小波分析及其應(yīng)用

小波分析及其應(yīng)用第一頁，共六十頁，2022年，8月28日研究生講座：小波分析及其應(yīng)用1、小波的特點(diǎn)和發(fā)展2、小波分析在一維信號處理中的應(yīng)用3、小波分析在圖象分析中的應(yīng)用

圖象特征抽取

圖象壓縮

數(shù)據(jù)隱藏和圖象水印第二頁，共六十頁，2022年，8月28日21、小波的特點(diǎn)和發(fā)展

“小波分析”是分析原始信號各種變化的特性，進(jìn)一步用于數(shù)據(jù)壓縮、噪聲去除、特征選擇等。例如歌唱信號：是高音還是低音，發(fā)聲時間長短、起伏、旋律等。從平穩(wěn)的波形發(fā)現(xiàn)突變的尖峰。小波分析是利用多種“小波基函數(shù)”對“原始信號”進(jìn)行分解。

第三頁，共六十頁，2022年，8月28日3小波的時間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號中的“指定時間”和“指定頻率”的變化。時間：提取信號中“指定時間”（時間A或時間B）的變化。顧名思義，小波在某時間發(fā)生的小的波動。頻率：提取信號中時間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。

時間A時間B第四頁，共六十頁，2022年，8月28日4小波的成就小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)合。從數(shù)學(xué)來說是大半個世紀(jì)“調(diào)和分析”的結(jié)晶（包括傅里葉分析、函數(shù)空間等）。小波變換是20世紀(jì)最輝煌科學(xué)成就之一。在計算機(jī)應(yīng)用、信號處理、圖象分析、非線性科學(xué)、地球科學(xué)和應(yīng)用技術(shù)等已有重大突破，預(yù)示著小波分析進(jìn)一步熱潮的到來。

第五頁，共六十頁，2022年，8月28日5多分辨度分析（MRA）1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，統(tǒng)一了幾個不相關(guān)的領(lǐng)域：包括語音識別中的鏡向濾波，圖象處理中的金字塔方法，地震分析中短時波形處理等。當(dāng)在某一個分辨度檢測不到的現(xiàn)象，在另一個分辨度卻很容易觀察處理。例如：第六頁，共六十頁，2022年，8月28日6

第七頁，共六十頁，2022年，8月28日7

參考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995p.11第八頁，共六十頁，2022年，8月28日8小波的3個特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個數(shù)量級。信號長度為M時，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計算復(fù)雜性分別如下公式：

第九頁，共六十頁，2022年，8月28日9小波基表示發(fā)生的時間和頻率“時頻局域性”圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中）和時間采樣基（下）的比較

傅里葉變換(Fourier)基小波基時間采樣基第十頁，共六十頁，2022年，8月28日10Haar小波基母函數(shù)

（a）Haar“近似”基函數(shù)（b）Haar“細(xì)節(jié)”基函數(shù)低頻濾波系數(shù)高頻濾波系數(shù)

H0=[11]×qH1=[1-1]×q=[qq]=[q-q]其中：

第十一頁，共六十頁，2022年，8月28日11Haar小波的基函數(shù)第1行基函數(shù)是取平均（近似），第2-8行基函數(shù)是取變化（細(xì)節(jié)）。細(xì)節(jié)包括變化速率和發(fā)生的時間。

H0=[11]×qH1=[1-1]×q尺度函數(shù)近似基函數(shù)小波函數(shù)細(xì)節(jié)基函數(shù)第十二頁，共六十頁，2022年，8月28日12小波分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”論文1910年Haar提出最簡單的小波1980年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出的多分辨度分析理論（MRA），統(tǒng)一了語音識別中的鏡向濾波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個不相關(guān)的領(lǐng)域。第十三頁，共六十頁，2022年，8月28日13小波基可以通過給定濾波系數(shù)生成

小波基（尺度函數(shù)和小波函數(shù)）可以通過給定濾波系數(shù)生成。有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是對稱的，有的是非對稱的。小波的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以通過濾波系數(shù)直接導(dǎo)出，而不需要確切知道小波基函數(shù)，這是I.

