第9章 梁的應(yīng)力

第9章梁的應(yīng)力CD梁段橫截面上只有彎矩,而沒(méi)有剪力，這種平面彎曲稱為純彎曲。AC和DB梁段橫截面上不僅有彎矩還伴有剪力，這種平面彎曲稱為橫力彎曲。MFPaFQFPFPFPFPaaCDAB

與圓軸扭轉(zhuǎn)同樣，純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力研究方法是：觀察變形應(yīng)力分布應(yīng)力計(jì)算公式

σ與ε物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系一、純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力Oyxzbhoyz觀察純彎曲梁變形現(xiàn)象o1ao2b12121.幾何變形方面zyxoMMOyz所有縱向線都彎成曲線，仍與橫向線垂直，靠近凸邊的縱向線伸長(zhǎng)了，靠近凹邊的縱向線縮短了。橫向線仍為直線但轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度；矩形截面的上部變寬下部變窄。1212MMo1a1o2b1

平面假設(shè)：梁變形后其橫截面仍保持為平面，且仍與變形后的梁軸線垂直。同時(shí)還假設(shè)梁的各縱向纖維之間無(wú)擠壓。

單向受力假設(shè)：將梁看成由無(wú)數(shù)條縱向纖維組成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。中性層MMzy中性軸受壓區(qū)受拉區(qū)

中性層：梁的下部縱向纖維伸長(zhǎng)，而上部縱向纖維縮短，由變形的連續(xù)性可知，梁內(nèi)肯定有一層長(zhǎng)度不變的纖維層，稱為中性層。

中性軸：中性層與橫截面的交線稱為中性軸，由于荷載作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的變形沿縱向?qū)ΨQ，則中性軸垂直于橫截面的對(duì)稱軸。梁彎曲變形時(shí)，其橫截面繞中性軸旋轉(zhuǎn)某一角度。

1212o1ao2b1212o1ao2b1122MMdx

梁中取出的長(zhǎng)為dx的微段變形后其兩端相對(duì)轉(zhuǎn)了d角a1b1O2O1dr距中性層為y處的縱向纖維ab的變形式中ρ為中性層上的纖維的曲率半徑。可知：梁內(nèi)任一層縱向纖維的線應(yīng)變與其的坐標(biāo)成正比。

則纖維的應(yīng)變?yōu)樵L(zhǎng)：))O1O2a1b1O2O1dr1212o1ao2b變形后長(zhǎng)：彎曲應(yīng)力

2.物理關(guān)系方面

由于假設(shè)梁內(nèi)各縱向纖維只受拉伸或壓縮，所以當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，由虎克定律可得各縱向纖維的正應(yīng)力為

梁橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。即彎曲正應(yīng)力沿截面高度成線性分布。

中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力等于零，距中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣上各點(diǎn)處正應(yīng)力最大，其它點(diǎn)的正應(yīng)力介于零到最大值。xyzO坐標(biāo)系的選?。?/p>

y軸：截面的縱向?qū)ΨQ軸。

z軸：中性軸。

x軸：沿縱向線。

受力分析：dA上的內(nèi)力為σdA，于是整個(gè)截面上所有內(nèi)力組成一空間平行力系，由于橫截面上只有繞中性軸的彎矩MZ，所以橫截面法向的軸力FN和力偶矩My應(yīng)為零，即：ΣFx＝0ΣMy=0ΣMz=M(y

z)M3.靜力學(xué)關(guān)系方面故：Sz

=0

即中性軸z必過(guò)橫截面的形心。代入胡克定律：及：故：Iyz＝0，y軸為對(duì)稱軸，z軸又過(guò)形心，則軸y，z為橫截面的形心主慣性軸。（中性層曲率公式）故：其中1／ρ是梁軸線變形后的曲率。稱EIZ為梁的抗彎剛度。得純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式：代入：

表明：橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該橫截面上的彎矩和該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而與該截面對(duì)中性軸的慣性矩成反比。

計(jì)算時(shí)公式中代入M和y的絕對(duì)值。σ的正負(fù)可由彎矩的正負(fù)和所求點(diǎn)的位置來(lái)判斷.-++-適用條件是：

(1)梁的橫截面至少具有一個(gè)縱向?qū)ΨQ軸。(2)正應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限。(3)梁產(chǎn)生純彎曲。橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。此時(shí)，橫截面是不僅有正應(yīng)力，而且有切應(yīng)力。二、純彎曲理論的推廣對(duì)于跨度與截面高度之比大于5的橫力彎曲梁，橫截面上的最大正應(yīng)力按純彎曲正應(yīng)力公式計(jì)算，滿足工程上的精度要求。梁的跨高比越大，誤差就越小。梁在純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和各縱向纖維間無(wú)擠壓的假設(shè)不再成立。

例簡(jiǎn)支梁受均布荷載q作用，試完成：(1)求距左端為１m的C截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力。(2)求梁的最大正應(yīng)力值，并說(shuō)明最大正應(yīng)力發(fā)生在何處。(3)作出C截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。

