第5講二次根式及其運(yùn)算

第一篇數(shù)與代數(shù)第一章數(shù)與式第5講二次根式及其運(yùn)算(a≥0).1．二次根式的有關(guān)概念2.二次根式的性質(zhì)≥0a-a3.二次根式的運(yùn)算最簡(jiǎn)二次根式

相同

乘除

1．(2013·宜賓)二次根式的值是()A．－3B．3或－3C．9D．32．(2015·武漢)若代數(shù)式

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是()A．x≥-2

B．x﹥-2C．x≥2D．x≤23．下列運(yùn)算正確的是()

A.＝±5B．＝1

C.＝9D.

＝6DCD4．一個(gè)正方形的面積是15，估計(jì)它的邊長(zhǎng)大小在()

A．2與3之間B．3與4之間

C．4與5之間D．5與6之間5．(1)(2015·黃岡)計(jì)算：

(2)(2015·長(zhǎng)沙)把進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到的最簡(jiǎn)結(jié)果是

（結(jié)果保留根號(hào)）B____【問(wèn)題】下列各式已給出計(jì)算結(jié)果：①＝；②＝－3；③＝；④＝4(1)其中正確的是___________；(2)對(duì)于錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)給出正確答案；(3)通過(guò)以上的解答，聯(lián)想二次根式有哪些性質(zhì)、運(yùn)算法則？【解析】(1)③；(2)①

，②＝3，④＝2；(3)主要從二次根式性質(zhì)、運(yùn)算法則方面去思考．【歸納】通過(guò)開放式問(wèn)題，歸納、疏理二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則．類型一平方根、算術(shù)平方根、立方根例1(1)(2015·黃岡)9的平方根是(

)

A．±3B．C．3D．－3(2)(2015·湖州)4的算術(shù)平方根是(

)

A．±2B．2C．－2D.(3)(2015·荊門)64的立方根是(

)

A．4B．±4C．8D．±8【思路分析】(1)9的平方根是：±＝±3；(2)因22＝4，

根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可得4的算術(shù)平方根是2；(3)因4的立方等于64，故64的立方根等于4.【答案】(1)A；(2)B；(3)A【解后感悟】一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；注意算術(shù)平方根易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯(cuò)誤；開立方和立方互為逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．1．(1)(2015·南京)4的平方根是

；4的算術(shù)平方根是

．(2)如果一個(gè)正數(shù)的平方根為a＋1和2a－7，則這個(gè)數(shù)為

.

±229類型二二次根式的有關(guān)概念與性質(zhì)例2(1)(2013·婁底)式子

有意義的x的取值范圍是(

)A．x≥－

且x≠1B．x≠1C．x≥－

D．x＞－

且x≠1【答案】(1)根據(jù)題意得，2x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－

且x≠1.故選A.

(2)，

，

，可得：k＝3，m＝2，n＝5，則m＜k＜n.故選D.

(2)(2013·臺(tái)灣)k、m、n為三整數(shù)，若，

，

，則下列有關(guān)于k、m、n的大小關(guān)系，何者正確(

)

A．k＜m＝nB．m＝n＜k

C．m＜n＜kD．m＜k＜n【思路分析】(1)根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．(2)根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得到k，m及n的值，即可作出判斷．【解后感悟】(1)此類有意義的條件問(wèn)題主要是根據(jù)：①二次根式的被開方數(shù)大于或等于零；②分式的分母不為零列不等式組，轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集．(2)此題根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，是解本題的關(guān)鍵．1．(2013·廣東)的平方根是是最簡(jiǎn)二次根式，則最小的正整數(shù)a=

．2．(2013·廣東)若實(shí)數(shù)a、b滿足

，則

＝

．3．(2013·曲靖)若整數(shù)x滿足|x|≤3，則使為整數(shù)的x的值是

(只需填一個(gè))．【解析】∵|x|≤3，∴－3≤x≤3，∴當(dāng)x＝－2時(shí)，

x＝3時(shí)，

，故使為整數(shù)的x的值是－2或3(填寫一個(gè)即可)．21－2類型三二次根式的運(yùn)算與求值例3(1)(2013·包頭)計(jì)算：＝

；(2)(2013·泰安)化簡(jiǎn)：【思路分析】(1)先進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可．(2)根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則以及絕對(duì)值的性質(zhì)和二次根式的化簡(jiǎn)分別化簡(jiǎn)整理得出即可．【答案】(1)原式＝

，

故答案為：

；

=-6.故答案為：－6.(2)＝

.5．(2013·泰州)下列計(jì)算正確的是()

A．B.