Daubechies等的重要發(fā)現(xiàn)，使計算簡化，是快速小波分解和重建的基礎(chǔ)。

第十四頁，共六十頁，2022年，8月28日14小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(Haar--正交，對稱)

“近似”基函數(shù)“反變換”低頻和高頻“濾波系數(shù)”“細(xì)節(jié)”基函數(shù)Haar小波“正變換”低頻和高頻“濾波系數(shù)”第十五頁，共六十頁，2022年，8月28日15小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db2--正交，不對稱)

“近似”基函數(shù)“細(xì)節(jié)”基函數(shù)db小波“反變換”低頻和高頻“濾波系數(shù)”“正變換”低頻和高頻“濾波系數(shù)”第十六頁，共六十頁，2022年，8月28日16小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db4--正交，不對稱)

第十七頁，共六十頁，2022年，8月28日17小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(sym4--正交，近似對稱)

第十八頁，共六十頁，2022年，8月28日18小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior2.4–雙正交，對稱)

第十九頁，共六十頁，2022年，8月28日19小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior6.8–雙正交，對稱)

第二十頁，共六十頁，2022年，8月28日202、小波分析在一維信號處理中的應(yīng)用小波變換就是將“原始信號s”變換成“小波系數(shù)w”，w=[wa,wd]

包括近似(approximation)系數(shù)wa

與細(xì)節(jié)(detail)系數(shù)wd

近似系數(shù)wa---平均成分（低頻） 細(xì)節(jié)系數(shù)wd---變化成分（高頻）

第二十一頁，共六十頁，2022年，8月28日21小波原始信號分解過程：

原始信號s可分解成小波近似a與小波細(xì)節(jié)d之和。

s=a+d

小波系數(shù)w=[wa,wd]

的分量，乘以基函數(shù)，形成小波分解： 小波近似系數(shù)wa

×基函數(shù)A=近似分解a---平均 小波細(xì)節(jié)系數(shù)wd

×基函數(shù)D=細(xì)節(jié)分解d---變化

第二十二頁，共六十頁，2022年，8月28日22小波分解和小波基

小波基D小波基A原始信號小波系數(shù)wd小波系數(shù)wa正變換：原始信號在小波基上，獲得“小波系數(shù)”分量反變換：所有“小波分解”合成原始信號例如：小波分解a=小波系數(shù)wa×小波基A第二十三頁，共六十頁，2022年，8月28日23離散小波變換公式正變換反變換其中：是小波基函數(shù)參考“數(shù)字圖象處理”英文版,電子工業(yè)出版社,2002年（R.C.Gonzalaz,”DigitalImageProcessing”，p.375)信號s有M個樣本，J級小波變換：小波分解小波系數(shù)第二十四頁，共六十頁，2022年，8月28日24一維信號小波變換例子Haar小波，例子：

16點(diǎn)信號:[6598378565981339]通過MATLAB實現(xiàn)(wavemenu)波形圖小波正變換：小波系數(shù)：小波近似系數(shù)（加）；小波細(xì)節(jié)系數(shù)（減）小波反變換：可以由分解信號恢復(fù)原始信號。有2種：近似分解；細(xì)節(jié)分解第二十五頁，共六十頁，2022年，8月28日25一維信號的二級小波變換系數(shù)原始信號2級小波系數(shù)w2=[wa2,wd2,wd1]*Haar是正交變換。除以常數(shù)，目的使變換后平方和不變。例如：16位2級近似系數(shù)2級細(xì)節(jié)系數(shù)1級細(xì)節(jié)系數(shù)16位第二十六頁，共六十頁，2022年，8月28日26一維信號的二級小波變換分解2級近似分解（原始信號每4個平均值）2級細(xì)節(jié)分解（原始信號每2個平均的差值）1級細(xì)節(jié)分解（原始信號單數(shù)和雙數(shù)的差值）恢復(fù)信號第二十七頁，共六十頁，2022年，8月28日27一維信號的二級小波變換系數(shù)和分解原始信號2級小波系數(shù)w2=[wa2,wd2,wd1]2級近似分解（原始信號每4個平均值）2級細(xì)節(jié)分解（原始信號每2個平均的差值）1級細(xì)節(jié)分解（原始信號單數(shù)和雙數(shù)的差值）恢復(fù)信號第二十八頁，共六十頁，2022年，8月28日28原始信號

