1013.3MATLAB圖形化根軌跡法分析與設(shè)計(jì)13.3.1MATLAB圖形化根軌跡法分析與設(shè)計(jì)工具rltool

MATLAB圖形化根軌跡法分析與設(shè)計(jì)工具rltool是對(duì)SISO系統(tǒng)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)的。既可以分析系統(tǒng)根軌跡，又能對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。方便性在于設(shè)計(jì)零極點(diǎn)過程中，能夠不斷觀察系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，看其是否滿足控制性能要求，以此來(lái)達(dá)到提高系統(tǒng)控制性能的目的。rltool打開在MATLAB命令窗口輸入rltool命令即可打開圖形化根軌跡法分析與設(shè)計(jì)工具。也可以指定命令參數(shù)。rltool(Gk)指定開環(huán)傳遞函數(shù)rltool(Gk,Gc)指定校正環(huán)節(jié)和待校正傳遞函數(shù)rltool(Gk,Gc,LocationFlag,FeedbackSign)指定校正環(huán)節(jié)和待校正傳遞函數(shù)，并指定校正環(huán)節(jié)的位置和反饋類型LocationFlag='forward':位于前向通道LocationFlag='feedback':位于反饋通道FeedbackSign=-1:負(fù)反饋FeedbackSign=1:正反饋用戶可以通過ControlArchitecture窗口進(jìn)行系統(tǒng)模型的修改可通過SystemData窗口為不同環(huán)節(jié)導(dǎo)入已有的模型可以通過CompensatorEditor的快捷菜單進(jìn)行校正環(huán)節(jié)參數(shù)的修改，如增加或刪除零極點(diǎn)、增加超前或滯后校正環(huán)節(jié)等通過AnalysisPlots配置要顯示的不同圖形及其位置rltool基本操作13.3.2基于圖形化工具rltool

的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)實(shí)例注：演示例12已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，用根軌跡設(shè)計(jì)器查看系統(tǒng)增加開環(huán)零點(diǎn)或開環(huán)極點(diǎn)后對(duì)系統(tǒng)的性能。本章小結(jié)根軌跡是指當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）在復(fù)平面上移動(dòng)的軌跡。通常情況下根軌跡是指增益K由零到正無(wú)窮大下的根的軌跡。根軌跡方程表達(dá)了開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程式間的關(guān)系。根軌跡方程又可以用幅值條件和相角條件來(lái)表示?？梢愿鶕?jù)根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)的分析。本章小結(jié)（續(xù)）可以根據(jù)