200q=3.5kN/mAB3m1m解

（1）求指定截面上指定點(diǎn)的應(yīng)力先求出支座反力,由對(duì)稱性C截面積的彎矩矩形截面對(duì)中性軸z的慣性矩MC=(5.25×1－3.5×1×0.5)kN·m=3.5kN·m200q=3.5kN/mAB3m1m計(jì)算C截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力：200(2)求梁的最大正應(yīng)力值，及最大正應(yīng)力發(fā)生的位置。梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩Mmax所在的上、下邊緣處。由梁的變形情況可以判定，最大拉應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處；最大壓應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的邊緣處。其最大正應(yīng)力的值為(3)作C截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。

一般情況下，最大正應(yīng)力發(fā)生于彎矩最大的橫截面上矩中性軸最遠(yuǎn)處。

式中WZ僅與截面的幾何形狀及尺寸有關(guān)，稱為截面對(duì)中性軸的抗彎截面模量。單位：m3或mm3。令：三、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算1.梁的最大正應(yīng)力習(xí)慣上把產(chǎn)生最大應(yīng)力的截面稱為危險(xiǎn)截面，產(chǎn)生最大應(yīng)力的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。若截面是高為h，寬為b的的矩形，則若截面是直徑為d的圓形，則

若截面是外徑為D、內(nèi)徑為d的空心圓形，則

DdDd=a對(duì)于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數(shù)可從書(shū)后“附錄”型鋼表中查出。

對(duì)于中性軸不是截面對(duì)稱軸的梁，例如T型截面的等直梁。yy1y2C同一橫截面上σtmax≠σcmax，這時(shí)整個(gè)梁的σtmax或σcmax不一定發(fā)生在|Mmax|截面處，需對(duì)最大正彎矩和最大負(fù)彎矩處的σtmax和σcmax分別計(jì)算。2.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算對(duì)于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料（如低碳鋼），由于，所以只要求：梁橫截面上絕對(duì)值最大的正應(yīng)力不超過(guò)材料的彎曲許用應(yīng)力。其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：對(duì)于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料（如鑄鐵），由于，所以要求：梁橫截面上的最大拉應(yīng)力不超過(guò)材料的彎曲許用拉應(yīng)力，同時(shí)，梁橫截面上的最大壓應(yīng)力不超過(guò)材料的彎曲許用壓應(yīng)力。其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：3.強(qiáng)度條件應(yīng)用●

強(qiáng)度校核:●

設(shè)計(jì)截面:●

確定許用荷載

:

例

圖示簡(jiǎn)支梁選用木材制成，其橫截面為矩形b×h=140mm×210mm，梁的跨度l=4m，荷載FP=6kN，q=2kN/m，材料的彎曲許用應(yīng)力[σ]=11MPa，試校核該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。FAyFByhbz解：（1）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。求支座反力,由對(duì)稱性FBy=FAy=7kNqABl=4mFP10kNm

(2)計(jì)算截面的幾何參數(shù)。

再作梁的彎矩圖，如圖示。hbz從圖可知：跨中截面上彎矩最大，其值為Mmax=10kN·m

。FAyFByqABl=4mFP(3)校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。該梁滿足正應(yīng)力強(qiáng)度要求。截面設(shè)計(jì)矩形截面簡(jiǎn)支木梁，跨度4m，受均布荷栽5kN/m作用，木材[σ]

=10MPa，若截面高寬比為1.5，試確定截面尺寸。解：跨中截面為危險(xiǎn)截面kN.m強(qiáng)度條件定截面尺寸可取mm3mmmmmm許可荷栽由兩根20號(hào)槽鋼組成的外伸梁，受集中力P作用，若[]=170MPa，試求梁能承受的最大荷栽Pmax。解：作彎矩圖B為危險(xiǎn)截面PABCNo.202m6mkN.m2PM圖上部受拉，下部受壓最大荷載查型鋼表，找抗彎截面系數(shù)cm3強(qiáng)度條件求最大荷載kNkNy2y1C

例T形截面外伸梁如圖示，已知：材料的彎曲許用應(yīng)力分別為[σt]=45MPa，[σc]=175MPa，截面對(duì)中性軸的慣性矩Iz=5.73×10-6m4，下邊緣到中性軸的距離y1=72mm，上邊緣到中性軸的距離y2=38mm。試校核該梁的強(qiáng)度。4FP1=40kN0.3m0.3m0.3mFP2=15kNABCD解：(1)求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。