16點(diǎn)

16點(diǎn)原始信號[6598378565981339]第二十九頁，共六十頁，2022年，8月28日29兩級小波系數(shù)16點(diǎn)原始信號小波系數(shù)

原始信號(紅)兩級小波系數(shù)wd1wd2|wd2||wd1|第三十頁，共六十頁，2022年，8月28日3016點(diǎn)信號的Haar小波近似值和細(xì)節(jié)分解

兩級分解第三十一頁，共六十頁，2022年，8月28日31小波去噪聲

一般噪聲特點(diǎn)：（1）高頻成分（細(xì)節(jié)），（2）幅度?。河瞄撝担蝗ピ肼曔^程：去除原始信號高頻成分（細(xì)節(jié)）中幅度小于閾值部分。對2級小波，設(shè)定2個閾值，稱“閾值2”和“閾值1”。去除1級噪聲：去除1級小波細(xì)節(jié)分解中小于“閾值1”部分。去除2級噪聲：去除2級小波細(xì)節(jié)分解中小于“閾值2”部分?；謴?fù)：將小波近似分解，加上去噪聲后小波細(xì)節(jié)分解，即獲得去除噪聲的信號

第三十二頁，共六十頁，2022年，8月28日32噪聲去除

兩級分解噪聲去除，括號內(nèi)保留部分?jǐn)?shù)據(jù)原始信號(紅),去噪后(黃)wd1兩級小波系數(shù)wd2第三十三頁，共六十頁，2022年，8月28日33小波去噪聲16點(diǎn)[65

98

37

85

65

98

13

39

]

|wd1|1級去噪前絕對值|wd1|1級去噪后絕對值|wd2|2級去噪后絕對值|wd2|2級去噪前絕對值原始信號(紅),去噪后(黃)1級細(xì)節(jié)小波系數(shù)2級細(xì)節(jié)小波系數(shù)0.707×[1,1,-4,3,1,1,-2,-6]0.5×[-6,-3,-6,-8]兩級小波系數(shù)閾值1wd1wd2閾值2第三十四頁，共六十頁，2022年，8月28日34Haar小波去噪聲（16點(diǎn)信號）

16點(diǎn)原始信號[6598378565981339]小波去噪聲兩級分解第三十五頁，共六十頁，2022年，8月28日35一維信號的小波變換例子2（電壓曲線）通過MATLAB實現(xiàn)(wavemenu)波形圖

(MATLAB\toolbox\wavelet\wavedemo\leleccum.mat)

是“電網(wǎng)監(jiān)視的電壓曲線”， 有4570個點(diǎn)

Haar小波變換

第三十六頁，共六十頁，2022年，8月28日36

haar小波(s=a2+d2+d1)(wavemenu)leleccumLevel2

(s-原始信號，a2-近似，d1-d2細(xì)節(jié))1級細(xì)節(jié)分解(奇偶數(shù)值的差)2級細(xì)節(jié)分解(前2和后2的差)原始信號(紅)2級近似分解值2級小波分解波形中的毛刺(見下頁)第三十七頁，共六十頁，2022年，8月28日37

1級細(xì)節(jié)分解(奇偶數(shù)值的差)2級細(xì)節(jié)分解(前2和后2的差)原始信號(紅)2級近似分解值2級小波分解（放大）波形中的毛刺第三十八頁，共六十頁，2022年，8月28日38圖-5haar(s=a5+d5+..+d1)(wavemenu)leleccumLevel5

a5-近似，d5-d1細(xì)節(jié)附錄-5(wavemenu)leleccumhaarLevel5

leleccum.mat是有36560個點(diǎn)的一維電壓信號(s-原始信號，a1-近似，d1-細(xì)節(jié))信號前2和后2的差---細(xì)節(jié)2信號奇偶數(shù)值的差---細(xì)節(jié)1原始信號信號---近似值5級小波分解第三十九頁，共六十頁，2022年，8月28日39小波去噪聲leleccumhaar小波