6．(2014·臺(tái)灣)算式之值為()

A．

B．

C．

D．7．(1)(計(jì)算)(－3)2016·(＋3)2015=

.

(2)(2015·南京)計(jì)算的結(jié)果是

.

【解后感悟】(1)二次根式的加減運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式的合并；(2)二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．CDC．D．

5

類型四二次根式的大小比較例4已知甲、乙、丙三數(shù)，甲＝5＋，乙＝3＋，丙＝1＋，則甲、乙、丙的大小關(guān)系，下列何者正確(

)

A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙

C．甲＜乙＜丙D．甲＝乙＝丙【思路分析】本題可利用“夾逼法”，先估算無(wú)理數(shù)

，，的整數(shù)部分，繼而也可得出甲、乙、丙的取值范圍，進(jìn)而可以比較其大小．【答案】∵3＝<<＝4，

∴8＜5＋＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝＜＜＝5，∴7＜3＋＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝＜＜＝5，∴5＜1＋＜6，∴5＜丙＜6.∴丙＜乙＜甲．故選A.【解后感悟】比較兩個(gè)二次根式大小時(shí)要注意：(1)負(fù)號(hào)不能移到根號(hào)內(nèi)；(2)根號(hào)外的正因數(shù)要平方后才能從根號(hào)外移到根號(hào)內(nèi)．8．(1)(2015·嘉興)與無(wú)理數(shù)最接近的是()

A．4B．5C．6

D．7(2)(2015·杭州)若k<<k+1(k是整數(shù))，則k=（）A．6B．7C．8

D．99．(填“＞”、“＜”或“＝”)C＞D類型五二次根式的綜合型問(wèn)題例5已知實(shí)數(shù)x，y滿足＝0，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是(

)

A．20或16

B．20

C．16D．以上答案均不對(duì)【思路分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義列出關(guān)于x、y的方程并求出x、y的值，再根據(jù)x是腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解．【答案】由＝0得，x－4＝0，y－8＝0，即x＝4，y＝8.(1)若4是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、4、8，不能組成三角形；(2)若4是底邊長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、8、8，能組成三角形，周長(zhǎng)為4＋8＋8＝20.故選B.【解后感悟】(1)常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)有三種形式：|a|，，a2.(2)若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則這幾個(gè)數(shù)都為零．10．觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：0，，，3，2，……，那么第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是

．11．若y＝＋x3，則10x＋2y的平方根為

；12．已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.±6【答案】因?yàn)閤＝＋1，y＝－1，所以x＋y＝

，x－y＝2.則(1)x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝()2＝12.(2)x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝4.【探索規(guī)律題】(2014·資陽(yáng))如圖，以O(shè)(0，0)、A(2，0)為頂點(diǎn)作正△OAP1，以點(diǎn)P1和線段P1A的中點(diǎn)B為頂點(diǎn)作正△P1BP2，再以點(diǎn)P2和線段P2B的中點(diǎn)C為頂點(diǎn)作△P2CP3，…，如此繼續(xù)下去，則第六個(gè)正三角形中，不在第五個(gè)正三角形上的頂點(diǎn)P6的坐標(biāo)是________．【分析與解】每一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)都是上個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的，第六個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是

，故頂點(diǎn)P6的橫坐標(biāo)是

，P5縱坐標(biāo)是

，

P6的縱坐標(biāo)為

，

故答案為：(

)．【方法與對(duì)策】根據(jù)O(0，0)A(2，0)為頂點(diǎn)作△OAP1，再以P1和P1A的中B為頂點(diǎn)作△P1BP2，再以P2和P2B的中C為頂點(diǎn)作△P2CP3，…，如此繼續(xù)下去，結(jié)合圖形求出點(diǎn)P6的坐標(biāo)．本題由特殊到一般的規(guī)律解題是鍵，這類題型是中考的熱點(diǎn)．【二次根式的化簡(jiǎn)符號(hào)不明確】下列各式中，正確的是(

)

A.＝－3

B．－＝－3

C.＝±