4.5kNm3kNmFP2=15kNDFP1=40kN0.3m0.3mABC0.3mB截面和C截面應(yīng)力分布規(guī)律圖y2y1C

C截面

B截面B截面滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。C截面B截面C截面不滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。所以該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度不滿足要求。FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.C截面上K點(diǎn)正應(yīng)力2.全梁上最大正應(yīng)力已知E=200GPa，F(xiàn)Sx90kN90kN1.求支反力（壓應(yīng)力）解：例題BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN2.全梁最大正應(yīng)力最大彎矩截面慣性矩分析（1）（2）彎矩最大的截面（3）抗彎截面系數(shù)最小的截面圖示為機(jī)車輪軸的簡(jiǎn)圖。試校核輪軸的強(qiáng)度。已知材料的許用應(yīng)力？例題（3）B截面，C截面需校核（4）強(qiáng)度校核B截面：C截面：（5）結(jié)論（1）計(jì)算簡(jiǎn)圖（2）繪彎矩圖FaFb解：分析（1）確定危險(xiǎn)截面（3）計(jì)算（4）計(jì)算，選擇工字鋼型號(hào)某車間欲安裝簡(jiǎn)易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重材料的許用應(yīng)力起重量跨度試選擇工字鋼的型號(hào)。（2）例題（4）選擇工字鋼型號(hào)（5）討論（3）根據(jù)計(jì)算（1）計(jì)算簡(jiǎn)圖（2）繪彎矩圖解：36c工字鋼作彎矩圖，尋找需要校核的截面要同時(shí)滿足分析：非對(duì)稱截面，要尋找中性軸位置T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強(qiáng)度。例題（2）求截面對(duì)中性軸z的慣性矩（1）求截面形心z1yz52解：（4）B截面校核（3）作彎矩圖（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作彎矩圖式中，F(xiàn)Q—需求切應(yīng)力處橫截面上的剪力；Iz—為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；

Sz*—為橫截面上需求切應(yīng)力處平行于中性軸的線以上（或以下）部分的面積對(duì)中性軸的靜矩；

b—為橫截面的寬度。三、梁橫截面上的切應(yīng)力bhyzyFQ1.矩形截面梁

切應(yīng)力的分布規(guī)律：1)切應(yīng)力的方向與剪力同向平行。2)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即同一橫截面上，與中性軸等距離的點(diǎn)切應(yīng)力均相等。3)切應(yīng)力沿截面高度按二次拋物線規(guī)律分布。距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處切應(yīng)力等于零；中性軸上切應(yīng)力取得該截面上的最大值，其值為將

說(shuō)明：矩形截面梁任一橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其值為該截面上平均切應(yīng)力FQ/A的1.5倍，切應(yīng)力沿截面高度的分布規(guī)律如圖示。

zyFQ2.工字形截面梁結(jié)論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計(jì)算腹板上的tmax。鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應(yīng)力式中，h1—腹板的高度。b1—腹板的寬度。3.切應(yīng)力強(qiáng)度條件

一般截面，最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。zyFQ梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件表達(dá)式為：4.梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件在工程中的應(yīng)用與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件在工程中的應(yīng)用相似，切應(yīng)力強(qiáng)度條件在工程中同樣能解決強(qiáng)度方面的三類問(wèn)題，即進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面、計(jì)算許用荷載。在一般情況下，正應(yīng)力對(duì)梁的強(qiáng)度起著決定性作用。所以在實(shí)際計(jì)算時(shí)，通常是以梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件做各種計(jì)算，以切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核即可。四、提高梁強(qiáng)度的措施

1、根據(jù)抗彎截面系數(shù)選擇合理截面

從抗彎截面系數(shù)的計(jì)算可以推知：一般情況下，抗彎截面系數(shù)與截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形狀應(yīng)該是在橫截面面積A相等的條件下，比值Wz/A盡量大些。

1)通過(guò)對(duì)矩形、圓形、工字形、正方形截面進(jìn)行理論計(jì)算發(fā)現(xiàn)：在橫截面的面積A相等的情況下，比值Wz/A從大到小的截面依次是：工字形、矩形、正方形、圓形；zzzz

2)通過(guò)對(duì)具有相同截面面積的實(shí)心及空心截面進(jìn)行理論分析發(fā)現(xiàn)：不論截面的幾何形狀是哪種類型，空心截面的Wz/A總是大于實(shí)心截面的Wz/A。zzzz3）對(duì)具有相同面積的矩形截面進(jìn)行理論計(jì)算還發(fā)現(xiàn)：盡管截面形狀和尺寸都沒(méi)變，只是放置方式不同（中性軸不同），從而使抗彎截面系數(shù)不相同。立放的矩形截面Wz/A值比平放的矩形截面Wz/A值大。若h=2b，梁平放時(shí)Wz/A=b/6，梁豎放時(shí)Wz/A=b/3。zybhhzyb

注意：上面我們只是單從強(qiáng)度觀點(diǎn)出發(fā)分析了截面的選擇規(guī)律，事實(shí)上，在實(shí)際工程中，選擇截面時(shí)，除了考慮強(qiáng)度條件外，還要同時(shí)考慮穩(wěn)定性、施工方便、使用合理等因素后才正確選擇梁的截面形狀。這就是大家所看到的在實(shí)際工程中仍然大量使用實(shí)心矩形截面梁，而不常使用空心截面梁的原因。2、根據(jù)材料特性選擇截面sGz對(duì)于抗拉和抗壓相同的塑性材料，一般采用對(duì)稱于中性軸的截面，如圓形、工字形等，使得上、下邊緣同時(shí)達(dá)到材料的許用應(yīng)力值。對(duì)于抗拉和抗壓不相同的脆性材料，最好選用關(guān)于中性軸不對(duì)稱的截面，如T形、槽形等。彎曲應(yīng)力3、采用變截面梁

為了