兩級小波系數(shù)1級細(xì)節(jié)小波系數(shù)2級細(xì)節(jié)小波系數(shù)黃虛線表示閾值wd1wd2原始信號(紅),去噪后(黃)|wd1|1級去噪前絕對值|wd1|1級去噪后絕對值|wd2|2級去噪后絕對值|wd2|2級去噪前絕對值第四十頁，共六十頁，2022年，8月28日40小波壓縮leleccumhaar

黃虛線表示閾值1級細(xì)節(jié)小波系數(shù)2級細(xì)節(jié)小波系數(shù)wd1wd2原始信號(紅),壓縮后(黃)兩級小波系數(shù)|wd1|1級去噪前絕對值|wd1|1級去噪后絕對值|wd2|2級去噪后絕對值|wd2|2級去噪前絕對值第四十一頁，共六十頁，2022年，8月28日41小波壓縮效果leleccumhaar

黃色虛線—全局閾值（自動分配兩級閾值）紫色線—相對能量百分比（能量盡量保持）綠色線—零數(shù)目百分比(零數(shù)目愈大，壓縮愈明顯)第四十二頁，共六十頁，2022年，8月28日423、小波分析在圖象處理中的應(yīng)用圖象是二維信號，其小波變換相當(dāng)于二次一維信號的小波變換：。（1）第一次一維信號的小波變換相當(dāng)于圖象的行變換。（2）第二次一維信號的小波變換相當(dāng)于圖象的列變換。 小波變換用于圖象壓縮有良好的效果，已形成圖象壓縮的標(biāo)準(zhǔn)如JPEG2000。第四十三頁，共六十頁，2022年，8月28日43小波變換用于圖象特征抽取

第1級斜線細(xì)節(jié)第1級水平細(xì)節(jié)第1級垂直細(xì)節(jié)水平細(xì)節(jié)近似圖象垂直細(xì)節(jié)斜線細(xì)節(jié)第四十四頁，共六十頁，2022年，8月28日44

第1級L1斜線細(xì)節(jié)第1級L1水平細(xì)節(jié)第1級L1垂直細(xì)節(jié)第2級L2細(xì)節(jié)近似圖象第3級L3小波系數(shù)分級方塊表示法第四十五頁，共六十頁，2022年，8月28日45

第3級L3分辨率第2級L2分辨率第1級L1分辨率小波系數(shù)分級樹形表示法第四十六頁，共六十頁，2022年，8月28日46小波變換用于圖象壓縮采用小波進(jìn)行壓縮。作“小波變換”后，統(tǒng)計特性有改善，消除行和列之間的相關(guān)關(guān)系。有損壓縮：根據(jù)視覺原理，不同分辨率小波系數(shù)進(jìn)行比特分配。然后轉(zhuǎn)換到一維作熵編碼，如算術(shù)編碼或霍夫曼編碼。無損壓縮：選擇“整數(shù)小波變換”，無舍入誤差。但不能進(jìn)行比特分配。

第四十七頁，共六十頁，2022年，8月28日47小波變換用于圖象壓縮

第3級L3水平、斜線、垂直細(xì)節(jié)第2級L2水平、斜線、垂直細(xì)節(jié)第1級L1水平、斜線、垂直細(xì)節(jié)兩閾值線之間的直方圖被去除（有損壓縮）第四十八頁，共六十頁，2022年，8月28日48小波變換用于無損數(shù)據(jù)隱藏?zé)o損數(shù)據(jù)隱藏：是基于無損壓縮：選擇“整數(shù)小波變換”，無舍入誤差。例如可以采用第二代小波。無損數(shù)據(jù)隱藏：避免在嵌入數(shù)據(jù)后小波反變換時圖象灰度的溢出。小波變換前要作預(yù)處理，作直方圖調(diào)整，將圖象中灰度出現(xiàn)少的數(shù)據(jù)，合并入隱藏數(shù)據(jù)。第一個無損數(shù)據(jù)隱藏是1999年科達(dá)公司發(fā)表的一個專利。由于法律上原因，醫(yī)學(xué)圖象數(shù)據(jù)隱藏必須是無損的。此外、無損數(shù)據(jù)隱藏在電子銀行、電子政務(wù)、電子商務(wù)、圖象建檔等有廣泛的用途。

