工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論第三次課

工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論第三次課第一頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日（一）矢量場(chǎng)的環(huán)量

例：磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過(guò)閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場(chǎng)與電流的關(guān)系。

第二頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日引入環(huán)量概念。矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線L的環(huán)量定義為該矢量對(duì)閉合曲線L的線積分，記為：（1)如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)量恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。（2)如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)量不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。第三頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日旋度概念的提出：矢量場(chǎng)的環(huán)量給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，當(dāng)閉合曲線L所圍的面積趨于零時(shí)，矢量場(chǎng)對(duì)回路L的環(huán)量與旋渦源對(duì)于L所圍的面積的通量成正比，即：

（二）矢量場(chǎng)的旋度(Rotation)

JFn第四頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日矢量場(chǎng)旋度定義為：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為包含M點(diǎn)在內(nèi)的小面元邊界的環(huán)量與小面元比值極限的最大值，其方向?yàn)闃O限取得最大值時(shí)小面積元的法線方向，即：第五頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)線積分的計(jì)算公式，不難得到旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為:第六頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日利用旋度的定義式，可得到一般曲線和曲面積分之間的變換關(guān)系式，即Stokes定理

環(huán)量積分＝旋度的面積分（三）、環(huán)量與旋度之間的聯(lián)系－Stokes定理

第七頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日方向相反大小相等結(jié)果抵消第八頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日旋度的計(jì)算公式圓柱坐標(biāo)系下旋度的計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系下旋度的計(jì)算公式：球坐標(biāo)系下的旋度計(jì)算公式第九頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日§1.5矢量場(chǎng)的旋度

第十頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日（一）、無(wú)源場(chǎng)對(duì)于矢量場(chǎng)A，如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有散度為零，即：則稱A為無(wú)源場(chǎng)。

性質(zhì)一：在無(wú)源場(chǎng)中穿過(guò)場(chǎng)域V中任何一個(gè)矢量管的所有截面的通量都相等。

性質(zhì)二：無(wú)源場(chǎng)存在矢勢(shì)。六、無(wú)源場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)第十一頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日（二）、無(wú)旋場(chǎng)對(duì)于矢量場(chǎng)A，如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有旋度為零，即：則稱A為無(wú)旋場(chǎng)。

性質(zhì)一：在無(wú)旋場(chǎng)中，A沿場(chǎng)域V的任何閉合路徑L的環(huán)量為零。即：

性質(zhì)二：無(wú)旋場(chǎng)可以表示為某標(biāo)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)。第十二頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日（三）、調(diào)和場(chǎng)散度和旋度都等于零的矢量場(chǎng)，稱為調(diào)和場(chǎng)。根據(jù)其無(wú)旋性可得：根據(jù)其無(wú)源性可得：引入Laplacian算子第十三頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日拉普拉斯方程和泊松方程若矢量場(chǎng)僅為無(wú)旋場(chǎng)，例如連續(xù)分布的體電荷內(nèi)部，任意點(diǎn)的散度不為零，須引入泊松方程第十四頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于矢量場(chǎng)必需考慮如下問(wèn)題：（1）場(chǎng)的特性：矢量場(chǎng)除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？（2）源的特性：是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場(chǎng)的激勵(lì)源？（3）場(chǎng)的唯一性：如何唯一的確定一個(gè)矢量場(chǎng)？六、Helmholtz定理第十五頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日1矢量場(chǎng)的Helmholtz定理

空間區(qū)域V上的任意矢量場(chǎng)，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場(chǎng)唯一確定，并且可以表示為一無(wú)旋矢量場(chǎng)和一無(wú)源矢量場(chǎng)的疊加，即：

其中為無(wú)旋場(chǎng)，為無(wú)源場(chǎng)。第十六頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日Helmholtz定理明確回答了上述三個(gè)問(wèn)題。即任一矢量場(chǎng)由兩個(gè)部分構(gòu)成，其中一部分是無(wú)源場(chǎng)，由旋渦源激發(fā)；并且滿足：另一部分是無(wú)旋場(chǎng)，由通量源激發(fā)，滿足：第十七頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日證明：一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度必?zé)o旋，一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度必?zé)o散。第十八頁(yè)，共二十頁(yè)，20