第六章一般年金

第六章一般生存年金簡介分類終身年金與定期年金期初付年金與期末付年金延期年金與非延期年金推導(dǎo)思路尋找與年付年金之間的關(guān)系支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率0第m次每次支付第2m次每次支付

…第nm次每次支付計(jì)息支付12…n例如每年支付m次掌握一、確定年金,1元每年支付m次年金分析方法法1：利率轉(zhuǎn)換法法2:年金轉(zhuǎn)換法（重點(diǎn)）vnvn證法１：在UDD（即年齡內(nèi)死亡均勻分布）假設(shè)下，有證法２：

設(shè)剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命：T(x)=k(x)+s

其中隨機(jī)變量s在(0,1)中取值，根據(jù)UDD假設(shè)，s在(0,1)中服從均勻分布，則該保險(xiǎn)的單位保額在保險(xiǎn)合同生效時(shí)間的現(xiàn)值為隨機(jī)變量：其中s(m)與s有關(guān)，當(dāng)s在取值時(shí)，，即s(m)僅在上取值。

因?yàn)樵赨DD假設(shè)下，s在(0,1)上均勻分布，所以s(m)以相同的概率取值。且因k與s相互獨(dú)立，故k與s(m)也相互獨(dú)立。則有

設(shè)剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命：T(x)=K(x)+S

定義S(m)，其中s(m)與s有關(guān)，當(dāng)s在

取值，。二、年付m次終身生存年金（初付）假設(shè)每年給付m次的期初給付終身生存年金的現(xiàn)值為Ｙ，則Ｙ為隨機(jī)變量

每年付m次終身生存年金（初付）基本公式:終身生存年金（初付）在UDD假定下可推出如下公式近似公式（實(shí)際操作公式）例1：王先生今年55歲，他在壽險(xiǎn)公司購買終身生存年金，年金額于每月初付款250元，i=0.06。則在UDD假設(shè)條件下，求精算現(xiàn)值。例2：已知死亡服從DeMoivre規(guī)則，則求（50）歲的按月期初付100元的終身生存年金的精算現(xiàn)值。三、定期生存年金基本定義UDD假定下的推導(dǎo)公式近似公式（實(shí)際操作公式）四、延期生存年金延期終身生存年金（UDD假定）延期m年的n年定期終身生存年金（UDD假定）五、期末付的年付m次的生存年金1.每次支付1/m的期末付終身生存年金2.每次支付1/m的期末付定期生存年金例3對于（30）的從60歲起每月月初500元的生存年金，預(yù)定利率為6%，以中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）的資料，求保單的躉繳凈現(xiàn)值。解：解：例4某保單提供從60歲起每月月初500元的生存年金，如果被保險(xiǎn)人在60歲前死亡，則在死亡年末給付10000元。設(shè)預(yù)定利率為6%，如果某人30歲時(shí)購買了這種保單，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）的資料，求這一年金的精算現(xiàn)值.解：例5若某人30歲購買從60歲起支付的生存年金，契約規(guī)定：在被保險(xiǎn)人60-69歲時(shí)，每年的給付額為6000元，70-79歲每年的給付額為7000元，80-89歲每年的給付額為8000元。在預(yù)定利率6%下，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合），計(jì)算保單的躉繳凈保費(fèi)。解：例6某人在50歲時(shí)購買了一份終身生存年金，給付從51歲開始，每年一次，給付額在第一年為5000元，第二年為5500元，第三年為6000元，即給付額每年增長500元。計(jì)算這筆年金的精算現(xiàn)值。已知解：例7某人在40歲時(shí)購買了一份10年期變額年金，從41歲起，每年的給付額依次為10000、8000、6000、4000、2000、2000、4000、6000、8000、10000元。假設(shè)預(yù)定利率為6%，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）的資料，計(jì)算這一年金的精算現(xiàn)值。所以連續(xù)給付型年金簡介連續(xù)生存年金的定義在保障時(shí)期內(nèi)，以被保險(xiǎn)人存活為條件，連續(xù)支付年金的保險(xiǎn)連續(xù)生存年金的種類終身連續(xù)生存年金/定期連續(xù)生存年金離散生存年金與連續(xù)生存年金的關(guān)系計(jì)算精算現(xiàn)值時(shí)理論基礎(chǔ)完全相同離散－求和連續(xù)－積分連續(xù)場合不存在初付延付問題，離散場合初付、延付要分別考慮終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì)方法之一

——綜合支付技巧步驟一：計(jì)算到死亡發(fā)生時(shí)間T為止的所有已支付的年金的現(xiàn)值之和。步驟二：計(jì)算這個(gè)年金現(xiàn)值關(guān)于時(shí)間積分所得的年金期望值，即終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值。相關(guān)公式終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì)方法二

——當(dāng)期支付技巧步驟一：計(jì)算時(shí)間T所支付的當(dāng)期年金的現(xiàn)值步驟二：計(jì)算該當(dāng)期年金現(xiàn)值按照可能支付的時(shí)間積分，得到期望年金現(xiàn)值例8在死亡力為常數(shù)0.04，利息力為常數(shù)0.06的假定下，求（1）（2）的標(biāo)準(zhǔn)差（3）超過的概率，即基金不夠用于實(shí)際支付年金的概率。解：（1）綜合支付技巧當(dāng)期支付技巧例9在DeMoivre假定下，計(jì)算：終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值及方差例例定期連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值估計(jì)綜合支付技巧當(dāng)期支付技巧相關(guān)公式及理解例10在DeMoivre假定下，計(jì)算：30年定期生存年金精算現(xiàn)值及方差例延期連續(xù)生存年金定義:種類延付m年終身連續(xù)生存年金延付m年定期連續(xù)生存年金常用領(lǐng)域養(yǎng)老金險(xiǎn)種延期m年終身生存年金延期m年n年定期生存年金精算現(xiàn)值估計(jì)延期連續(xù)年金精算現(xiàn)值例11在DeMoivre假定下，計(jì)算：30年定期生存年金精算現(xiàn)值及方差解：例12年齡為35的人，購買按連續(xù)方式給付年金額2000元的生存年金，利率為i＝