第四十九頁，共六十頁，2022年，8月28日49數(shù)據(jù)嵌入核磁共振醫(yī)學(xué)圖象

(可無損恢復(fù))

(水印圖象見下頁)

(a)原始(512×512×8)

(b)小波域嵌入水印圖象

第五十頁，共六十頁，2022年，8月28日50水印圖象

(192×120×2二值圖象)

第五十一頁，共六十頁，2022年，8月28日51小波變換用于無損數(shù)據(jù)隱藏（交通圖象）

原始圖象（1024768）信息隱藏后的偽裝圖象（1024768）同時隱藏5張（320×280）圖象（見下頁）第五十二頁，共六十頁，2022年，8月28日52同時隱藏的5張（320×280）交通圖象，可完全恢復(fù)

（1）上海延安路（3）上海曲陽路（2）外地（4）上海曲陽路（5）上海曲陽路第五十三頁，共六十頁，2022年，8月28日53小波變換用于圖象水印

指紋原始圖象嵌入水印(取款密碼等)后圖象指紋傳感器：標(biāo)準(zhǔn)的Veridicom指紋鼠標(biāo)指紋開發(fā)工具：VeridicomAuthenticationSDK以Windows的DLL庫方式提供指紋庫：(FingerprintVerificationCompetition,FVC)。FVC2000db1是由光學(xué)設(shè)備采集；FVC2000db2是由電容設(shè)備采集。銀行取款密碼嵌入指紋，網(wǎng)上進(jìn)行身份認(rèn)證第五十四頁，共六十頁，2022年，8月28日54小波變換用于圖象水印

小波正變換小波反變換小波正變換小波反變換數(shù)據(jù)嵌入數(shù)據(jù)提取原始圖象加水印后圖象輸入原始圖象加水印后圖象輸出隱藏數(shù)據(jù)隱藏數(shù)據(jù)第五十五頁，共六十頁，2022年，8月28日55小波分析最新進(jìn)展（1）第二代小波，稱提升算法，可用于整數(shù)小波。（2）嵌入零樹法，獲得更優(yōu)良的效果。（3）小波與統(tǒng)計理論結(jié)合。（4）商品化，如“JPEG2000”小波圖象壓縮標(biāo)準(zhǔn)，MATLAB小波計算包等。第五十六頁，共六十頁，2022年，8月28日56“小波分析及其應(yīng)用”講座小結(jié)（1）小波分析理論上比較完善小波變換基，既具有頻率局域性質(zhì)，又具有時間局域性質(zhì)。小波變換的多分辨度的變換，能在多個尺度上分解，便于觀察信號在不同尺度（分辨率）上不同時間的特性。（2）小波分析有廣泛的實用性小波變換存在快速算法，對于M點(diǎn)序列而言，計算復(fù)雜性為：O(M)，處理快速。小波變換基函數(shù)有多種類型，可以是正交的，也可以是非正交（雙正交），比傅里葉變換更加靈活。

()（完）

第五十七頁，共六十頁，2022年，8月28日57附錄1：2級Haar小波變換4點(diǎn)例子

序信號s1級小波系數(shù)w1=[wa1,wd1]

2級小波系數(shù)w2=[wa2,wd2,wd1]167.778214.00002512.0208-3.0000390.70710.7071480.70710.7071

wd1wa1wa2wd2wd1細(xì)節(jié)系數(shù)（wd1

）形成后不再變化。原始信號1級小波近似系數(shù)1級小波細(xì)節(jié)系數(shù)2級小波近似系數(shù)2級小波細(xì)節(jié)系數(shù)(s,w1,

w2的平方和不變)第五十八頁，共六十頁，2022年，8月28日58序信號s一級小波w1=[wa1,wd1